8.如图，OP平分$∠ AOB$，$PA⊥ OA$，$PB⊥ OB$，垂足分别为A，B，连接AB.下列结论不一定成立的是（）

A.$PA=PB$
B.$PO$平分$∠ APB$
C.$OA=OB$
D.$AB$垂直平分$OP$

8.D

【分析】
解题时先梳理已知条件：OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB。首先根据角平分线的性质可直接判断PA和PB的关系，再通过证明Rt△OAP和Rt△OBP全等，得到对应角、对应边的关系，验证B、C选项；最后结合等腰三角形三线合一的性质，判断AB和OP的位置关系，找出不一定成立的选项。
【解析】
解：
1. 验证选项A：
∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PA=PB，故A选项结论成立，不符合题意。
2. 验证选项B、C：
在Rt△OAP和Rt△OBP中，
$\{\begin{array}{l}OP=OP \\PA=PB\end{array} $
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠APO=∠BPO，OA=OB，即PO平分∠APB，故B、C选项结论成立，不符合题意。
3. 验证选项D：
∵OA=OB，OP平分∠AOB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OP垂直平分AB，但没有条件能证明AB平分OP，仅当∠AOB为特殊角度时该结论才成立，因此AB垂直平分OP不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过全等三角形得到边、角的等量关系，注意区分OP与AB的垂直平分关系，不要将两者的位置搞反。
【难度系数】
0.7

9.如图，已知$AB// CD$，O为$∠ CAB$，$∠ ACD$的平分线的交点，$OE⊥ AC$于点E，$OF⊥ AB$于点F，OF的反向延长线交CD于点H。若$OE=3$，则FH的长为。

9.6

【分析】
解题思路如下：首先由AB//CD、OF⊥AB，结合平行线的性质可推出OH⊥CD，明确FH是由OF和OH两段组成的垂线段；再根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，分别推导OF与OE相等、OH与OE相等，得到OF和OH的长度后相加即可求出FH的长。
【解析】
解：
∵AB//CD，OF⊥AB，
∴OH⊥CD（两直线平行，若一条直线垂直于其中一条平行线，则必垂直于另一条平行线）。
∵AO平分∠CAB，OF⊥AB，OE⊥AC，
∴OF = OE = 3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CO平分∠ACD，OE⊥AC，OH⊥CD，
∴OH = OE = 3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴FH = OF + OH = 3 + 3 = 6。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是灵活运用角平分线性质得到相等的垂线段长度，同时结合平行线的性质得到垂直关系，需要熟练掌握几何性质的应用条件。
【难度系数】
0.7

10.在$△ ABC$中，点D在边AB的延长线上，$∠ BAC$的平分线与$∠ CBD$的平分线交于点E，AE与BC交于点H.
(1)如图1，当$∠ C=80°$时，求$∠ E$的度数.
(2)如图2，连接CE，延长AC至点G，过点E作$EF⊥ AD$，$EM⊥ AG$，垂足分别为F，M.求证：$BC=CM+BF$.

10.(1)$40°$ (2)略

【分析】
(1) 求解∠E的度数时，结合三角形外角性质和角平分线的定义推导∠E与已知∠C的关系：首先∠CBD是△ABC的外角，等于∠C与∠BAC的和；∠EBD是△ABE的外角，等于∠E与∠BAE的和，再结合AE、BE分别是对应角的平分线，代入角的倍分关系即可得到∠E和∠C的数量关系，代入数值计算即可。
(2) 证明BC=CM+BF可采用截长补短思路，结合角平分线的性质：首先根据角平分线上的点到角两边距离相等，可得EM=EF，过E作EN⊥BC于N，可证EM=EN=EF；再通过HL定理分别证明Rt△CEM≌Rt△CEN、Rt△BEF≌Rt△BEN，得到CM=CN、BF=BN，结合BC=CN+BN即可得证。
【解析】
(1) 解：
∵ AE平分∠BAC，
∴ $∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC$
∵ BE平分∠CBD，
∴ $∠ EBD=\frac{1}{2}∠ CBD$
∵ ∠CBD是△ABC的外角，
∴ $∠ CBD=∠ C+∠ BAC$
∵ ∠EBD是△ABE的外角，
∴ $∠ EBD=∠ E+∠ BAE$
将$∠ CBD=∠ C+∠ BAC$代入$∠ EBD=\frac{1}{2}∠ CBD$得：
$∠ E+∠ BAE=\frac{1}{2}(∠ C+∠ BAC)=\frac{1}{2}∠ C+\frac{1}{2}∠ BAC$
把$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC$代入上式，消去$\frac{1}{2}∠ BAC$，得$∠ E=\frac{1}{2}∠ C$
∵ $∠ C=80°$，
∴ $∠ E=\frac{1}{2}×80°=40°$
(2) 证明：
过点E作$EN⊥ BC$，垂足为N。
∵ AE平分∠BAC，$EM⊥ AG$，$EF⊥ AD$，根据角平分线的性质，得$EM=EF$
∵ BE平分∠CBD，$EF⊥ AD$，$EN⊥ BC$，根据角平分线的性质，得$EF=EN$
∴ $EM=EN=EF$
在$Rt△ CEM$和$Rt△ CEN$中：
$\begin{cases} EM=EN \\ CE=CE \end{cases}$
∴ $Rt△ CEM≌ Rt△ CEN(HL)$，
∴ $CM=CN$
在$Rt△ BEF$和$Rt△ BEN$中：
$\begin{cases} EF=EN \\ BE=BE \end{cases}$
∴ $Rt△ BEF≌ Rt△ BEN(HL)$，
∴ $BF=BN$
∵ $BC=CN+BN$，
∴ $BC=CM+BF$，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40°}$ (2) 证明见上述解析
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形外角性质
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查角平分线性质、三角形外角性质和全等三角形的综合应用，第一问的关键是梳理角的倍分与外角关系，第二问通过作垂直辅助线构造全等三角形是解题的核心突破口，能有效考查学生的几何推理能力。
【难度系数】
0.65

11.【新考法·综合与实践】在$△ ABC$中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连接AD.
(1)如图1，当D是BC边的中点时，$S_{△ ABD}: S_{△ ACD}$的值为；
(2)如图2，当AD平分$∠ BAC$时，若$AB=m$，$AC=n$，求$S_{△ ABD}: S_{△ ACD}$的值(用含$m$，$n$的式子表示)；
(3)如图3，AD平分$∠ BAC$，延长AD到点E，使得$AD=DE$，连接BE，若$AC=3$，$AB=5$，$S_{△ BDE}=10$，求$S_{△ ABC}$的值.

11.(1)$1$ (2)$\frac{m}{n}$ (3)$16$

【分析】
(1) 求解两个三角形的面积比时，观察到△ABD和△ACD共享从A向BC作的高，当D是BC中点时两个三角形底相等，根据三角形面积公式，高相等时面积比等于底的比，即可直接求出比值。
(2) 已知AD是角平分线，根据角平分线的性质，D到AB、AC两边的距离相等，此时△ABD和△ACD的高相等，面积比等于对应底AB、AC的比，代入已知边长即可得到结果。
(3) 首先由AD=DE可知△ABD和△BDE等底同高，面积相等，先求出S△ABD的值；再利用(2)中得到的角分线分三角形面积比等于邻边比的结论，结合AB、AC的长度求出S△ACD的值，两个三角形面积相加即可得到△ABC的总面积。
【解析】
(1) 过点A作AH⊥BC于H。
∵ D是BC的中点，
∴ BD=CD。
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× BD× AH$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× CD× AH$，
∴ $S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=BD:CD=1:1$，比值为1。
(2) 过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
∵ AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，
根据角平分线的性质可得$DE=DF$。
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$，
∴ $S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=\frac{m}{n}$。
(3)
∵ $AD=DE$，△ABD和△BDE以AD、DE为底时，高均为点B到直线AE的距离，
根据等底同高的三角形面积相等，可得$S_{△ ABD}=S_{△ BDE}=10$。
∵ AD平分∠BAC，结合(2)的结论得$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=5:3$，
代入$S_{△ ABD}=10$，解得$S_{△ ACD}=6$，
∴ $S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=10+6=16$。
【答案】
(1)$1$；(2)$\frac{m}{n}$；(3)$16$
【知识点】
1. 三角形面积公式
2. 角平分线的性质
3. 等积变换
【点评】
本题逐层递进设问，从基础的面积比计算到结合角平分线性质的综合应用，考查学生对线段比和面积比的转化能力，解题的核心是掌握等高三角形面积比等于对应底的比、等底同高三角形面积相等的规律，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7