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1 如图，一次函数 $ y = kx - 3 $ 的图象经过点 $ M(-2,1) $，且与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $。求：
（1）$ k $ 的值；
（2）$ A,B $ 两点的坐标；
（3）$ △ AOB $ 的面积。
（1）$ k $ 的值；
（2）$ A,B $ 两点的坐标；
（3）$ △ AOB $ 的面积。
答案
（1）因为一次函数 $ y=kx-3 $ 的图象经过点 $ M(-2,1) $，所以 $ 1=-2k-3 $，解得 $ k=-2 $
（2）由(1)，知 $ y=-2x-3 $。当 $ y=0 $ 时，$ -2x-3=0 $，解得 $ x=-\frac{3}{2} $。所以点 A 的坐标为 $ (-\frac{3}{2},0) $。当 $ x=0 $ 时，$ y=-2×0-3=-3 $。所以点 B 的坐标为 $ (0,-3) $
（3）因为点 A,B 的坐标分别为 $ (-\frac{3}{2},0),(0,-3) $，所以 $ OA=\frac{3}{2},OB=3 $。所以 $ S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OB· OA=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4} $
（2）由(1)，知 $ y=-2x-3 $。当 $ y=0 $ 时，$ -2x-3=0 $，解得 $ x=-\frac{3}{2} $。所以点 A 的坐标为 $ (-\frac{3}{2},0) $。当 $ x=0 $ 时，$ y=-2×0-3=-3 $。所以点 B 的坐标为 $ (0,-3) $
（3）因为点 A,B 的坐标分别为 $ (-\frac{3}{2},0),(0,-3) $，所以 $ OA=\frac{3}{2},OB=3 $。所以 $ S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OB· OA=\frac{1}{2}×3×\frac{3}{2}=\frac{9}{4} $
解析
【分析】
1. 求$k$值的思路：若点在一次函数图象上，则点的横纵坐标满足函数解析式，因此将点$M(-2,1)$的坐标代入$y=kx-3$，得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$。
2. 求$A、B$坐标的思路：$A$是函数与$x$轴的交点，$x$轴上点的纵坐标为0，将$y=0$代入求出的函数解析式即可算出$A$点横坐标；$B$是函数与$y$轴的交点，$y$轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入解析式即可算出$B$点纵坐标。
3. 求$△ AOB$面积的思路：$△ AOB$是以原点为直角顶点的直角三角形，两条直角边的长度分别为点$A$到原点的距离$OA$、点$B$到原点的距离$OB$，代入直角三角形面积公式即可计算出面积。
【解析】
（1）$\because$一次函数$y=kx-3$的图象经过点$M(-2,1)$，
$\therefore$将$x=-2,y=1$代入解析式得：$1=-2k-3$，
解得$k=-2$。
（2）由（1）得一次函数解析式为$y=-2x-3$，
当$y=0$时，$-2x-3=0$，解得$x=-\frac{3}{2}$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$；
当$x=0$时，$y=-2×0-3=-3$，
$\therefore$点$B$的坐标为$(0,-3)$。
（3）由$A(-\frac{3}{2},0)$、$B(0,-3)$可得：
$OA=\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}$，$OB=|-3|=3$，
$\because ∠ AOB=90°$，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×3=\frac{9}{4}$。
【答案】
（1）$k=-2$
（2）$A(-\frac{3}{2},0)$，$B(0,-3)$
（3）$\frac{9}{4}$
【知识点】
待定系数法求参数，一次函数与坐标轴交点，坐标与图形面积
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，考察了函数图象上点与解析式的关系、坐标轴上点的坐标特征等核心基础知识点，解题逻辑清晰，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
1. 求$k$值的思路：若点在一次函数图象上，则点的横纵坐标满足函数解析式，因此将点$M(-2,1)$的坐标代入$y=kx-3$，得到关于$k$的一元一次方程，解方程即可求出$k$。
2. 求$A、B$坐标的思路：$A$是函数与$x$轴的交点，$x$轴上点的纵坐标为0，将$y=0$代入求出的函数解析式即可算出$A$点横坐标；$B$是函数与$y$轴的交点，$y$轴上点的横坐标为0，将$x=0$代入解析式即可算出$B$点纵坐标。
3. 求$△ AOB$面积的思路：$△ AOB$是以原点为直角顶点的直角三角形，两条直角边的长度分别为点$A$到原点的距离$OA$、点$B$到原点的距离$OB$，代入直角三角形面积公式即可计算出面积。
【解析】
（1）$\because$一次函数$y=kx-3$的图象经过点$M(-2,1)$，
$\therefore$将$x=-2,y=1$代入解析式得：$1=-2k-3$，
解得$k=-2$。
（2）由（1）得一次函数解析式为$y=-2x-3$，
当$y=0$时，$-2x-3=0$，解得$x=-\frac{3}{2}$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$；
当$x=0$时，$y=-2×0-3=-3$，
$\therefore$点$B$的坐标为$(0,-3)$。
（3）由$A(-\frac{3}{2},0)$、$B(0,-3)$可得：
$OA=\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}$，$OB=|-3|=3$，
$\because ∠ AOB=90°$，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}· OA· OB=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×3=\frac{9}{4}$。
【答案】
（1）$k=-2$
（2）$A(-\frac{3}{2},0)$，$B(0,-3)$
（3）$\frac{9}{4}$
【知识点】
待定系数法求参数，一次函数与坐标轴交点，坐标与图形面积
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，考察了函数图象上点与解析式的关系、坐标轴上点的坐标特征等核心基础知识点，解题逻辑清晰，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
2 如图,在平面直角坐标系中,直线$y=2x+3$与y轴交于点A,直线$y=kx-1$与y轴交于点B,与直线$y=2x+3$交于点C(-1,$n$).求:
(1)$n,k$的值;
(2)$△ ABC$的面积.
(1)$n,k$的值;
(2)$△ ABC$的面积.
答案
（1）因为直线 $ y=2x+3 $ 过点 $ C(-1,n) $，所以 $ n=2×(-1)+3=1 $。所以点 C 的坐标为 $ (-1,1) $。因为点 $ C(-1,1) $ 在直线 $ y=kx-1 $ 上，所以 $ 1=-k-1 $，解得 $ k=-2 $
（2）在 $ y=2x+3 $ 中，当 $ x=0 $ 时，$ y=3 $。所以点 A 的坐标为 $ (0,3) $。在 $ y=-2x-1 $ 中，当 $ x=0 $ 时，$ y=-1 $。所以点 B 的坐标为 $ (0,-1) $。所以 $ AB=3-(-1)=4 $。所以 $ △ ABC $ 的面积为 $ \frac{1}{2}AB·|x_C|=\frac{1}{2}×4×1=2 $
（2）在 $ y=2x+3 $ 中，当 $ x=0 $ 时，$ y=3 $。所以点 A 的坐标为 $ (0,3) $。在 $ y=-2x-1 $ 中，当 $ x=0 $ 时，$ y=-1 $。所以点 B 的坐标为 $ (0,-1) $。所以 $ AB=3-(-1)=4 $。所以 $ △ ABC $ 的面积为 $ \frac{1}{2}AB·|x_C|=\frac{1}{2}×4×1=2 $
解析
【分析】
(1) 求解n、k的值时，利用“一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，先把点C的横坐标代入直线y=2x+3，即可算出n的值，得到点C的完整坐标；再将点C的坐标代入直线y=kx-1，解关于k的一元一次方程就能得到k的值。
(2) 求解△ABC的面积时，先分别求出两条直线与y轴交点A、B的坐标，由于A、B都在y轴上，两点的距离就是纵坐标差的绝对值，也就是AB的长度；△ABC以AB为底时，对应的高就是点C到y轴的距离，即点C横坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵点$C(-1,n)$在直线$y=2x+3$上
∴将$x=-1$代入$y=2x+3$，得$n=2×(-1)+3=1$
∴点C的坐标为$(-1,1)$
又
∵点$C(-1,1)$在直线$y=kx-1$上
∴将$x=-1,y=1$代入$y=kx-1$，得$1=-k-1$
解得$k=-2$
(2) 在直线$y=2x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，
∴点A的坐标为$(0,3)$
在直线$y=-2x-1$中，令$x=0$，得$y=-1$，
∴点B的坐标为$(0,-1)$
∴$AB=|3-(-1)|=4$
∵点C的横坐标为$-1$，
∴点C到y轴的距离为$|-1|=1$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×|x_C|=\frac{1}{2}×4×1=2$
【答案】
(1) $n=1$，$k=-2$；
(2) $△ ABC$的面积为$2$。
【知识点】
一次函数点坐标特征、待定系数法求参数、坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考查一次函数图象上点的坐标性质，以及坐标系中三角形面积的计算方法，解题的关键是找准y轴上两点的距离计算方式，以及三角形底和高的对应关系，是一次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求解n、k的值时，利用“一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，先把点C的横坐标代入直线y=2x+3，即可算出n的值，得到点C的完整坐标；再将点C的坐标代入直线y=kx-1，解关于k的一元一次方程就能得到k的值。
(2) 求解△ABC的面积时，先分别求出两条直线与y轴交点A、B的坐标，由于A、B都在y轴上，两点的距离就是纵坐标差的绝对值，也就是AB的长度；△ABC以AB为底时，对应的高就是点C到y轴的距离，即点C横坐标的绝对值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1)
∵点$C(-1,n)$在直线$y=2x+3$上
∴将$x=-1$代入$y=2x+3$，得$n=2×(-1)+3=1$
∴点C的坐标为$(-1,1)$
又
∵点$C(-1,1)$在直线$y=kx-1$上
∴将$x=-1,y=1$代入$y=kx-1$，得$1=-k-1$
解得$k=-2$
(2) 在直线$y=2x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，
∴点A的坐标为$(0,3)$
在直线$y=-2x-1$中，令$x=0$，得$y=-1$，
∴点B的坐标为$(0,-1)$
∴$AB=|3-(-1)|=4$
∵点C的横坐标为$-1$，
∴点C到y轴的距离为$|-1|=1$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×|x_C|=\frac{1}{2}×4×1=2$
【答案】
(1) $n=1$，$k=-2$；
(2) $△ ABC$的面积为$2$。
【知识点】
一次函数点坐标特征、待定系数法求参数、坐标系三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，核心考查一次函数图象上点的坐标性质，以及坐标系中三角形面积的计算方法，解题的关键是找准y轴上两点的距离计算方式，以及三角形底和高的对应关系，是一次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
3 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l_1: y = \frac{1}{2}x + 3 $ 与x轴、y轴的交点分别为A,B,直线 $ l_2 $ 经过点B,且与x轴交于点C,将直线 $ l_1 $ 向下平移4个单位长度得到直线 $ l_3 $,直线 $ l_3 $ 经过点C,且与y轴交于点D,连接AD.求:
(1) 直线 $ l_2 $ 对应的函数表达式;
(2) 四边形ABCD的面积.
(1) 直线 $ l_2 $ 对应的函数表达式;
(2) 四边形ABCD的面积.
答案
（1）对于 $ y=\frac{1}{2}x+3 $，当 $ y=0 $ 时，$ \frac{1}{2}x+3=0 $，解得 $ x=-6 $；当 $ x=0 $ 时，$ y=3 $。所以 $ A(-6,0),B(0,3) $。因为将直线 $ l_1 $ 向下平移4个单位长度得到直线 $ l_3 $，所以直线 $ l_3 $ 对应的函数表达式为 $ y=\frac{1}{2}x+3-4 $，即 $ y=\frac{1}{2}x-1 $。对于 $ y=\frac{1}{2}x-1 $，当 $ y=0 $ 时，$ \frac{1}{2}x-1=0 $，解得 $ x=2 $；当 $ x=0 $ 时，$ y=-1 $。所以 $ C(2,0),D(0,-1) $。设直线 $ l_2 $ 对应的函数表达式为 $ y=kx+b $。将 $ B(0,3),C(2,0) $ 代入，得 $ b=3,2k+b=0 $，解得 $ k=-\frac{3}{2},b=3 $。所以直线 $ l_2 $ 对应的函数表达式为 $ y=-\frac{3}{2}x+3 $
（2）因为 $ A(-6,0),B(0,3),C(2,0),D(0,-1) $，所以 $ AC=2-(-6)=8,OB=3,OD=1 $。所以 $ S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC· OB+\frac{1}{2}AC· OD=\frac{1}{2}×8×3+\frac{1}{2}×8×1=12+4=16 $
（2）因为 $ A(-6,0),B(0,3),C(2,0),D(0,-1) $，所以 $ AC=2-(-6)=8,OB=3,OD=1 $。所以 $ S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC· OB+\frac{1}{2}AC· OD=\frac{1}{2}×8×3+\frac{1}{2}×8×1=12+4=16 $
解析
【分析】
（1）要求直线$l_2$的函数表达式，已知$l_2$过$B$、$C$两点，需先求出两点坐标：首先根据$l_1$的解析式，分别令$x=0$、$y=0$求出$B$、$A$的坐标；再根据直线平移“上加下减”的规律，写出$l_1$向下平移4个单位后$l_3$的解析式，令$l_3$的$y=0$即可求出点$C$的坐标；最后将$B$、$C$坐标代入一次函数一般式，解方程组即可得到$l_2$的解析式。
（2）求四边形$ABCD$的面积，观察发现$A$、$C$在x轴上，$B$、$D$在y轴上，可将四边形拆分为$△ ABC$和$△ ADC$，两个三角形的底均为$AC$的长度，高分别为$B$、$D$到x轴的距离，分别计算两个三角形面积再求和即可。
【解析】
（1）对于$y=\frac{1}{2}x+3$，当$y=0$时，$\frac{1}{2}x+3=0$，解得$x=-6$；当$x=0$时，$y=3$，所以$A(-6,0)$，$B(0,3)$。
将直线$l_1$向下平移4个单位长度得到直线$l_3$，根据平移规律，$l_3$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+3-4$，即$y=\frac{1}{2}x-1$。
对于$y=\frac{1}{2}x-1$，当$y=0$时，$\frac{1}{2}x-1=0$，解得$x=2$；当$x=0$时，$y=-1$，所以$C(2,0)$，$D(0,-1)$。
设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$，将$B(0,3)$、$C(2,0)$代入得：
$\begin{cases}b=3\\2k+b=0\end{cases}$
解得$k=-\frac{3}{2}$，$b=3$，因此直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{3}{2}x+3$。
（2）由$A(-6,0)$、$C(2,0)$得$AC=2-(-6)=8$，由$B(0,3)$、$D(0,-1)$得$OB=3$，$OD=1$。
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC·OB+\frac{1}{2}AC·OD=\frac{1}{2}×8×3+\frac{1}{2}×8×1=12+4=16$
【答案】
（1）$y=-\frac{3}{2}x+3$；（2）$16$
【知识点】
一次函数平移规律，待定系数法求解析式，一次函数面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的基础性质，解题关键是准确求出各交点坐标，再结合图形特点选择简便的面积计算方法，熟练掌握一次函数相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）要求直线$l_2$的函数表达式，已知$l_2$过$B$、$C$两点，需先求出两点坐标：首先根据$l_1$的解析式，分别令$x=0$、$y=0$求出$B$、$A$的坐标；再根据直线平移“上加下减”的规律，写出$l_1$向下平移4个单位后$l_3$的解析式，令$l_3$的$y=0$即可求出点$C$的坐标；最后将$B$、$C$坐标代入一次函数一般式，解方程组即可得到$l_2$的解析式。
（2）求四边形$ABCD$的面积，观察发现$A$、$C$在x轴上，$B$、$D$在y轴上，可将四边形拆分为$△ ABC$和$△ ADC$，两个三角形的底均为$AC$的长度，高分别为$B$、$D$到x轴的距离，分别计算两个三角形面积再求和即可。
【解析】
（1）对于$y=\frac{1}{2}x+3$，当$y=0$时，$\frac{1}{2}x+3=0$，解得$x=-6$；当$x=0$时，$y=3$，所以$A(-6,0)$，$B(0,3)$。
将直线$l_1$向下平移4个单位长度得到直线$l_3$，根据平移规律，$l_3$的解析式为$y=\frac{1}{2}x+3-4$，即$y=\frac{1}{2}x-1$。
对于$y=\frac{1}{2}x-1$，当$y=0$时，$\frac{1}{2}x-1=0$，解得$x=2$；当$x=0$时，$y=-1$，所以$C(2,0)$，$D(0,-1)$。
设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$，将$B(0,3)$、$C(2,0)$代入得：
$\begin{cases}b=3\\2k+b=0\end{cases}$
解得$k=-\frac{3}{2}$，$b=3$，因此直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{3}{2}x+3$。
（2）由$A(-6,0)$、$C(2,0)$得$AC=2-(-6)=8$，由$B(0,3)$、$D(0,-1)$得$OB=3$，$OD=1$。
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC·OB+\frac{1}{2}AC·OD=\frac{1}{2}×8×3+\frac{1}{2}×8×1=12+4=16$
【答案】
（1）$y=-\frac{3}{2}x+3$；（2）$16$
【知识点】
一次函数平移规律，待定系数法求解析式，一次函数面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的基础性质，解题关键是准确求出各交点坐标，再结合图形特点选择简便的面积计算方法，熟练掌握一次函数相关性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4 如图,一次函数 $y=\frac{1}{2}x+2$ 的图象分别与x轴、y轴交于点A,B,点C在直线AB上,其纵坐标为5.
(1) 点B的坐标为
(2) 在x轴上找一点P,使PB+PC的值最小,并求出点P的坐标;
(3) 在(2)的条件下,求$△ BCP$的面积.
(1) 点B的坐标为
(0,2)
,点C的坐标为(6,5)
;(2) 在x轴上找一点P,使PB+PC的值最小,并求出点P的坐标;
(3) 在(2)的条件下,求$△ BCP$的面积.
答案
（1）$ (0,2) $、$ (6,5) $
（2）如图，作点 B 关于点 O 的对称点 D，则 $ D(0,-2) $。连接 CD 交 x 轴于点 P，此时 $ PB+PC $ 的值最小。设 CD 所在直线对应的函数表达式为 $ y=kx+b $。将 $ C(6,5),D(0,-2) $ 代入，得 $ 6k+b=5,b=-2 $，解得 $ k=\frac{7}{6},b=-2 $。所以 $ y=\frac{7}{6}x-2 $。当 $ y=0 $ 时，$ x=\frac{12}{7} $。所以点 P 的坐标为 $ (\frac{12}{7},0) $
（3）因为 $ B(0,2),D(0,-2) $，所以 $ BD=4 $。所以 $ S_{△ BCP}=S_{△ BCD}-S_{△ BDP}=\frac{1}{2}BD·|x_C|-\frac{1}{2}BD· OP=\frac{1}{2}×4×6-\frac{1}{2}×4×\frac{12}{7}=12-\frac{24}{7}=\frac{60}{7} $
解析
【分析】
(1) 求一次函数与坐标轴交点：与y轴交点横坐标为0，代入函数式即可得B点坐标；点C在直线AB上，已知纵坐标代入解析式求出横坐标，即可得C点坐标。
(2) 本题为“将军饮马”最短路径问题，点P在x轴上，作B关于x轴的对称点D，由轴对称性质得PB=PD，则PB+PC=PD+PC，根据两点之间线段最短，CD与x轴的交点即为所求P点；再用待定系数法求直线CD解析式，求其与x轴交点即可得P点坐标。
(3) 采用割补法求面积：△BCP的面积可由△BCD的面积减去△BDP的面积得到，BD为B、D两点在y轴上的距离，两个三角形均以BD为底，高分别为C、P两点的横坐标绝对值，代入计算作差即可。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$：
令$x=0$，得$y=2$，故B点坐标为$(0,2)$；
点C在直线上且纵坐标为5，令$y=5$，则$5=\frac{1}{2}x+2$，解得$x=6$，故C点坐标为$(6,5)$。
(2) 作点B关于x轴的对称点D，得$D(0,-2)$，连接CD交x轴于点P，此时$PB+PC=PD+PC=CD$，根据两点之间线段最短，此时$PB+PC$的值最小。
设直线CD的解析式为$y=kx+b$，将$C(6,5)$、$D(0,-2)$代入得：
$\begin{cases}b=-2\\6k+b=5\end{cases}$
解得$k=\frac{7}{6},b=-2$，即直线CD解析式为$y=\frac{7}{6}x-2$。
令$y=0$，得$0=\frac{7}{6}x-2$，解得$x=\frac{12}{7}$，故P点坐标为$(\frac{12}{7},0)$。
(3) 由$B(0,2)$、$D(0,-2)$得$BD=2-(-2)=4$，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× |x_C|=\frac{1}{2}×4×6=12$，
$S_{△ BDP}=\frac{1}{2}× BD× |x_P|=\frac{1}{2}×4×\frac{12}{7}=\frac{24}{7}$，
因此$S_{△ BCP}=S_{△ BCD}-S_{△ BDP}=12-\frac{24}{7}=\frac{60}{7}$。
【答案】
(1) $(0,2)$、$(6,5)$
(2) 点P的坐标为$(\frac{12}{7},0)$，作图如下：
(3) $△ BCP$的面积为$\frac{60}{7}$
【知识点】
一次函数图象与性质；最短路径问题；割补法求面积
【点评】
本题是一次函数综合基础题型，结合了坐标求解、轴对称最短路径应用和图形面积计算，解题关键是熟练掌握将军饮马模型的应用，以及灵活运用割补法简化不规则三角形的面积计算。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数与坐标轴交点：与y轴交点横坐标为0，代入函数式即可得B点坐标；点C在直线AB上，已知纵坐标代入解析式求出横坐标，即可得C点坐标。
(2) 本题为“将军饮马”最短路径问题，点P在x轴上，作B关于x轴的对称点D，由轴对称性质得PB=PD，则PB+PC=PD+PC，根据两点之间线段最短，CD与x轴的交点即为所求P点；再用待定系数法求直线CD解析式，求其与x轴交点即可得P点坐标。
(3) 采用割补法求面积：△BCP的面积可由△BCD的面积减去△BDP的面积得到，BD为B、D两点在y轴上的距离，两个三角形均以BD为底，高分别为C、P两点的横坐标绝对值，代入计算作差即可。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$：
令$x=0$，得$y=2$，故B点坐标为$(0,2)$；
点C在直线上且纵坐标为5，令$y=5$，则$5=\frac{1}{2}x+2$，解得$x=6$，故C点坐标为$(6,5)$。
(2) 作点B关于x轴的对称点D，得$D(0,-2)$，连接CD交x轴于点P，此时$PB+PC=PD+PC=CD$，根据两点之间线段最短，此时$PB+PC$的值最小。
设直线CD的解析式为$y=kx+b$，将$C(6,5)$、$D(0,-2)$代入得：
$\begin{cases}b=-2\\6k+b=5\end{cases}$
解得$k=\frac{7}{6},b=-2$，即直线CD解析式为$y=\frac{7}{6}x-2$。
令$y=0$，得$0=\frac{7}{6}x-2$，解得$x=\frac{12}{7}$，故P点坐标为$(\frac{12}{7},0)$。
(3) 由$B(0,2)$、$D(0,-2)$得$BD=2-(-2)=4$，
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BD× |x_C|=\frac{1}{2}×4×6=12$，
$S_{△ BDP}=\frac{1}{2}× BD× |x_P|=\frac{1}{2}×4×\frac{12}{7}=\frac{24}{7}$，
因此$S_{△ BCP}=S_{△ BCD}-S_{△ BDP}=12-\frac{24}{7}=\frac{60}{7}$。
【答案】
(1) $(0,2)$、$(6,5)$
(2) 点P的坐标为$(\frac{12}{7},0)$，作图如下：
(3) $△ BCP$的面积为$\frac{60}{7}$
【知识点】
一次函数图象与性质；最短路径问题；割补法求面积
【点评】
本题是一次函数综合基础题型，结合了坐标求解、轴对称最短路径应用和图形面积计算，解题关键是熟练掌握将军饮马模型的应用，以及灵活运用割补法简化不规则三角形的面积计算。
【难度系数】
0.7
