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1[中]若$\sqrt[3]{x-3} - \sqrt[3]{2x+1}=0$，则$x^2 + x - 3$的算术平方根为（
A.3
B.2
C.3和-3
D.2和-2
A
）A.3
B.2
C.3和-3
D.2和-2
答案
1.A 【解析】因为 $\sqrt[3]{x-3} - \sqrt[3]{2x+1} = 0$,所以 $\sqrt[3]{x-3}=\sqrt[3]{2x+1}$,所以 $x-3=2x+1$,所以 $x=-4$,所以 $x^2+x-3=16-4-3=9$,所以 $x^2+x-3$ 的算术平方根为$\sqrt{9}=3$.
解析
【分析】
解题时先观察已知方程的结构，两个立方根的差为0，可先移项得到两个立方根相等的关系；根据立方根的性质：若两个数的立方根相等，则这两个数本身相等，据此可列出关于x的一元一次方程，解出x的值；再将x代入代数式$x^2 + x - 3$计算出结果，最后根据算术平方根的定义（非负的平方根）求出结果即可，注意算术平方根一定是非负数，可直接排除带负数的选项。
【解析】
解：已知$\sqrt[3]{x-3} - \sqrt[3]{2x+1}=0$，
移项得：$\sqrt[3]{x-3}=\sqrt[3]{2x+1}$，
根据立方根的性质，两个数的立方根相等则两数相等，可得：
$x-3=2x+1$，
移项合并同类项得：$-x=4$，解得$x=-4$，
将$x=-4$代入$x^2 + x - 3$得：
$(-4)^2 + (-4) - 3=16-4-3=9$，
因为算术平方根是非负的，所以9的算术平方根为$\sqrt{9}=3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的性质，解一元一次方程，算术平方根的定义
【点评】
本题属于中档题，核心考查立方根和算术平方根的性质差异，解题的关键是熟练掌握立方根的一一对应性列方程求解，同时要注意算术平方根具有非负性，避免误选含负数值的干扰项。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知方程的结构，两个立方根的差为0，可先移项得到两个立方根相等的关系；根据立方根的性质：若两个数的立方根相等，则这两个数本身相等，据此可列出关于x的一元一次方程，解出x的值；再将x代入代数式$x^2 + x - 3$计算出结果，最后根据算术平方根的定义（非负的平方根）求出结果即可，注意算术平方根一定是非负数，可直接排除带负数的选项。
【解析】
解：已知$\sqrt[3]{x-3} - \sqrt[3]{2x+1}=0$，
移项得：$\sqrt[3]{x-3}=\sqrt[3]{2x+1}$，
根据立方根的性质，两个数的立方根相等则两数相等，可得：
$x-3=2x+1$，
移项合并同类项得：$-x=4$，解得$x=-4$，
将$x=-4$代入$x^2 + x - 3$得：
$(-4)^2 + (-4) - 3=16-4-3=9$，
因为算术平方根是非负的，所以9的算术平方根为$\sqrt{9}=3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
立方根的性质，解一元一次方程，算术平方根的定义
【点评】
本题属于中档题，核心考查立方根和算术平方根的性质差异，解题的关键是熟练掌握立方根的一一对应性列方程求解，同时要注意算术平方根具有非负性，避免误选含负数值的干扰项。
【难度系数】
0.7
2[2026江苏南通质检,中]某个数值转换器的原理如图所示,若初始输入x的值是1,第1次输出的结果是4,第2次输出的结果是2,…,则第2026次输出的结果的算术平方根的立方根是 (
A.$\sqrt{2}$
B.4
C.2
D.$\sqrt[3]{2}$
D
)A.$\sqrt{2}$
B.4
C.2
D.$\sqrt[3]{2}$
答案
2.D 【解析】第 1 次输出的结果是 4,第 2 次输出的结果是 2,第 3 次输出的结果是 1,第 4 次输出的结果是 4,第 5 次输出的结果是 2,第 6 次输出的结果是 1,第 7 次输出的结果是 4,第 8 次输出的结果是 2,第 9 次输出的结果是 1,第 10 次输出的结果是 4,…. 因为 $2\ 026÷3 = 675······1$,所以第 2026 次输出的结果是 4,其算术平方根为 2,2 的立方根为$\sqrt[3]{2}$. 故选 D.
解析
【分析】
首先明确数值转换器的运算规则：输入x为偶数时输出$\frac{1}{2}x$，为奇数时输出$x+3$，且输出结果会作为下一次的输入值。解决这类问题的思路是：先计算前若干次的输出结果，找到输出结果的循环周期，再通过除法计算2026除以周期的余数，确定第2026次的输出结果，最后依次计算该结果的算术平方根、立方根即可得到答案。
【解析】
根据运算规则计算前几次输出结果：
第1次输入$x=1$（奇数），输出$1+3=4$；
第2次输入$x=4$（偶数），输出$\frac{1}{2}×4=2$；
第3次输入$x=2$（偶数），输出$\frac{1}{2}×2=1$；
第4次输入$x=1$（奇数），输出$1+3=4$；
……
可见输出结果按4、2、1的顺序每3次为一个周期循环。
计算$2026÷3=675······1$，余数为1，说明第2026次输出的结果对应周期里的第1个数，即4。
接下来计算：4的算术平方根是$\sqrt{4}=2$，2的立方根是$\sqrt[3]{2}$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
规律探究，算术平方根，立方根
【点评】
本题结合数值转换器的情境，综合考查了循环规律的探索和根式的相关计算，解题的核心是准确找到输出结果的循环周期，再根据余数定位对应输出值，最后按照要求计算根式即可，解题过程中要注意区分算术平方根和立方根的概念，避免混淆。
【难度系数】
0.7
首先明确数值转换器的运算规则：输入x为偶数时输出$\frac{1}{2}x$，为奇数时输出$x+3$，且输出结果会作为下一次的输入值。解决这类问题的思路是：先计算前若干次的输出结果，找到输出结果的循环周期，再通过除法计算2026除以周期的余数，确定第2026次的输出结果，最后依次计算该结果的算术平方根、立方根即可得到答案。
【解析】
根据运算规则计算前几次输出结果：
第1次输入$x=1$（奇数），输出$1+3=4$；
第2次输入$x=4$（偶数），输出$\frac{1}{2}×4=2$；
第3次输入$x=2$（偶数），输出$\frac{1}{2}×2=1$；
第4次输入$x=1$（奇数），输出$1+3=4$；
……
可见输出结果按4、2、1的顺序每3次为一个周期循环。
计算$2026÷3=675······1$，余数为1，说明第2026次输出的结果对应周期里的第1个数，即4。
接下来计算：4的算术平方根是$\sqrt{4}=2$，2的立方根是$\sqrt[3]{2}$。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
规律探究，算术平方根，立方根
【点评】
本题结合数值转换器的情境，综合考查了循环规律的探索和根式的相关计算，解题的核心是准确找到输出结果的循环周期，再根据余数定位对应输出值，最后按照要求计算根式即可，解题过程中要注意区分算术平方根和立方根的概念，避免混淆。
【难度系数】
0.7
3 新考法[2026湖北潜江质检,中]我们规定:若一个实数的算术平方根等于它的立方根,则称这样的数为“最美实数”.若$\sqrt{2}+a$是“最美实数”,则a的值为
$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$
.答案
3.$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$ 【解析】因为$\sqrt{2}+a$ 是“最美实数”,所以 $\sqrt{2}+a=0$ 或 1,解得 $a=-\sqrt{2}$ 或 $a=1-\sqrt{2}$,故答案为 $-\sqrt{2}$ 或 $1-\sqrt{2}$.
解析
【分析】
首先准确理解新定义“最美实数”的含义：算术平方根等于立方根的实数。首先思考满足“算术平方根等于立方根”的数的范围：算术平方根存在的前提是该数为非负数，再逐一验证非负实数，只有0和1满足算术平方根等于自身的立方根，因此可得$\sqrt{2}+a$的取值只能是0或1，最后分别解关于a的一元一次方程即可得到a的值。
【解析】
根据“最美实数”的定义：算术平方根等于立方根的实数为“最美实数”。
∵负数没有算术平方根，
∴最美实数只能是非负实数，
∵0的算术平方根是0，0的立方根是0，符合要求；
1的算术平方根是1，1的立方根是1，符合要求；
其余非负实数的算术平方根均不等于自身的立方根，
∴最美实数只能是0或1。
∵$\sqrt{2}+a$是“最美实数”，
∴$\sqrt{2}+a=0$ 或 $\sqrt{2}+a=1$，
当$\sqrt{2}+a=0$时，解得$a=-\sqrt{2}$；
当$\sqrt{2}+a=1$时，移项得$a=1-\sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先正确解读新定义的内涵，先确定所有符合要求的“最美实数”的取值，再列方程求解，解题时要注意不要漏写0或1其中一种情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
首先准确理解新定义“最美实数”的含义：算术平方根等于立方根的实数。首先思考满足“算术平方根等于立方根”的数的范围：算术平方根存在的前提是该数为非负数，再逐一验证非负实数，只有0和1满足算术平方根等于自身的立方根，因此可得$\sqrt{2}+a$的取值只能是0或1，最后分别解关于a的一元一次方程即可得到a的值。
【解析】
根据“最美实数”的定义：算术平方根等于立方根的实数为“最美实数”。
∵负数没有算术平方根，
∴最美实数只能是非负实数，
∵0的算术平方根是0，0的立方根是0，符合要求；
1的算术平方根是1，1的立方根是1，符合要求；
其余非负实数的算术平方根均不等于自身的立方根，
∴最美实数只能是0或1。
∵$\sqrt{2}+a$是“最美实数”，
∴$\sqrt{2}+a=0$ 或 $\sqrt{2}+a=1$，
当$\sqrt{2}+a=0$时，解得$a=-\sqrt{2}$；
当$\sqrt{2}+a=1$时，移项得$a=1-\sqrt{2}$。
【答案】
$-\sqrt{2}$或$1-\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是先正确解读新定义的内涵，先确定所有符合要求的“最美实数”的取值，再列方程求解，解题时要注意不要漏写0或1其中一种情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
4[较难]M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若$M-N$恰是某正整数的立方，则这样的两位数M共有
6
个。答案
4.6 【解析】设两位数 $M=10a+b$,则 $N=10b+a$,设 $M-N$ 是正整数 $c$ 的立方. 因为 $a,b$ 为正整数,且 $1≤ a≤9,1≤ b≤9$,所以 $M-N=(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=c^3$,显然 $c^3≤72$. 因为 $c$ 是正整数,$4^3=64,5^3=125$,所以 $c≤4$. 又因为 $c^3$ 是 9 的整数倍,所以 $c=3$,所以 $a-b=3$,所以满足条件的两位数 M 有 41,52,63,74,85,96,共 6 个. 故答案为 6.
解析
【分析】
解题时首先要将两位数用含数位数字的代数式表示，设M的十位数字为a，个位数字为b，那么M=10a+b，互换后的N=10b+a，其中a、b都是1~9的正整数。接着化简M-N的表达式得到9(a-b)，结合题目中“M-N是正整数的立方”这一条件，先确定该立方数的取值范围：因为a最大为9，b最小为1，所以9(a-b)最大为72，由此列出小于等于72的正整数立方，再筛选出是9的倍数的立方数，就能得到a和b的数量关系，最后枚举符合条件的数位组合，统计M的个数即可。
【解析】
设两位数M的十位数字为a，个位数字为b（a、b均为正整数，且1≤a≤9，1≤b≤9），则互换后得到的N=10b+a。
设M-N是正整数c的立方，计算得：
$M-N=(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=c^3$
由a≤9，b≥1可得$a-b≤9-1=8$，因此$c^3=9(a-b)≤9×8=72$。
正整数的立方中：$1^3=1$，$2^3=8$，$3^3=27$，$4^3=64$，$5^3=125＞72$，因此$c≤4$。
又因为$c^3$是9的整数倍，所以c必须是3的倍数，在1~4中只有$c=3$符合条件。
将$c=3$代入得$9(a-b)=27$，解得$a-b=3$。
枚举符合条件的(a,b)组合：
b=1时a=4，M=41；b=2时a=5，M=52；b=3时a=6，M=63；
b=4时a=7，M=74；b=5时a=8，M=85；b=6时a=9，M=96；
b≥7时a≥10，不符合两位数的数位要求，因此符合条件的M共6个。
【答案】
6
【知识点】
1. 两位数的代数式表示
2. 立方的性质
3. 不定方程整数解
【点评】
本题融合了数的表示、立方性质与整数解求解，核心是通过代数转化将数位问题转化为方程问题，再结合取值范围、整除特征缩小参数范围，最后通过枚举得到结果，能很好地考察学生的代数转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
解题时首先要将两位数用含数位数字的代数式表示，设M的十位数字为a，个位数字为b，那么M=10a+b，互换后的N=10b+a，其中a、b都是1~9的正整数。接着化简M-N的表达式得到9(a-b)，结合题目中“M-N是正整数的立方”这一条件，先确定该立方数的取值范围：因为a最大为9，b最小为1，所以9(a-b)最大为72，由此列出小于等于72的正整数立方，再筛选出是9的倍数的立方数，就能得到a和b的数量关系，最后枚举符合条件的数位组合，统计M的个数即可。
【解析】
设两位数M的十位数字为a，个位数字为b（a、b均为正整数，且1≤a≤9，1≤b≤9），则互换后得到的N=10b+a。
设M-N是正整数c的立方，计算得：
$M-N=(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=c^3$
由a≤9，b≥1可得$a-b≤9-1=8$，因此$c^3=9(a-b)≤9×8=72$。
正整数的立方中：$1^3=1$，$2^3=8$，$3^3=27$，$4^3=64$，$5^3=125＞72$，因此$c≤4$。
又因为$c^3$是9的整数倍，所以c必须是3的倍数，在1~4中只有$c=3$符合条件。
将$c=3$代入得$9(a-b)=27$，解得$a-b=3$。
枚举符合条件的(a,b)组合：
b=1时a=4，M=41；b=2时a=5，M=52；b=3时a=6，M=63；
b=4时a=7，M=74；b=5时a=8，M=85；b=6时a=9，M=96；
b≥7时a≥10，不符合两位数的数位要求，因此符合条件的M共6个。
【答案】
6
【知识点】
1. 两位数的代数式表示
2. 立方的性质
3. 不定方程整数解
【点评】
本题融合了数的表示、立方性质与整数解求解，核心是通过代数转化将数位问题转化为方程问题，再结合取值范围、整除特征缩小参数范围，最后通过枚举得到结果，能很好地考察学生的代数转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
5[中]有一个长方体水池的长、宽、高之比为2:2:4，其体积为16 m³.
(1)求长方体水池的长、宽、高各为多少.
(2)若将一个半径为r m的球放入注满水的水池中(球沉入水里)，溢出水池的水的体积为水池体积的$\frac{1}{32}$，求该球的半径为多少. (π取3，结果精确到0.1 m. 球的体积公式:$V_{球}=\frac{4}{3}π r^3$)
(1)求长方体水池的长、宽、高各为多少.
(2)若将一个半径为r m的球放入注满水的水池中(球沉入水里)，溢出水池的水的体积为水池体积的$\frac{1}{32}$，求该球的半径为多少. (π取3，结果精确到0.1 m. 球的体积公式:$V_{球}=\frac{4}{3}π r^3$)
答案
5.【解】(1)因为长方体水池的长、宽、高之比为2:2:4,其体积为 16 m³,所以设长方体水池的长、宽、高分别为 $2x\ \mathrm{m},2x\ \mathrm{m},4x\ \mathrm{m}$,所以 $2x·2x·4x=16$,所以 $16x^3=16$,所以 $x^3=1$,解得 $x=1$,所以长方体水池的长、宽、高分别为 2 m,2 m,4 m.
(2)已知该球的半径为 r m,则$\dfrac{4}{3}π r^3=\dfrac{1}{32}×16$,所以 $r^3=\dfrac{1}{32}×16×\dfrac{1}{4}$,所以 $r=0.5$.
答:该球的半径为 0.5 m.
(2)已知该球的半径为 r m,则$\dfrac{4}{3}π r^3=\dfrac{1}{32}×16$,所以 $r^3=\dfrac{1}{32}×16×\dfrac{1}{4}$,所以 $r=0.5$.
答:该球的半径为 0.5 m.
解析
【分析】
(1) 已知长方体长宽高的比例关系，可采用设参数的方法，设比例系数为x，将长、宽、高用含x的代数式表示，再结合长方体体积公式列方程，求解x的立方根即可得到x的值，进而求出长宽高。
(2) 依据排水法原理，溢出水的体积等于完全浸没的球的体积，先算出溢出水的体积，再结合球的体积公式列关于r的方程，代入π=3化简后求r的立方根即可得到半径，结果按要求取近似值。
【解析】
(1) 设长方体水池的长、宽、高分别为$2x\ \mathrm{m}$、$2x\ \mathrm{m}$、$4x\ \mathrm{m}$，根据长方体体积公式可得：
$2x· 2x· 4x=16$
化简得$16x^3=16$，即$x^3=1$，开立方得$x=1$。
所以长为$2×1=2\ \mathrm{m}$，宽为$2×1=2\ \mathrm{m}$，高为$4×1=4\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意可知，溢出水的体积等于球的体积，溢出水的体积为水池体积的$\frac{1}{32}$，即：
$V_{球}=\frac{1}{32}×16=0.5\ \mathrm{m}^3$
代入球的体积公式$V_{球}=\frac{4}{3}π r^3$，且$π$取3，可得：
$\frac{4}{3}×3× r^3=0.5$
化简得$4r^3=0.5$，即$r^3=\frac{1}{8}$，开立方得$r=0.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 长为2m，宽为2m，高为4m；(2) 球的半径为0.5m。
【知识点】
立方根的应用，长方体体积计算，球的体积计算
【点评】
本题结合几何体积的实际应用考察立方根的计算，解题关键是掌握比例设参数的方法，以及排水法中溢出水体积等于浸没物体体积的隐含规律，计算时需注意题目给定的π的取值，避免代入错误数值。
【难度系数】
0.7
(1) 已知长方体长宽高的比例关系，可采用设参数的方法，设比例系数为x，将长、宽、高用含x的代数式表示，再结合长方体体积公式列方程，求解x的立方根即可得到x的值，进而求出长宽高。
(2) 依据排水法原理，溢出水的体积等于完全浸没的球的体积，先算出溢出水的体积，再结合球的体积公式列关于r的方程，代入π=3化简后求r的立方根即可得到半径，结果按要求取近似值。
【解析】
(1) 设长方体水池的长、宽、高分别为$2x\ \mathrm{m}$、$2x\ \mathrm{m}$、$4x\ \mathrm{m}$，根据长方体体积公式可得：
$2x· 2x· 4x=16$
化简得$16x^3=16$，即$x^3=1$，开立方得$x=1$。
所以长为$2×1=2\ \mathrm{m}$，宽为$2×1=2\ \mathrm{m}$，高为$4×1=4\ \mathrm{m}$。
(2) 由题意可知，溢出水的体积等于球的体积，溢出水的体积为水池体积的$\frac{1}{32}$，即：
$V_{球}=\frac{1}{32}×16=0.5\ \mathrm{m}^3$
代入球的体积公式$V_{球}=\frac{4}{3}π r^3$，且$π$取3，可得：
$\frac{4}{3}×3× r^3=0.5$
化简得$4r^3=0.5$，即$r^3=\frac{1}{8}$，开立方得$r=0.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 长为2m，宽为2m，高为4m；(2) 球的半径为0.5m。
【知识点】
立方根的应用，长方体体积计算，球的体积计算
【点评】
本题结合几何体积的实际应用考察立方根的计算，解题关键是掌握比例设参数的方法，以及排水法中溢出水体积等于浸没物体体积的隐含规律，计算时需注意题目给定的π的取值，避免代入错误数值。
【难度系数】
0.7
6 [2025山西忻州期中，中]观察下列各式，然后探索下列问题。
因为$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，所以$\sqrt[3]{-1}=-\sqrt[3]{1}$。
因为$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，所以$\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}$。
因为$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，所以$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}$。
因为$\sqrt[3]{n^3}=(\_\_\_\_\_\_)$，$\sqrt[3]{-n^3}=(\_\_\_\_\_\_)$，
所以$(\_\_\_\_\_\_)=(\_\_\_\_\_\_)$。
(1)在上面的()中填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根有何关系。
(2)计算$\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{-27}+\dots+\sqrt[3]{-100^3}$。
刷素养 走向重高
因为$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，所以$\sqrt[3]{-1}=-\sqrt[3]{1}$。
因为$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，所以$\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}$。
因为$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，所以$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}$。
因为$\sqrt[3]{n^3}=(\_\_\_\_\_\_)$，$\sqrt[3]{-n^3}=(\_\_\_\_\_\_)$，
所以$(\_\_\_\_\_\_)=(\_\_\_\_\_\_)$。
(1)在上面的()中填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根有何关系。
(2)计算$\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{-27}+\dots+\sqrt[3]{-100^3}$。
刷素养 走向重高
答案
6.【解】(1)因为$\sqrt[3]{n^3} = n$,$\sqrt[3]{-n^3} = -n$,所以 $\sqrt[3]{-n^3}=-\sqrt[3]{n^3}$. 故答案为 $n,-n,\sqrt[3]{-n^3},-\sqrt[3]{n^3}$.
互为相反数的两个数的立方根互为相反数.
(2)原式$=-1-2-3-\dots-100=-\dfrac{100×(100+1)}{2}=-5\ 050$.
互为相反数的两个数的立方根互为相反数.
(2)原式$=-1-2-3-\dots-100=-\dfrac{100×(100+1)}{2}=-5\ 050$.
解析
【分析】
（1）先观察给出的已知等式，可发现正数的立方的立方根是它本身，对应负数的立方的立方根是该正数的相反数，据此可推出含n的式子的结果，进而归纳出互为相反数的两个数的立方根的关系；（2）利用（1）中得到的立方根性质，将每个负数的立方根转化为对应正数立方根的相反数，把原式变形为连续负整数的和，再用连续整数求和公式计算即可。
【解析】
(1) 根据立方根的定义，一个数的立方开三次方等于它本身，因此$\sqrt[3]{n^3}=n$，$\sqrt[3]{-n^3}=-n$，由此可得$\sqrt[3]{-n^3}=-\sqrt[3]{n^3}$；
观察规律可猜测：互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
(2) 由（1）的结论可得：
$\sqrt[3]{-1}=-\sqrt[3]{1}=-1$，$\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-2$，$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$，……，$\sqrt[3]{-100^3}=-100$
因此原式$=-1-2-3-\dots-100$
$=-(1+2+3+\dots+100)$
根据连续整数求和公式：$1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$，代入$k=100$得：
$1+2+\dots+100=\frac{100×(100+1)}{2}=5050$
所以原式$=-5050$
【答案】
(1) 依次填$n$，$-n$，$\sqrt[3]{-n^3}$，$-\sqrt[3]{n^3}$；互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
(2) $-5050$
【知识点】
立方根的性质，规律探究，有理数求和
【点评】
本题先通过举例归纳得出立方根的相关性质，再运用性质进行计算，既考查了学生的规律归纳能力，又考查了性质的灵活运用能力，是立方根板块的典型习题。
【难度系数】
0.7
（1）先观察给出的已知等式，可发现正数的立方的立方根是它本身，对应负数的立方的立方根是该正数的相反数，据此可推出含n的式子的结果，进而归纳出互为相反数的两个数的立方根的关系；（2）利用（1）中得到的立方根性质，将每个负数的立方根转化为对应正数立方根的相反数，把原式变形为连续负整数的和，再用连续整数求和公式计算即可。
【解析】
(1) 根据立方根的定义，一个数的立方开三次方等于它本身，因此$\sqrt[3]{n^3}=n$，$\sqrt[3]{-n^3}=-n$，由此可得$\sqrt[3]{-n^3}=-\sqrt[3]{n^3}$；
观察规律可猜测：互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
(2) 由（1）的结论可得：
$\sqrt[3]{-1}=-\sqrt[3]{1}=-1$，$\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-2$，$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$，……，$\sqrt[3]{-100^3}=-100$
因此原式$=-1-2-3-\dots-100$
$=-(1+2+3+\dots+100)$
根据连续整数求和公式：$1+2+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$，代入$k=100$得：
$1+2+\dots+100=\frac{100×(100+1)}{2}=5050$
所以原式$=-5050$
【答案】
(1) 依次填$n$，$-n$，$\sqrt[3]{-n^3}$，$-\sqrt[3]{n^3}$；互为相反数的两个数的立方根互为相反数。
(2) $-5050$
【知识点】
立方根的性质，规律探究，有理数求和
【点评】
本题先通过举例归纳得出立方根的相关性质，再运用性质进行计算，既考查了学生的规律归纳能力，又考查了性质的灵活运用能力，是立方根板块的典型习题。
【难度系数】
0.7
7 核心素养推理能力[2025湖北武汉期中,较难]阅读下列材料:
已知 59 319 的立方根是正整数,要得到$\sqrt[3]{59\ 319}$的结果,可以按如下步骤思考:
第一步:确定$\sqrt[3]{59\ 319}$的位数,因为$10^3=1\ 000$,$100^3=1\ 000\ 000$,而$1\ 000＜59\ 319＜1\ 000\ 000$,所以$10＜\sqrt[3]{59\ 319}＜100$,由此得$\sqrt[3]{59\ 319}$是两位数;
第二步:确定个位数字,因为 59 319 个位上的数字是9,而只有9的立方的个位上的数字是9,所以$\sqrt[3]{59\ 319}$个位上的数字是9;
第三步:确定十位数字,划去 59 319 后面的三位 319 得到 59,因为$3^3=27,4^3=64$,而$27＜59＜64$,所以$\sqrt[3]{59\ 319}$十位上的数字是3.
综上,$\sqrt[3]{59\ 319}=39$.
请根据上述内容,完成以下问题:
(1)若$\sqrt[3]{x}$为正整数,它的个位上的数字是$m$,$x$的个位上的数字是$n$,请将下表填写完整.
(2)已知 262 144,474 552 都是整数的立方,则$\sqrt[3]{262\ 144}=$
已知 59 319 的立方根是正整数,要得到$\sqrt[3]{59\ 319}$的结果,可以按如下步骤思考:
第一步:确定$\sqrt[3]{59\ 319}$的位数,因为$10^3=1\ 000$,$100^3=1\ 000\ 000$,而$1\ 000＜59\ 319＜1\ 000\ 000$,所以$10＜\sqrt[3]{59\ 319}＜100$,由此得$\sqrt[3]{59\ 319}$是两位数;
第二步:确定个位数字,因为 59 319 个位上的数字是9,而只有9的立方的个位上的数字是9,所以$\sqrt[3]{59\ 319}$个位上的数字是9;
第三步:确定十位数字,划去 59 319 后面的三位 319 得到 59,因为$3^3=27,4^3=64$,而$27＜59＜64$,所以$\sqrt[3]{59\ 319}$十位上的数字是3.
综上,$\sqrt[3]{59\ 319}=39$.
请根据上述内容,完成以下问题:
(1)若$\sqrt[3]{x}$为正整数,它的个位上的数字是$m$,$x$的个位上的数字是$n$,请将下表填写完整.
(2)已知 262 144,474 552 都是整数的立方,则$\sqrt[3]{262\ 144}=$
64
,$\sqrt[3]{474.552}=$7.8
.答案
7.【解】(1)$4^3=4×4×4=64,6^3=6×6×6=216,8^3=8×8×8=512$. 故从左到右依次填入4,6,2.
(2)要得到$\sqrt[3]{262\ 144}$的结果,可以按如下步骤思考:第一步:确定$\sqrt[3]{262\ 144}$的位数,因为 $10^3=1\ 000,100^3=1\ 000\ 000$,而 $1\ 000＜262\ 144＜1\ 000\ 000$,所以 $10＜\sqrt[3]{262\ 144}＜100$,由此得$\sqrt[3]{262\ 144}$是两位数;第二步:确定个位数字,因为 262 144 个位上的数字是4,而只有4的立方的个位上的数字是4,所以$\sqrt[3]{262\ 144}$个位上的数字是4;第三步:确定十位数字,划去 262 144 后面的三位 144 得到 262,因为 $6^3=216,7^3=343$,而 $216＜262＜343$,所以$\sqrt[3]{262\ 144}$十位上的数字是 6. 综上,$\sqrt[3]{262\ 144}=64$.
要得到$\sqrt[3]{474.552}$的结果,即要得到$\dfrac{\sqrt[3]{474\ 552}}{10}$的结果,可以按如下步骤思考:第一步:确定$\sqrt[3]{474\ 552}$的位数,因为 $10^3=1\ 000,100^3=1\ 000\ 000$,而 $1\ 000＜474\ 552＜1\ 000\ 000$,所以 $10＜\sqrt[3]{474\ 552}＜100$,由此得$\sqrt[3]{474\ 552}$是两位数;第二步:确定个位数字,因为 474 552 个位上的数字是 2,而只有 8 的立方的个位上的数字是 2,所以$\sqrt[3]{474\ 552}$个位上的数字是 8;第三步:确定十位数字,划去 474 552 后面的三位 552 得到 474,因为 $7^3=343,8^3=512$,而 $343＜474＜512$,所以$\sqrt[3]{474\ 552}$十位上的数字是 7. 综上,$\sqrt[3]{474\ 552}=78$,所以 $\sqrt[3]{474.552} = \dfrac{78}{10}=7.8$. 故答案为 64,7.8.
(2)要得到$\sqrt[3]{262\ 144}$的结果,可以按如下步骤思考:第一步:确定$\sqrt[3]{262\ 144}$的位数,因为 $10^3=1\ 000,100^3=1\ 000\ 000$,而 $1\ 000＜262\ 144＜1\ 000\ 000$,所以 $10＜\sqrt[3]{262\ 144}＜100$,由此得$\sqrt[3]{262\ 144}$是两位数;第二步:确定个位数字,因为 262 144 个位上的数字是4,而只有4的立方的个位上的数字是4,所以$\sqrt[3]{262\ 144}$个位上的数字是4;第三步:确定十位数字,划去 262 144 后面的三位 144 得到 262,因为 $6^3=216,7^3=343$,而 $216＜262＜343$,所以$\sqrt[3]{262\ 144}$十位上的数字是 6. 综上,$\sqrt[3]{262\ 144}=64$.
要得到$\sqrt[3]{474.552}$的结果,即要得到$\dfrac{\sqrt[3]{474\ 552}}{10}$的结果,可以按如下步骤思考:第一步:确定$\sqrt[3]{474\ 552}$的位数,因为 $10^3=1\ 000,100^3=1\ 000\ 000$,而 $1\ 000＜474\ 552＜1\ 000\ 000$,所以 $10＜\sqrt[3]{474\ 552}＜100$,由此得$\sqrt[3]{474\ 552}$是两位数;第二步:确定个位数字,因为 474 552 个位上的数字是 2,而只有 8 的立方的个位上的数字是 2,所以$\sqrt[3]{474\ 552}$个位上的数字是 8;第三步:确定十位数字,划去 474 552 后面的三位 552 得到 474,因为 $7^3=343,8^3=512$,而 $343＜474＜512$,所以$\sqrt[3]{474\ 552}$十位上的数字是 7. 综上,$\sqrt[3]{474\ 552}=78$,所以 $\sqrt[3]{474.552} = \dfrac{78}{10}=7.8$. 故答案为 64,7.8.
解析
【分析】
本题是材料阅读类题目，解题需先掌握材料给出的求正整数立方根的方法。(1)问中n是x的个位数字，x等于对应立方根的立方，因此n就是m的立方的个位数字，只需分别计算m=4、6、8时的立方，取个位数字即可填空。(2)问求两个数的立方根，对于整数262144，直接按照材料的三步法：先确定位数，再确定个位数字，最后确定十位数字求解即可；对于小数474.552，可利用立方根性质将其转化为求整数474552的立方根再除以10，同样用三步法计算整数的立方根后换算即可。
【解析】
(1) 分别计算对应m的立方的个位：
当m=4时，$4^3=4×4×4=64$，个位数字是4，即n=4；
当m=6时，$6^3=6×6×6=216$，个位数字是6，即n=6；
当m=8时，$8^3=8×8×8=512$，个位数字是2，即n=2；
因此表格从左到右依次填入4、6、2。
(2) 求$\sqrt[3]{262144}$：
第一步：确定位数，因为$10^3=1000$，$100^3=1000000$，$1000＜262144＜1000000$，所以$10＜\sqrt[3]{262144}＜100$，是两位数；
第二步：确定个位数字，262144个位是4，只有4的立方个位是4，因此个位数字是4；
第三步：确定十位数字，划去后三位144得262，因为$6^3=216$，$7^3=343$，$216＜262＜343$，因此十位数字是6；
综上，$\sqrt[3]{262144}=64$。
求$\sqrt[3]{474.552}$：
根据立方根性质，$\sqrt[3]{474.552}=\sqrt[3]{\frac{474552}{1000}}=\frac{\sqrt[3]{474552}}{10}$，先求$\sqrt[3]{474552}$：
第一步：确定位数，$1000＜474552＜1000000$，所以是两位数；
第二步：确定个位数字，474552个位是2，只有8的立方个位是2，因此个位数字是8；
第三步：确定十位数字，划去后三位552得474，因为$7^3=343$，$8^3=512$，$343＜474＜512$，因此十位数字是7，即$\sqrt[3]{474552}=78$；
所以$\sqrt[3]{474.552}=\frac{78}{10}=7.8$。
【答案】
(1) 4，6，2；(2) 64，7.8
【知识点】
立方根的估算，乘方运算，立方根的性质
【点评】
本题属于新定义阅读类问题，需要学生准确理解材料给出的求立方根的方法，结合乘方的个位规律和立方数的大小范围推理得到结果，同时考查了小数立方根的转化，能有效锻炼信息提取能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题是材料阅读类题目，解题需先掌握材料给出的求正整数立方根的方法。(1)问中n是x的个位数字，x等于对应立方根的立方，因此n就是m的立方的个位数字，只需分别计算m=4、6、8时的立方，取个位数字即可填空。(2)问求两个数的立方根，对于整数262144，直接按照材料的三步法：先确定位数，再确定个位数字，最后确定十位数字求解即可；对于小数474.552，可利用立方根性质将其转化为求整数474552的立方根再除以10，同样用三步法计算整数的立方根后换算即可。
【解析】
(1) 分别计算对应m的立方的个位：
当m=4时，$4^3=4×4×4=64$，个位数字是4，即n=4；
当m=6时，$6^3=6×6×6=216$，个位数字是6，即n=6；
当m=8时，$8^3=8×8×8=512$，个位数字是2，即n=2；
因此表格从左到右依次填入4、6、2。
(2) 求$\sqrt[3]{262144}$：
第一步：确定位数，因为$10^3=1000$，$100^3=1000000$，$1000＜262144＜1000000$，所以$10＜\sqrt[3]{262144}＜100$，是两位数；
第二步：确定个位数字，262144个位是4，只有4的立方个位是4，因此个位数字是4；
第三步：确定十位数字，划去后三位144得262，因为$6^3=216$，$7^3=343$，$216＜262＜343$，因此十位数字是6；
综上，$\sqrt[3]{262144}=64$。
求$\sqrt[3]{474.552}$：
根据立方根性质，$\sqrt[3]{474.552}=\sqrt[3]{\frac{474552}{1000}}=\frac{\sqrt[3]{474552}}{10}$，先求$\sqrt[3]{474552}$：
第一步：确定位数，$1000＜474552＜1000000$，所以是两位数；
第二步：确定个位数字，474552个位是2，只有8的立方个位是2，因此个位数字是8；
第三步：确定十位数字，划去后三位552得474，因为$7^3=343$，$8^3=512$，$343＜474＜512$，因此十位数字是7，即$\sqrt[3]{474552}=78$；
所以$\sqrt[3]{474.552}=\frac{78}{10}=7.8$。
【答案】
(1) 4，6，2；(2) 64，7.8
【知识点】
立方根的估算，乘方运算，立方根的性质
【点评】
本题属于新定义阅读类问题，需要学生准确理解材料给出的求立方根的方法，结合乘方的个位规律和立方数的大小范围推理得到结果，同时考查了小数立方根的转化，能有效锻炼信息提取能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
