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9 如图，为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是 （
A.0
B.1
C.2
D.5
C
）A.0
B.1
C.2
D.5
答案
9. C
解析
【分析】
解题核心是利用三角形具有稳定性的性质，多边形本身不具备稳定性，要让五边形架子不变形，需要通过添加木棒将五边形分割为若干个三角形。对于n边形，过一个顶点连接不相邻的顶点，可将其分为(n-2)个三角形，需要添加的木棒（对角线）数量为(n-3)，代入五边形的边数计算即可得到结果。
【解析】
三角形具有稳定性，五边形这类多边形不具有稳定性，要使五边形架子不变形，需将其分割为多个三角形。
过五边形任意一个顶点，连接和它不相邻的顶点，可将五边形分成 $ 5-2=3 $ 个三角形，需要添加的木棒数量为 $ 5-3=2 $ 根，因此至少要钉上2根木棒。
【答案】
C
【知识点】
三角形的稳定性，多边形的对角线
【点评】
本题考查三角形稳定性的实际应用，解题关键是明确将不稳定的多边形转化为稳定的三角形即可固定多边形结构，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用三角形具有稳定性的性质，多边形本身不具备稳定性，要让五边形架子不变形，需要通过添加木棒将五边形分割为若干个三角形。对于n边形，过一个顶点连接不相邻的顶点，可将其分为(n-2)个三角形，需要添加的木棒（对角线）数量为(n-3)，代入五边形的边数计算即可得到结果。
【解析】
三角形具有稳定性，五边形这类多边形不具有稳定性，要使五边形架子不变形，需将其分割为多个三角形。
过五边形任意一个顶点，连接和它不相邻的顶点，可将五边形分成 $ 5-2=3 $ 个三角形，需要添加的木棒数量为 $ 5-3=2 $ 根，因此至少要钉上2根木棒。
【答案】
C
【知识点】
三角形的稳定性，多边形的对角线
【点评】
本题考查三角形稳定性的实际应用，解题关键是明确将不稳定的多边形转化为稳定的三角形即可固定多边形结构，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
10 一个三角形的两边长分别是3和7，且第三条边的长为整数，则该三角形的周长的最大值为（
A.15
B.16
C.18
D.19
D
）A.15
B.16
C.18
D.19
答案
10. D
解析
【分析】
要解决这个问题，需先根据三角形三边关系确定第三条边的取值范围，再结合第三条边是整数的条件，找到能让周长最大的第三边的取值，最后计算周长即可。解题第一步回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入已知两边的长度得到第三边的范围；第二步要周长最大，在范围内取最大的整数作为第三边；第三步将三边长度相加得到最大周长。
【解析】
设三角形第三条边的长为$x$，根据三角形三边关系可得：
$7 - 3 ＜ x ＜ 7 + 3$
即$4 ＜ x ＜ 10$
因为第三条边的长为整数，所以$x$可取的最大整数值为9。
此时三角形的周长为$3 + 7 + 9 = 19$。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系、周长计算
【点评】
本题是三角形边长相关的基础常考题型，解题核心是准确运用三角形三边关系求出第三边的取值范围，注意第三边不能等于两边之和或两边之差，再结合题干限定条件计算即可。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需先根据三角形三边关系确定第三条边的取值范围，再结合第三条边是整数的条件，找到能让周长最大的第三边的取值，最后计算周长即可。解题第一步回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入已知两边的长度得到第三边的范围；第二步要周长最大，在范围内取最大的整数作为第三边；第三步将三边长度相加得到最大周长。
【解析】
设三角形第三条边的长为$x$，根据三角形三边关系可得：
$7 - 3 ＜ x ＜ 7 + 3$
即$4 ＜ x ＜ 10$
因为第三条边的长为整数，所以$x$可取的最大整数值为9。
此时三角形的周长为$3 + 7 + 9 = 19$。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系、周长计算
【点评】
本题是三角形边长相关的基础常考题型，解题核心是准确运用三角形三边关系求出第三边的取值范围，注意第三边不能等于两边之和或两边之差，再结合题干限定条件计算即可。
【难度系数】
0.8
11 长度分别为8 dm,6 dm,6 dm,4 dm的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为 (
A.8 dm
B.10 dm
C.12 dm
D.14 dm
B
)A.8 dm
B.10 dm
C.12 dm
D.14 dm
答案
11. B
解析
【分析】
解题首先回忆三角形的核心判定规则：三角形任意两边之和大于第三边。本题需要将4根木棒拼接为3条边（将其中2根拼接为1条边，剩余2根各作为1条独立边），要得到最长的可能边长，可先通过总长度限制最长边的最大范围，排除不符合的选项，再验证剩余选项是否满足三边关系即可。
【解析】
1. 先计算四根木棒的总长度：$8 + 6 + 6 + 4 = 24\,\mathrm{dm}$。根据三角形三边关系，最长边必须小于另外两条边的和，因此最长边一定小于周长的一半，即$24÷2=12\,\mathrm{dm}$，可直接排除C（12dm）、D（14dm）两个选项。
2. 验证最长边能否为10dm：将长度为6dm和4dm的木棒拼接得到10dm的边，此时三角形三边长分别为10dm、8dm、6dm。检查三边关系：$6 + 8 ＞ 10$，$6 + 10 ＞ 8$，$8 + 10 ＞ 6$，均满足三角形三边要求，可构成三角形。
3. 验证是否存在更长的可行边长：若尝试拼接出比10dm长的边，例如将8dm和4dm拼接为12dm，此时剩余两边为6dm、6dm，$6+6=12$，不满足两边之和严格大于第三边，无法构成三角形；其余拼接组合（如8+6=14dm、6+6=12dm）均不满足三边关系，因此最长边只能是10dm。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系、线段的和差计算
【点评】
本题结合线段拼接的场景考察三角形三边关系的灵活应用，解题时先利用周长特征缩小可选范围，再逐一验证，可有效提升解题效率，同时要注意“两边之和大于第三边”是严格大于，等于时无法构成三角形。
【难度系数】
0.7
解题首先回忆三角形的核心判定规则：三角形任意两边之和大于第三边。本题需要将4根木棒拼接为3条边（将其中2根拼接为1条边，剩余2根各作为1条独立边），要得到最长的可能边长，可先通过总长度限制最长边的最大范围，排除不符合的选项，再验证剩余选项是否满足三边关系即可。
【解析】
1. 先计算四根木棒的总长度：$8 + 6 + 6 + 4 = 24\,\mathrm{dm}$。根据三角形三边关系，最长边必须小于另外两条边的和，因此最长边一定小于周长的一半，即$24÷2=12\,\mathrm{dm}$，可直接排除C（12dm）、D（14dm）两个选项。
2. 验证最长边能否为10dm：将长度为6dm和4dm的木棒拼接得到10dm的边，此时三角形三边长分别为10dm、8dm、6dm。检查三边关系：$6 + 8 ＞ 10$，$6 + 10 ＞ 8$，$8 + 10 ＞ 6$，均满足三角形三边要求，可构成三角形。
3. 验证是否存在更长的可行边长：若尝试拼接出比10dm长的边，例如将8dm和4dm拼接为12dm，此时剩余两边为6dm、6dm，$6+6=12$，不满足两边之和严格大于第三边，无法构成三角形；其余拼接组合（如8+6=14dm、6+6=12dm）均不满足三边关系，因此最长边只能是10dm。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系、线段的和差计算
【点评】
本题结合线段拼接的场景考察三角形三边关系的灵活应用，解题时先利用周长特征缩小可选范围，再逐一验证，可有效提升解题效率，同时要注意“两边之和大于第三边”是严格大于，等于时无法构成三角形。
【难度系数】
0.7
12 已知三角形的三边长分别为 2，x，8. 若 x 为正整数，则这样的三角形共有
3
个.答案
12. 3
解析
【分析】
解决本题的核心是运用三角形三边关系确定第三边x的取值范围，再结合x是正整数的限定条件，统计符合要求的x的个数即可。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列出关于x的不等式，求出范围后筛选正整数即可。
【解析】
根据三角形三边关系，第三边x的取值需满足：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和
即 $8 - 2 ＜ x ＜ 8 + 2$
化简得 $6 ＜ x ＜ 10$
已知x为正整数，那么x可取的值为7、8、9，共3个。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系、不等式的整数解
【点评】
本题是基础题型，重点考查三角形三边关系的实际应用，解题时要注意第三边的取值范围需要同时满足大于两边之差、小于两边之和，再结合题干的附加条件筛选结果即可，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是运用三角形三边关系确定第三边x的取值范围，再结合x是正整数的限定条件，统计符合要求的x的个数即可。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列出关于x的不等式，求出范围后筛选正整数即可。
【解析】
根据三角形三边关系，第三边x的取值需满足：
两边之差 ＜ 第三边 ＜ 两边之和
即 $8 - 2 ＜ x ＜ 8 + 2$
化简得 $6 ＜ x ＜ 10$
已知x为正整数，那么x可取的值为7、8、9，共3个。
【答案】
3
【知识点】
三角形三边关系、不等式的整数解
【点评】
本题是基础题型，重点考查三角形三边关系的实际应用，解题时要注意第三边的取值范围需要同时满足大于两边之差、小于两边之和，再结合题干的附加条件筛选结果即可，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.8
13 教材 P10 习题 T6 变式
（1）已知等腰三角形的一边长为8 cm，一边长为9 cm，求该等腰三角形的周长；
（2）已知等腰三角形的周长是16 cm，若其中一边长为6 cm，求另外两边的长；
（3）已知等腰三角形的周长为18，腰长为x，求x的取值范围。
（1）已知等腰三角形的一边长为8 cm，一边长为9 cm，求该等腰三角形的周长；
（2）已知等腰三角形的周长是16 cm，若其中一边长为6 cm，求另外两边的长；
（3）已知等腰三角形的周长为18，腰长为x，求x的取值范围。
答案
13. (1) 当腰长为 8 cm 时，等腰三角形的周长为 $8×2+9=25(\mathrm{cm})$；当腰长为 9 cm 时，等腰三角形的周长为 $8+9×2=26(\mathrm{cm})$。$\therefore$ 等腰三角形的周长为 25 cm 或 26 cm
(2) 当腰长为 6 cm 时，另外两边的长分别为 6 cm 和 4 cm；当底边长为 6 cm 时，另外两边的长分别为 5 cm 和 5 cm
(3) $\because$ 等腰三角形的腰长为 $x$，$\therefore$ 等腰三角形的底边长为 $(18-2x)$。由题意，得
$\begin{cases}18-2x＞0,\\18-2x＜2x,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x＜9,\\x＞\dfrac{9}{2}.\end{cases}$ $\therefore x$ 的取值范围是 $\dfrac{9}{2}＜x＜9$
(2) 当腰长为 6 cm 时，另外两边的长分别为 6 cm 和 4 cm；当底边长为 6 cm 时，另外两边的长分别为 5 cm 和 5 cm
(3) $\because$ 等腰三角形的腰长为 $x$，$\therefore$ 等腰三角形的底边长为 $(18-2x)$。由题意，得
$\begin{cases}18-2x＞0,\\18-2x＜2x,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x＜9,\\x＞\dfrac{9}{2}.\end{cases}$ $\therefore x$ 的取值范围是 $\dfrac{9}{2}＜x＜9$
解析
【分析】
本题围绕等腰三角形的边长相关计算展开，核心解题思路如下：①等腰三角形边长未明确腰、底边时，必须分类讨论两种情况；②所有边长组合都要验证是否符合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不符合的情况；③第三问需先结合周长公式表示出底边长，再根据三边关系列不等式组求解取值范围。
各小问具体思考路径：
（1）已知两边长，分别假设8cm为腰、9cm为底，以及9cm为腰、8cm为底两种情况，验证三边符合关系后计算对应周长即可。
（2）已知周长和其中一边长，分该边长为腰、为底边两种情况，分别计算另外两边，再验证三边是否成立。
（3）用周长和腰长x表示出底边长为18-2x，再根据“底边长大于0”“两腰之和大于底边长”列不等式，联立求解即可得到x的范围。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①当腰长为8cm时，三边长为8cm、8cm、9cm，满足8+8＞9，符合三角形三边关系，此时周长为$8×2+9=25(\mathrm{cm})$；
②当腰长为9cm时，三边长为9cm、9cm、8cm，满足9+8＞9，符合三角形三边关系，此时周长为$8+9×2=26(\mathrm{cm})$。
（2）分两种情况讨论：
①当腰长为6cm时，底边长为$16-6×2=4(\mathrm{cm})$，三边长为6cm、6cm、4cm，满足6+4＞6，符合三边关系，故另外两边为6cm、4cm；
②当底边长为6cm时，腰长为$(16-6)÷2=5(\mathrm{cm})$，三边长为5cm、5cm、6cm，满足5+5＞6，符合三边关系，故另外两边为5cm、5cm。
（3）已知腰长为$x$，则底边长为$(18-2x)$，根据边长为正和三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases}18-2x＞0\\18-2x＜2x\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜9$，解第二个不等式得$x＞\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) 等腰三角形的周长为25 cm或26 cm
(2) 另外两边的长分别为6 cm和4 cm或5 cm和5 cm
(3) $x$ 的取值范围是 $\dfrac{9}{2}＜x＜9$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，不等式组的应用
【点评】
本题侧重考查分类讨论思想的应用，解题时需注意未明确腰和底边的等腰三角形边长问题必须分情况讨论，且每类情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免出现无效解，第三小问通过建立不等式求解取值范围，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
本题围绕等腰三角形的边长相关计算展开，核心解题思路如下：①等腰三角形边长未明确腰、底边时，必须分类讨论两种情况；②所有边长组合都要验证是否符合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不符合的情况；③第三问需先结合周长公式表示出底边长，再根据三边关系列不等式组求解取值范围。
各小问具体思考路径：
（1）已知两边长，分别假设8cm为腰、9cm为底，以及9cm为腰、8cm为底两种情况，验证三边符合关系后计算对应周长即可。
（2）已知周长和其中一边长，分该边长为腰、为底边两种情况，分别计算另外两边，再验证三边是否成立。
（3）用周长和腰长x表示出底边长为18-2x，再根据“底边长大于0”“两腰之和大于底边长”列不等式，联立求解即可得到x的范围。
【解析】
（1）分两种情况讨论：
①当腰长为8cm时，三边长为8cm、8cm、9cm，满足8+8＞9，符合三角形三边关系，此时周长为$8×2+9=25(\mathrm{cm})$；
②当腰长为9cm时，三边长为9cm、9cm、8cm，满足9+8＞9，符合三角形三边关系，此时周长为$8+9×2=26(\mathrm{cm})$。
（2）分两种情况讨论：
①当腰长为6cm时，底边长为$16-6×2=4(\mathrm{cm})$，三边长为6cm、6cm、4cm，满足6+4＞6，符合三边关系，故另外两边为6cm、4cm；
②当底边长为6cm时，腰长为$(16-6)÷2=5(\mathrm{cm})$，三边长为5cm、5cm、6cm，满足5+5＞6，符合三边关系，故另外两边为5cm、5cm。
（3）已知腰长为$x$，则底边长为$(18-2x)$，根据边长为正和三角形三边关系列不等式组：
$\begin{cases}18-2x＞0\\18-2x＜2x\end{cases}$
解第一个不等式得$x＜9$，解第二个不等式得$x＞\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) 等腰三角形的周长为25 cm或26 cm
(2) 另外两边的长分别为6 cm和4 cm或5 cm和5 cm
(3) $x$ 的取值范围是 $\dfrac{9}{2}＜x＜9$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，不等式组的应用
【点评】
本题侧重考查分类讨论思想的应用，解题时需注意未明确腰和底边的等腰三角形边长问题必须分情况讨论，且每类情况都要验证是否满足三角形三边关系，避免出现无效解，第三小问通过建立不等式求解取值范围，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
14 已知$a,b,c$是三角形的三边长.
（1）填空：$a - b + c$ ______ $0$，$b - c - a$ ______ $0$，$c - a - b$ ______ $0$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)；
（2）化简：$|b + c - a| + |b - c - a| + |c - a - b| - |a - b + c|$.
（1）填空：$a - b + c$ ______ $0$，$b - c - a$ ______ $0$，$c - a - b$ ______ $0$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)；
（2）化简：$|b + c - a| + |b - c - a| + |c - a - b| - |a - b + c|$.
答案
14. (1) $＞$ $＜$ $＜$
(2) $\because a,b,c$ 是三角形的三边长，$\therefore b+c-a＞0,b-c-a＜0,c-a-b＜0,a-b+c＞0$。$\therefore$ 原式$=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b$
(2) $\because a,b,c$ 是三角形的三边长，$\therefore b+c-a＞0,b-c-a＜0,c-a-b＜0,a-b+c＞0$。$\therefore$ 原式$=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b$
解析
【分析】
（1）解题思路：回忆三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，将待判断的式子变形为两边之和与第三边比较的形式，即可判断符号。
（2）解题思路：化简含绝对值的式子首先要判断绝对值内代数式的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。先根据三角形三边关系判断四个绝对值内式子的正负，再去绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
（1）已知$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边
可得$a+c＞b$，移项得$a-b+c＞0$；
可得$a+c＞b$，移项得$b-(a+c)＜0$，即$b-c-a＜0$；
可得$a+b＞c$，移项得$c-(a+b)＜0$，即$c-a-b＜0$。
（2）根据三角形三边关系可判断：
$b+c-a＞0$，$b-c-a＜0$，$c-a-b＜0$，$a-b+c＞0$
结合绝对值的性质去绝对值，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(b + c - a) + [-(b - c - a)] + [-(c - a - b)] - (a - b + c)\\&=b + c - a - b + c + a - c + a + b - a + b - c\\&=2b\end{aligned}$
【答案】
（1）$＞$；$＜$；$＜$
（2）$2b$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减
【点评】
本题是三角形性质与代数式化简的结合题型，解题核心是利用三角形三边关系准确判断绝对值内式子的正负，再结合绝对值性质去绝对值后合并同类项即可，属于常规基础题，掌握相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）解题思路：回忆三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，将待判断的式子变形为两边之和与第三边比较的形式，即可判断符号。
（2）解题思路：化简含绝对值的式子首先要判断绝对值内代数式的正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。先根据三角形三边关系判断四个绝对值内式子的正负，再去绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果。
【解析】
（1）已知$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边
可得$a+c＞b$，移项得$a-b+c＞0$；
可得$a+c＞b$，移项得$b-(a+c)＜0$，即$b-c-a＜0$；
可得$a+b＞c$，移项得$c-(a+b)＜0$，即$c-a-b＜0$。
（2）根据三角形三边关系可判断：
$b+c-a＞0$，$b-c-a＜0$，$c-a-b＜0$，$a-b+c＞0$
结合绝对值的性质去绝对值，代入原式得：
$\begin{aligned}原式&=(b + c - a) + [-(b - c - a)] + [-(c - a - b)] - (a - b + c)\\&=b + c - a - b + c + a - c + a + b - a + b - c\\&=2b\end{aligned}$
【答案】
（1）$＞$；$＜$；$＜$
（2）$2b$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简；整式的加减
【点评】
本题是三角形性质与代数式化简的结合题型，解题核心是利用三角形三边关系准确判断绝对值内式子的正负，再结合绝对值性质去绝对值后合并同类项即可，属于常规基础题，掌握相关性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
15 如图,小红欲从 A 地前往 B 地,有三条路线可走:① $A \to B$;② $A \to D \to B$;③ $A \to C \to B$.
(1) 在不考虑其他因素的情况下,我们可以肯定小红会走路线①,理由是
(2) 小红绝对不会走路线③,因为路线③的路程最长,即 $AC + BC ＞ AD + BD$. 你能说明其中的原因吗?
(第 15 题)
(1) 在不考虑其他因素的情况下,我们可以肯定小红会走路线①,理由是
三角形两边的和大于第三边(或两点之间线段最短)
.(2) 小红绝对不会走路线③,因为路线③的路程最长,即 $AC + BC ＞ AD + BD$. 你能说明其中的原因吗?
(第 15 题)
答案
15. (1) 三角形两边的和大于第三边(或两点之间线段最短)
(2) 如图，延长 BD 交 AC 于点 E。在$△ CBE$中，由三角形的三边关系，得 $BC+CE＞BE$①。在$△ ADE$中，由三角形的三边关系，得 $AE+DE＞AD$②。由①+②，得 $BC+CE+AE+DE＞BE+AD$。$\because CE+AE=AC$，$BE=BD+DE$，$\therefore AC+BC＞AD+BD$
解析
【分析】
(1) 三条路线中路线①是直接连接A、B两点的线段，根据线段的性质或三角形三边关系可知线段路径最短，因此可判断小红会选择路线①。
(2) 要证明$AC+BC＞AD+BD$，可通过作辅助线将分散的线段整合到不同三角形中：延长BD交AC于点E，分别在两个三角形中应用三边关系得到不等式，再将两个不等式相加，替换等量线段后化简即可得出结论。
【解析】
(1) 两点之间线段最短，折线的长度一定大于对应两点之间线段的长度，因此路线①路程最短，小红会选择该路线。
(2) 证明：延长BD交AC于点E。
在$△ CBE$中，根据三角形两边之和大于第三边，得$BC+CE＞BE$ ①；
在$△ ADE$中，同理得$AE+DE＞AD$ ②；
将①和②左右两边相加，可得$BC+CE+AE+DE＞BE+AD$；
由于$CE+AE=AC$，$BE=BD+DE$，代入上式得$BC+AC+DE＞BD+DE+AD$；
两边同时减去DE，最终得$AC+BC＞AD+BD$。
【答案】
(1) 三角形两边的和大于第三边(或两点之间线段最短)
(2) 如图，延长 BD 交 AC 于点 E。在$△ CBE$中，由三角形的三边关系，得 $BC+CE＞BE$①。在$△ ADE$中，由三角形的三边关系，得 $AE+DE＞AD$②。由①+②，得 $BC+CE+AE+DE＞BE+AD$。$\because CE+AE=AC$，$BE=BD+DE$，$\therefore AC+BC＞AD+BD$
【知识点】
两点之间线段最短；三角形三边关系
【点评】
本题侧重考查几何基本性质的应用，作辅助线构造三角形转化线段关系是解题的关键，掌握将待证线段不等式拆解为多个三角形三边关系叠加的思路，可高效解决同类问题。
【难度系数】
0.6
(1) 三条路线中路线①是直接连接A、B两点的线段，根据线段的性质或三角形三边关系可知线段路径最短，因此可判断小红会选择路线①。
(2) 要证明$AC+BC＞AD+BD$，可通过作辅助线将分散的线段整合到不同三角形中：延长BD交AC于点E，分别在两个三角形中应用三边关系得到不等式，再将两个不等式相加，替换等量线段后化简即可得出结论。
【解析】
(1) 两点之间线段最短，折线的长度一定大于对应两点之间线段的长度，因此路线①路程最短，小红会选择该路线。
(2) 证明：延长BD交AC于点E。
在$△ CBE$中，根据三角形两边之和大于第三边，得$BC+CE＞BE$ ①；
在$△ ADE$中，同理得$AE+DE＞AD$ ②；
将①和②左右两边相加，可得$BC+CE+AE+DE＞BE+AD$；
由于$CE+AE=AC$，$BE=BD+DE$，代入上式得$BC+AC+DE＞BD+DE+AD$；
两边同时减去DE，最终得$AC+BC＞AD+BD$。
【答案】
(1) 三角形两边的和大于第三边(或两点之间线段最短)
(2) 如图，延长 BD 交 AC 于点 E。在$△ CBE$中，由三角形的三边关系，得 $BC+CE＞BE$①。在$△ ADE$中，由三角形的三边关系，得 $AE+DE＞AD$②。由①+②，得 $BC+CE+AE+DE＞BE+AD$。$\because CE+AE=AC$，$BE=BD+DE$，$\therefore AC+BC＞AD+BD$
【知识点】
两点之间线段最短；三角形三边关系
【点评】
本题侧重考查几何基本性质的应用，作辅助线构造三角形转化线段关系是解题的关键，掌握将待证线段不等式拆解为多个三角形三边关系叠加的思路，可高效解决同类问题。
【难度系数】
0.6
