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1 [2024天津中考]估计$\sqrt{10}$的值在（
A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
C
）A.1和2之间
B.2和3之间
C.3和4之间
D.4和5之间
答案
1. C 【解析】因为$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$,所以$3＜\sqrt{10}＜4$,即$\sqrt{10}$在3和4之间. 故选 C.
解析
【分析】
要估算$\sqrt{10}$的取值范围，可利用算术平方根的性质：非负数的被开方数越大，对应的算术平方根越大。解题时先找到与被开方数10相邻的两个完全平方数，即一个小于10、一个大于10的正整数平方，再对三个数同时取算术平方根，即可得到$\sqrt{10}$的范围。
【解析】
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，
∴ $9＜10＜16$，
根据算术平方根的性质可得：$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，
化简得：$3＜\sqrt{10}＜4$，
因此$\sqrt{10}$的值在3和4之间，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
3. 完全平方数
【点评】
本题是估算无理数范围的基础常考题，核心解题方法是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，掌握该方法即可快速解题得分。
【难度系数】
0.9
要估算$\sqrt{10}$的取值范围，可利用算术平方根的性质：非负数的被开方数越大，对应的算术平方根越大。解题时先找到与被开方数10相邻的两个完全平方数，即一个小于10、一个大于10的正整数平方，再对三个数同时取算术平方根，即可得到$\sqrt{10}$的范围。
【解析】
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，
∴ $9＜10＜16$，
根据算术平方根的性质可得：$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，
化简得：$3＜\sqrt{10}＜4$，
因此$\sqrt{10}$的值在3和4之间，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
3. 完全平方数
【点评】
本题是估算无理数范围的基础常考题，核心解题方法是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，掌握该方法即可快速解题得分。
【难度系数】
0.9
2[2026 浙江杭州期末]正整数$a,b$分别满足$\sqrt[3]{54}＜a＜\sqrt[3]{96}$，$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{7}$，则$b^a=$（
A.16
B.9
C.8
D.4
A
）A.16
B.9
C.8
D.4
答案
2. A 【解析】因为 54＜64＜96,3＜4＜7,所以$\sqrt[3]{54}＜4＜\sqrt[3]{96}$,$\sqrt{3}＜2＜\sqrt{7}$,所以$a=4,b=2$,所以$b^a=2^4=16$,故选 A.
解析
【分析】
要解决本题，首先需要确定正整数a和b的取值：①先根据乘方和开立方的互逆关系，找到介于$\sqrt[3]{54}$和$\sqrt[3]{96}$之间的正整数，即可得到a的值；②再根据乘方和开平方的互逆关系，找到介于$\sqrt{3}$和$\sqrt{7}$之间的正整数，得到b的值；最后将a、b代入$b^a$计算结果即可。
【解析】
第一步，求a的值：
已知$3^3=27$，$4^3=64$，$5^3=125$，观察得$54＜64＜96$，对不等式三边同时开立方，不等号方向不变，可得$\sqrt[3]{54}＜\sqrt[3]{64}=4＜\sqrt[3]{96}$。
因为a是正整数，且满足$\sqrt[3]{54}＜a＜\sqrt[3]{96}$，所以$a=4$。
第二步，求b的值：
已知$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，观察得$3＜4＜7$，对不等式三边同时开平方，不等号方向不变，可得$\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2＜\sqrt{7}$。
因为b是正整数，且满足$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{7}$，所以$b=2$。
第三步，计算$b^a$：
将$a=4$，$b=2$代入得$b^a=2^4=16$。
所以本题选A。
【答案】A
【知识点】无理数估算；乘方运算；开方的性质
【点评】本题核心考查无理数的大小估算方法，解题的关键是利用乘方与开方的互逆关系，确定夹在两个无理数之间的整数取值，再代入计算即可，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】0.8
要解决本题，首先需要确定正整数a和b的取值：①先根据乘方和开立方的互逆关系，找到介于$\sqrt[3]{54}$和$\sqrt[3]{96}$之间的正整数，即可得到a的值；②再根据乘方和开平方的互逆关系，找到介于$\sqrt{3}$和$\sqrt{7}$之间的正整数，得到b的值；最后将a、b代入$b^a$计算结果即可。
【解析】
第一步，求a的值：
已知$3^3=27$，$4^3=64$，$5^3=125$，观察得$54＜64＜96$，对不等式三边同时开立方，不等号方向不变，可得$\sqrt[3]{54}＜\sqrt[3]{64}=4＜\sqrt[3]{96}$。
因为a是正整数，且满足$\sqrt[3]{54}＜a＜\sqrt[3]{96}$，所以$a=4$。
第二步，求b的值：
已知$1^2=1$，$2^2=4$，$3^2=9$，观察得$3＜4＜7$，对不等式三边同时开平方，不等号方向不变，可得$\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2＜\sqrt{7}$。
因为b是正整数，且满足$\sqrt{3}＜b＜\sqrt{7}$，所以$b=2$。
第三步，计算$b^a$：
将$a=4$，$b=2$代入得$b^a=2^4=16$。
所以本题选A。
【答案】A
【知识点】无理数估算；乘方运算；开方的性质
【点评】本题核心考查无理数的大小估算方法，解题的关键是利用乘方与开方的互逆关系，确定夹在两个无理数之间的整数取值，再代入计算即可，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】0.8
3[2026辽宁沈阳期末]若n为整数，且$n＜\sqrt{77}＜n+1$，则n的值是
8
.答案
3. 8 【解析】因为 64＜77＜81,所以$8＜\sqrt{77}＜9$,所以$n=8$. 故答案为 8.
解析
【分析】
要确定满足$n＜\sqrt{77}＜n+1$的整数$n$，本质是估算$\sqrt{77}$的整数部分，我们可以用“夹逼法”解题：首先找到与77相邻的两个正完全平方数（即比77小的最大完全平方数、比77大的最小完全平方数），再根据算术平方根的性质，对三个数同时开算术平方根，即可得到$\sqrt{77}$的取值范围，最终确定$n$的值。
【解析】
解：$\because 8^2=64$，$9^2=81$，且$64＜77＜81$，
$\therefore \sqrt{64}＜\sqrt{77}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{77}＜9$，
又$\because n$为整数，且$n＜\sqrt{77}＜n+1$，
$\therefore n=8$。
【答案】
$8$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数大小的估算，解题核心是利用“夹逼法”，通过相邻完全平方数确定无理数的取值范围，属于基础题型，熟练记忆常见完全平方数可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.85
要确定满足$n＜\sqrt{77}＜n+1$的整数$n$，本质是估算$\sqrt{77}$的整数部分，我们可以用“夹逼法”解题：首先找到与77相邻的两个正完全平方数（即比77小的最大完全平方数、比77大的最小完全平方数），再根据算术平方根的性质，对三个数同时开算术平方根，即可得到$\sqrt{77}$的取值范围，最终确定$n$的值。
【解析】
解：$\because 8^2=64$，$9^2=81$，且$64＜77＜81$，
$\therefore \sqrt{64}＜\sqrt{77}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{77}＜9$，
又$\because n$为整数，且$n＜\sqrt{77}＜n+1$，
$\therefore n=8$。
【答案】
$8$
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题考查无理数大小的估算，解题核心是利用“夹逼法”，通过相邻完全平方数确定无理数的取值范围，属于基础题型，熟练记忆常见完全平方数可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.85
4[2026浙江温州期中]已知a是$\sqrt{19}$的整数部分，b是$\sqrt{19}$的小数部分，则$2a-b=$
$12-\sqrt{19}$
.答案
4. $12-\sqrt{19}$ 【解析】因为 $4＜\sqrt{19}＜5$,$a$ 是$\sqrt{19}$的整数部分,$b$ 是$\sqrt{19}$的小数部分,所以$a=4$,$b=\sqrt{19}-4$,所以$2a-b=2×4-(\sqrt{19}-4)=8-\sqrt{19}+4=12-\sqrt{19}$. 故答案为 $12-\sqrt{19}$.
解析
【分析】
要求代数式2a-b的值，需先求出a、b的取值。首先要估算√19的大小：找出与19相邻的两个完全平方数，即可确定√19介于哪两个相邻整数之间，进而得到它的整数部分a；再根据“无理数的小数部分=无理数本身-整数部分”求出b，最后将a、b代入代数式计算即可。
【解析】
解：
∵4²=16，5²=25，且16＜19＜25，
∴4＜√19＜5，
∵a是√19的整数部分，b是√19的小数部分，
∴a=4，b=√19 - 4，
代入2a-b得：
2a - b = 2×4 - (√19 - 4) = 8 - √19 + 4 = 12 - √19。
【答案】
12-√19
【知识点】
无理数的估算、代数式求值、实数的运算
【点评】
本题属于无理数估算的基础题型，解题核心是正确区分无理数的整数部分和小数部分，牢记小数部分等于原数减去整数部分的规律，代入计算时注意去括号的符号规则，即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
要求代数式2a-b的值，需先求出a、b的取值。首先要估算√19的大小：找出与19相邻的两个完全平方数，即可确定√19介于哪两个相邻整数之间，进而得到它的整数部分a；再根据“无理数的小数部分=无理数本身-整数部分”求出b，最后将a、b代入代数式计算即可。
【解析】
解：
∵4²=16，5²=25，且16＜19＜25，
∴4＜√19＜5，
∵a是√19的整数部分，b是√19的小数部分，
∴a=4，b=√19 - 4，
代入2a-b得：
2a - b = 2×4 - (√19 - 4) = 8 - √19 + 4 = 12 - √19。
【答案】
12-√19
【知识点】
无理数的估算、代数式求值、实数的运算
【点评】
本题属于无理数估算的基础题型，解题核心是正确区分无理数的整数部分和小数部分，牢记小数部分等于原数减去整数部分的规律，代入计算时注意去括号的符号规则，即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
5 下面是小李同学探索$\sqrt{107}$的近似数的过程：
因为面积为107的正方形边长是$\sqrt{107}$，且$10＜\sqrt{107}＜11$，
所以设$\sqrt{107}=10+x$，其中$0＜x＜1$，画出示意图如图所示.
因为图中$S_{大正方形}=10^2 + 2×10x + x^2$，$S_{大正方形}=107$，
所以$10^2 + 2×10x + x^2 = 107$.
当$x^2$较小时，省略$x^2$，得$20x + 100 ≈107$，得到$x≈0.35$，即$\sqrt{107}≈10.35$.
(1)$\sqrt{76}$的整数部分是
(2)仿照上述方法，探究$\sqrt{76}$的近似值.（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
因为面积为107的正方形边长是$\sqrt{107}$，且$10＜\sqrt{107}＜11$，
所以设$\sqrt{107}=10+x$，其中$0＜x＜1$，画出示意图如图所示.
因为图中$S_{大正方形}=10^2 + 2×10x + x^2$，$S_{大正方形}=107$，
所以$10^2 + 2×10x + x^2 = 107$.
当$x^2$较小时，省略$x^2$，得$20x + 100 ≈107$，得到$x≈0.35$，即$\sqrt{107}≈10.35$.
(1)$\sqrt{76}$的整数部分是
8
；(2)仿照上述方法，探究$\sqrt{76}$的近似值.（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
答案
5.【解】(1)因为$\sqrt{64}＜\sqrt{76}＜\sqrt{81}$,即$8＜\sqrt{76}＜9$,所以$\sqrt{76}$的整数部分为 8. 故答案为 8.
(2)因为面积为 76 的正方形边长是$\sqrt{76}$,且$8＜\sqrt{76}＜9$,所以设$\sqrt{76}=8+x$,其中$0＜x＜1$,画出示意图如图所示. 因为图中$S_{大正方形}=8^2+2×8x+x^2$,$S_{大正方形}=76$,所以$8^2+2×8x+x^2=76$. 当$x^2$较小时,省略$x^2$,得$16x+64≈76$,得到$x≈0.75$,即$\sqrt{76}≈8.75$.
(2)因为面积为 76 的正方形边长是$\sqrt{76}$,且$8＜\sqrt{76}＜9$,所以设$\sqrt{76}=8+x$,其中$0＜x＜1$,画出示意图如图所示. 因为图中$S_{大正方形}=8^2+2×8x+x^2$,$S_{大正方形}=76$,所以$8^2+2×8x+x^2=76$. 当$x^2$较小时,省略$x^2$,得$16x+64≈76$,得到$x≈0.75$,即$\sqrt{76}≈8.75$.
解析
【分析】
(1) 求$\sqrt{76}$的整数部分，只需找到两个相邻的完全平方数，判断76介于哪两个完全平方数之间，对应的较小正整数就是$\sqrt{76}$的整数部分。
(2) 仿照题干给出的估算方法，第一步先确定$\sqrt{76}$的整数部分为8，设$\sqrt{76}=8+x$（$0＜x＜1$）；第二步借助正方形面积的等量关系列方程，大正方形面积等于边长为8的正方形面积、两个长8宽x的长方形面积、边长为x的正方形面积之和，也就是等于76；第三步因为x远小于1，$x^2$数值极小可以省略，简化方程后求解x的近似值，即可得到$\sqrt{76}$的近似值，示意图只需将题干示例图中的10替换为8即可。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{64}＜\sqrt{76}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{76}＜9$，因此$\sqrt{76}$的整数部分是8。
(2) 面积为76的正方形边长是$\sqrt{76}$，且$8＜\sqrt{76}＜9$，设$\sqrt{76}=8+x$，其中$0＜x＜1$，示意图将题干图中的数字10替换为8即可：大正方形边长为$8+x$，四个部分分别为$8×8=64$、两个$8×x$的长方形、边长为$x^2$的小正方形。
由大正方形面积等于各部分面积之和可得：
$S_{大正方形}=8^2+2×8x+x^2$，又$S_{大正方形}=76$，
因此$8^2+2×8x+x^2=76$。
因为$0＜x＜1$，$x^2$很小可以省略，得$16x+64≈76$，
解得$x≈(76-64)÷16=0.75$，即$\sqrt{76}≈8+0.75=8.75$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) $\boxed{\sqrt{76}≈8.75}$
【知识点】
1. 算术平方根估算
2. 完全平方公式几何意义
3. 无理数近似计算
【点评】
本题借助几何图形直观呈现无理数估算的原理，考查了对算术平方根大小的判断能力和知识迁移应用的能力，对应方法可推广到同类二次根式的近似求解中。
【难度系数】
0.75
(1) 求$\sqrt{76}$的整数部分，只需找到两个相邻的完全平方数，判断76介于哪两个完全平方数之间，对应的较小正整数就是$\sqrt{76}$的整数部分。
(2) 仿照题干给出的估算方法，第一步先确定$\sqrt{76}$的整数部分为8，设$\sqrt{76}=8+x$（$0＜x＜1$）；第二步借助正方形面积的等量关系列方程，大正方形面积等于边长为8的正方形面积、两个长8宽x的长方形面积、边长为x的正方形面积之和，也就是等于76；第三步因为x远小于1，$x^2$数值极小可以省略，简化方程后求解x的近似值，即可得到$\sqrt{76}$的近似值，示意图只需将题干示例图中的10替换为8即可。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{64}＜\sqrt{76}＜\sqrt{81}$，即$8＜\sqrt{76}＜9$，因此$\sqrt{76}$的整数部分是8。
(2) 面积为76的正方形边长是$\sqrt{76}$，且$8＜\sqrt{76}＜9$，设$\sqrt{76}=8+x$，其中$0＜x＜1$，示意图将题干图中的数字10替换为8即可：大正方形边长为$8+x$，四个部分分别为$8×8=64$、两个$8×x$的长方形、边长为$x^2$的小正方形。
由大正方形面积等于各部分面积之和可得：
$S_{大正方形}=8^2+2×8x+x^2$，又$S_{大正方形}=76$，
因此$8^2+2×8x+x^2=76$。
因为$0＜x＜1$，$x^2$很小可以省略，得$16x+64≈76$，
解得$x≈(76-64)÷16=0.75$，即$\sqrt{76}≈8+0.75=8.75$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$
(2) $\boxed{\sqrt{76}≈8.75}$
【知识点】
1. 算术平方根估算
2. 完全平方公式几何意义
3. 无理数近似计算
【点评】
本题借助几何图形直观呈现无理数估算的原理，考查了对算术平方根大小的判断能力和知识迁移应用的能力，对应方法可推广到同类二次根式的近似求解中。
【难度系数】
0.75
6[2026广西南宁质检]比较下列各组数的大小，正确的是（
A.$\sqrt{24} ＞ 5$
B.$\sqrt{8} ＜ 2$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{2} ＜ \frac{3}{2}$
D.$-\sqrt{3} ＞ -2$
D
）A.$\sqrt{24} ＞ 5$
B.$\sqrt{8} ＜ 2$
C.$\frac{\sqrt{5}+1}{2} ＜ \frac{3}{2}$
D.$-\sqrt{3} ＞ -2$
答案
6. D 【解析】$\sqrt{24}＜\sqrt{25}=5$,故 A 不正确;$\sqrt{8}＞\sqrt{4}=2$,故 B 不正确;因为 4＜5,所以$2＜\sqrt{5}$,所以$3＜\sqrt{5}+1$,所以$\frac{\sqrt{5}+1}{2}＞\frac{3}{2}$,故 C 不正确;因为$\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$,所以$-\sqrt{3}＞-2$,故 D 正确. 故选 D.
解析
【分析】
本题属于实数大小比较类题目，解题思路如下：首先明确比较含无理数的实数大小的核心方法是先估算无理数的大致取值范围，再结合实数比较大小的规则、不等式的基本性质，逐个对选项进行判断即可得出正确结论。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：因为$24＜25$，所以$\sqrt{24}＜\sqrt{25}=5$，故A错误；
选项B：因为$8＞4$，所以$\sqrt{8}＞\sqrt{4}=2$，故B错误；
选项C：因为$4＜5$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$2＜\sqrt{5}$，不等式两边同时加1得$3＜\sqrt{5}+1$，再同时除以2得$\frac{3}{2}＜\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，故C错误；
选项D：因为$3＜4$，所以$\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-\sqrt{3}＞-2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
无理数的估算、实数大小比较、不等式的基本性质
【点评】
本题考查实数大小比较的相关知识，解题的关键是掌握无理数的估算方法，结合不等式的性质判断不等关系，此类题是实数部分的基础题型，需熟练掌握估算技巧。
【难度系数】
0.8
本题属于实数大小比较类题目，解题思路如下：首先明确比较含无理数的实数大小的核心方法是先估算无理数的大致取值范围，再结合实数比较大小的规则、不等式的基本性质，逐个对选项进行判断即可得出正确结论。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：因为$24＜25$，所以$\sqrt{24}＜\sqrt{25}=5$，故A错误；
选项B：因为$8＞4$，所以$\sqrt{8}＞\sqrt{4}=2$，故B错误；
选项C：因为$4＜5$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$2＜\sqrt{5}$，不等式两边同时加1得$3＜\sqrt{5}+1$，再同时除以2得$\frac{3}{2}＜\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，故C错误；
选项D：因为$3＜4$，所以$\sqrt{3}＜\sqrt{4}=2$，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-\sqrt{3}＞-2$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
无理数的估算、实数大小比较、不等式的基本性质
【点评】
本题考查实数大小比较的相关知识，解题的关键是掌握无理数的估算方法，结合不等式的性质判断不等关系，此类题是实数部分的基础题型，需熟练掌握估算技巧。
【难度系数】
0.8
7 [2026江苏南京质检]通过估算比较下列各组数的大小：
(1)$\frac{\sqrt{6}+1}{2}$与$\frac{3}{2}$；
(2)$\sqrt[3]{26}$与2.1.
(1)$\frac{\sqrt{6}+1}{2}$与$\frac{3}{2}$；
(2)$\sqrt[3]{26}$与2.1.
答案
7.【解】(1)因为$\frac{\sqrt{6}+1}{2}＞\frac{2+1}{2}$,所以$\frac{\sqrt{6}+1}{2}＞\frac{3}{2}$.
(2)因为$(\sqrt[3]{26})^3=26$,$(2.1)^3=9.261$,$26＞9.261$,所以$(\sqrt[3]{26})^3＞(2.1)^3$,所以$\sqrt[3]{26}＞2.1$.
(2)因为$(\sqrt[3]{26})^3=26$,$(2.1)^3=9.261$,$26＞9.261$,所以$(\sqrt[3]{26})^3＞(2.1)^3$,所以$\sqrt[3]{26}＞2.1$.
解析
【分析】
(1) 比较两个同分母分数的大小，只需比较分子的大小即可。首先估算$\sqrt{6}$的取值范围：因为6介于4和9之间，根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，由此可判断$\sqrt{6}+1$和3的大小关系，进而得到两个分数的大小。
(2) 比较立方根和小数的大小时，可利用立方运算与开立方运算的互逆性，由于正数的立方随原数增大而增大，因此分别计算两个数的立方，比较立方结果的大小，就能得到原数的大小关系。
【解析】
(1) 因为$4＜6＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，
因此$\sqrt{6}+1＞2+1=3$，
不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得$\frac{\sqrt{6}+1}{2}＞\frac{3}{2}$。
(2) 分别计算两个数的立方：
$(\sqrt[3]{26})^3=26$，
$(2.1)^3=2.1×2.1×2.1=9.261$，
因为$26＞9.261$，所以$(\sqrt[3]{26})^3＞(2.1)^3$，
又因为两个正数比较大小，立方大的数本身更大，因此$\sqrt[3]{26}＞2.1$。
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{6}+1}{2}＞\frac{3}{2}$；(2)$\sqrt[3]{26}＞2.1$
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较；乘方与开方的互逆性
【点评】
本题考查无理数估算和实数比较的常用方法，比较带根号的无理数与有理数大小时，可通过乘方去掉根号转化为有理数比较，降低解题难度，解题时要注意乘方后大小关系的传递规律。
【难度系数】
0.7
(1) 比较两个同分母分数的大小，只需比较分子的大小即可。首先估算$\sqrt{6}$的取值范围：因为6介于4和9之间，根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，由此可判断$\sqrt{6}+1$和3的大小关系，进而得到两个分数的大小。
(2) 比较立方根和小数的大小时，可利用立方运算与开立方运算的互逆性，由于正数的立方随原数增大而增大，因此分别计算两个数的立方，比较立方结果的大小，就能得到原数的大小关系。
【解析】
(1) 因为$4＜6＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$，
因此$\sqrt{6}+1＞2+1=3$，
不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得$\frac{\sqrt{6}+1}{2}＞\frac{3}{2}$。
(2) 分别计算两个数的立方：
$(\sqrt[3]{26})^3=26$，
$(2.1)^3=2.1×2.1×2.1=9.261$，
因为$26＞9.261$，所以$(\sqrt[3]{26})^3＞(2.1)^3$，
又因为两个正数比较大小，立方大的数本身更大，因此$\sqrt[3]{26}＞2.1$。
【答案】
(1)$\frac{\sqrt{6}+1}{2}＞\frac{3}{2}$；(2)$\sqrt[3]{26}＞2.1$
【知识点】
无理数的估算；实数大小比较；乘方与开方的互逆性
【点评】
本题考查无理数估算和实数比较的常用方法，比较带根号的无理数与有理数大小时，可通过乘方去掉根号转化为有理数比较，降低解题难度，解题时要注意乘方后大小关系的传递规律。
【难度系数】
0.7
8[2026北京丰台区期中]要制作一只如图所示容积为 $120\ \mathrm{cm}^3$ 的正方体小玻璃杯，则正方体小玻璃杯内壁的棱长大致长度在（
A.$4.4\ \mathrm{cm} ∼ 4.6\ \mathrm{cm}$ 之间
B.$4.6\ \mathrm{cm} ∼ 4.8\ \mathrm{cm}$ 之间
C.$4.8\ \mathrm{cm} ∼ 5.0\ \mathrm{cm}$ 之间
D.$5.0\ \mathrm{cm} ∼ 5.2\ \mathrm{cm}$ 之间
C
）A.$4.4\ \mathrm{cm} ∼ 4.6\ \mathrm{cm}$ 之间
B.$4.6\ \mathrm{cm} ∼ 4.8\ \mathrm{cm}$ 之间
C.$4.8\ \mathrm{cm} ∼ 5.0\ \mathrm{cm}$ 之间
D.$5.0\ \mathrm{cm} ∼ 5.2\ \mathrm{cm}$ 之间
答案
8. C 【解析】设正方体小玻璃杯内壁的棱长为 $x$ cm,则有 $x^3=120$,解得 $x=\sqrt[3]{120}$. 因为$4.4^3=85.184$,$4.6^3=97.336$,$4.8^3=110.592$,$5.0^3=125$,$5.2^3=140.608$,且 $110.592＜120＜125$,所以 $4.8＜x＜5.0$,故选 C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确正方体的容积等于它的内部体积，结合正方体体积公式建立棱长和容积的等量关系，可得到棱长是120的立方根；接下来通过计算选项中给出的临界数值的立方，判断120所在的立方区间，就能反向推出立方根的范围，也就是棱长的区间。
【解析】
设正方体小玻璃杯内壁的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式，容积等于内部体积，可得：
$x^3=120$，因此$x=\sqrt[3]{120}$。
分别计算临界值的立方：
$4.8^3=4.8×4.8×4.8=110.592$，
$5.0^3=5×5×5=125$，
因为$110.592＜120＜125$，对不等式同时开立方可得$\sqrt[3]{110.592}＜\sqrt[3]{120}＜\sqrt[3]{125}$，
即$4.8＜x＜5.0$，因此棱长大致在$4.8\ \mathrm{cm} ∼ 5.0\ \mathrm{cm}$之间。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算，立方根估算，实数大小比较
【点评】
本题是立方根在实际生活中的应用类题目，需要熟练掌握正方体体积公式和无理数估算的方法，通过计算幂的大小确定无理数的区间是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先明确正方体的容积等于它的内部体积，结合正方体体积公式建立棱长和容积的等量关系，可得到棱长是120的立方根；接下来通过计算选项中给出的临界数值的立方，判断120所在的立方区间，就能反向推出立方根的范围，也就是棱长的区间。
【解析】
设正方体小玻璃杯内壁的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式，容积等于内部体积，可得：
$x^3=120$，因此$x=\sqrt[3]{120}$。
分别计算临界值的立方：
$4.8^3=4.8×4.8×4.8=110.592$，
$5.0^3=5×5×5=125$，
因为$110.592＜120＜125$，对不等式同时开立方可得$\sqrt[3]{110.592}＜\sqrt[3]{120}＜\sqrt[3]{125}$，
即$4.8＜x＜5.0$，因此棱长大致在$4.8\ \mathrm{cm} ∼ 5.0\ \mathrm{cm}$之间。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算，立方根估算，实数大小比较
【点评】
本题是立方根在实际生活中的应用类题目，需要熟练掌握正方体体积公式和无理数估算的方法，通过计算幂的大小确定无理数的区间是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.75
9[2025广东珠海期末]有一个计算器，计算$\sqrt{2}$时只能显示1.414 213 562 37，现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值
（
A.$10\sqrt{2}$
B.$10(\sqrt{2}-1)$
C.$100\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}-1$
（
B
）A.$10\sqrt{2}$
B.$10(\sqrt{2}-1)$
C.$100\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}-1$
答案
9. B 【解析】
|选项|分析|判断|
| ---- | ---- | ---- |
|A|$10\sqrt{2}=14.142\ 135\ 623\ 7$,总的位数还是 12 位,所以不可能出现 7后面的数字|×|
|B|$10(\sqrt{2}-1)=14.142\ 135\ 623\ 7-10=4.142\ 135\ 623\ 7$,总的位数是 11 位,所以一定会出现 7后面的数字|√|
|C|$100\sqrt{2}=141.421\ 356\ 237$,总的位数还是 12 位,所以不可能出现 7后面的数字|×|
|D|$\sqrt{2}-1=1.414\ 213\ 562\ 37-1=0.414\ 213\ 562\ 37$,总的位数还是 12 位,所以不可能出现 7后面的数字|×|
|选项|分析|判断|
| ---- | ---- | ---- |
|A|$10\sqrt{2}=14.142\ 135\ 623\ 7$,总的位数还是 12 位,所以不可能出现 7后面的数字|×|
|B|$10(\sqrt{2}-1)=14.142\ 135\ 623\ 7-10=4.142\ 135\ 623\ 7$,总的位数是 11 位,所以一定会出现 7后面的数字|√|
|C|$100\sqrt{2}=141.421\ 356\ 237$,总的位数还是 12 位,所以不可能出现 7后面的数字|×|
|D|$\sqrt{2}-1=1.414\ 213\ 562\ 37-1=0.414\ 213\ 562\ 37$,总的位数还是 12 位,所以不可能出现 7后面的数字|×|
解析
【分析】
已知计算器显示$\sqrt{2}$时的有效数字总位数是固定的（共12位，最后一位是小数点后的7），要得到7后面的数字，需要通过运算去掉前序数位，让原本7后面的数位进入计算器的显示范围。解题时可逐一计算每个选项的结果，对比有效数字的显示情况，判断是否能露出7之后的数字。
【解析】
已知计算器显示$\sqrt{2}=1.41421356237$，共12位有效数字，逐一分析选项：
1. 选项A：$10\sqrt{2}=14.1421356237$，仍然是12位有效数字，最后一位还是7，无法看到7后面的数字，不符合要求。
2. 选项B：$10(\sqrt{2}-1)=10\sqrt{2}-10=14.1421356237-10=4.1421356237···$，运算后整数部分只剩1位，原本12位有效数字的位置可以多显示1位小数，原来7后面的数字会出现在显示的最后一位，符合要求。
3. 选项C：$100\sqrt{2}=141.421356237$，仍然是12位有效数字，最后一位还是7，无法看到7后面的数字，不符合要求。
4. 选项D：$\sqrt{2}-1=0.41421356237$，有效数字从第一位非0数4开始计数，共12位，最后一位还是7，无法看到7后面的数字，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
用计算器开方；有效数字；实数的运算
【点评】
本题结合计算器的实际使用场景，考查对有效数字概念的理解和实数运算的灵活应用，解题核心是抓住计算器显示有效数字位数固定的特点，通过合适的运算调整数位，让目标数位进入显示范围。
【难度系数】
0.7
已知计算器显示$\sqrt{2}$时的有效数字总位数是固定的（共12位，最后一位是小数点后的7），要得到7后面的数字，需要通过运算去掉前序数位，让原本7后面的数位进入计算器的显示范围。解题时可逐一计算每个选项的结果，对比有效数字的显示情况，判断是否能露出7之后的数字。
【解析】
已知计算器显示$\sqrt{2}=1.41421356237$，共12位有效数字，逐一分析选项：
1. 选项A：$10\sqrt{2}=14.1421356237$，仍然是12位有效数字，最后一位还是7，无法看到7后面的数字，不符合要求。
2. 选项B：$10(\sqrt{2}-1)=10\sqrt{2}-10=14.1421356237-10=4.1421356237···$，运算后整数部分只剩1位，原本12位有效数字的位置可以多显示1位小数，原来7后面的数字会出现在显示的最后一位，符合要求。
3. 选项C：$100\sqrt{2}=141.421356237$，仍然是12位有效数字，最后一位还是7，无法看到7后面的数字，不符合要求。
4. 选项D：$\sqrt{2}-1=0.41421356237$，有效数字从第一位非0数4开始计数，共12位，最后一位还是7，无法看到7后面的数字，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
用计算器开方；有效数字；实数的运算
【点评】
本题结合计算器的实际使用场景，考查对有效数字概念的理解和实数运算的灵活应用，解题核心是抓住计算器显示有效数字位数固定的特点，通过合适的运算调整数位，让目标数位进入显示范围。
【难度系数】
0.7
10[2025江西抚州质检]用计算器比较下列数的大小：$\sqrt[3]{11}$
＜
$\sqrt{5}$.(填“＞”“=”或“＜”)答案
10. ＜ 【解析】因为$\sqrt[3]{11}≈2.224$,$\sqrt{5}≈2.236$,$2.224＜2.236$,所以$\sqrt[3]{11}＜\sqrt{5}$. 故答案为＜.
解析
【分析】
要比较$\sqrt[3]{11}$和$\sqrt{5}$的大小，直接观察无法直接判断，因此可以借助计算器分别计算出两个无理数的近似值，再通过比较近似值的大小，就能得出两个数的大小关系。
【解析】
用计算器分别计算两个数的近似值：
$\sqrt[3]{11}≈2.224$，$\sqrt{5}≈2.236$，
因为$2.224＜2.236$，所以$\sqrt[3]{11}＜\sqrt{5}$。
【答案】
＜
【知识点】
用计算器开方；无理数大小比较
【点评】
本题为基础题型，重点考查计算器开方的操作以及数的大小比较方法，掌握计算器的开方运算步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
要比较$\sqrt[3]{11}$和$\sqrt{5}$的大小，直接观察无法直接判断，因此可以借助计算器分别计算出两个无理数的近似值，再通过比较近似值的大小，就能得出两个数的大小关系。
【解析】
用计算器分别计算两个数的近似值：
$\sqrt[3]{11}≈2.224$，$\sqrt{5}≈2.236$，
因为$2.224＜2.236$，所以$\sqrt[3]{11}＜\sqrt{5}$。
【答案】
＜
【知识点】
用计算器开方；无理数大小比较
【点评】
本题为基础题型，重点考查计算器开方的操作以及数的大小比较方法，掌握计算器的开方运算步骤就能顺利解题。
【难度系数】
0.9
11 [2025广东惠州质检]用计算器求下列各式的近似值(结果精确到0.01)：
(1)$\frac{\sqrt{5}}{2}+\sqrt[3]{2}-π$；
(2)$\sqrt{11}×\sqrt{2}÷\frac{1}{\sqrt{6}}$。
(1)$\frac{\sqrt{5}}{2}+\sqrt[3]{2}-π$；
(2)$\sqrt{11}×\sqrt{2}÷\frac{1}{\sqrt{6}}$。
答案
11.【解】(1)原式≈−0.76.
(2)原式≈11.49.
(2)原式≈11.49.
解析
【分析】
本题是利用计算器求实数运算的近似值，解题思路如下：1. 由于结果要求精确到0.01，计算过程中各无理数的近似值可多保留1~2位小数，避免四舍五入导致的误差；2. 第(1)题直接代入各无理数的近似值，按先开方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可；3. 第(2)题可先利用二次根式的乘除运算法则化简式子，再计算近似值，降低计算量，最后将两小问的结果都四舍五入到百分位。
【解析】
(1) 先取各无理数的近似值：$\sqrt{5}≈2.236$，$\sqrt[3]{2}≈1.260$，$π≈3.142$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&≈\frac{2.236}{2}+1.260 - 3.142\\&=1.118 + 1.260 - 3.142\\&=-0.764\\&\approx -0.76\end{aligned}$
(2) 先利用二次根式乘除法则化简：除以$\frac{1}{\sqrt{6}}$等于乘$\sqrt{6}$，因此：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{11}×\sqrt{2}×\sqrt{6}\\&=\sqrt{11×2×6}\\&=\sqrt{132}\end{aligned}$
用计算器求得$\sqrt{132}≈11.489≈11.49$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-0.76}$；(2) $\boldsymbol{11.49}$
【知识点】
用计算器开方；实数的混合运算；二次根式乘除运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察计算器开方功能的操作能力和实数运算的准确性，计算时注意中间步骤多保留1位小数能有效降低误差，先化简再计算可提升运算效率。
【难度系数】
0.85
本题是利用计算器求实数运算的近似值，解题思路如下：1. 由于结果要求精确到0.01，计算过程中各无理数的近似值可多保留1~2位小数，避免四舍五入导致的误差；2. 第(1)题直接代入各无理数的近似值，按先开方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可；3. 第(2)题可先利用二次根式的乘除运算法则化简式子，再计算近似值，降低计算量，最后将两小问的结果都四舍五入到百分位。
【解析】
(1) 先取各无理数的近似值：$\sqrt{5}≈2.236$，$\sqrt[3]{2}≈1.260$，$π≈3.142$，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&≈\frac{2.236}{2}+1.260 - 3.142\\&=1.118 + 1.260 - 3.142\\&=-0.764\\&\approx -0.76\end{aligned}$
(2) 先利用二次根式乘除法则化简：除以$\frac{1}{\sqrt{6}}$等于乘$\sqrt{6}$，因此：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{11}×\sqrt{2}×\sqrt{6}\\&=\sqrt{11×2×6}\\&=\sqrt{132}\end{aligned}$
用计算器求得$\sqrt{132}≈11.489≈11.49$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-0.76}$；(2) $\boldsymbol{11.49}$
【知识点】
用计算器开方；实数的混合运算；二次根式乘除运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察计算器开方功能的操作能力和实数运算的准确性，计算时注意中间步骤多保留1位小数能有效降低误差，先化简再计算可提升运算效率。
【难度系数】
0.85
