1.(链接教材)阅读并填空.
已知:∠AOB.求作:∠AOB 的平分线.
作法:如图所示，
(1)以点为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
(2)分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
(3)画射线.射线OC即为所求.
上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是.

1.(1)$O$ (2)$M$ $N$ $\frac{1}{2}MN$ (3)$OC$ $SSS$

【分析】
本题考查角平分线的尺规作图步骤及作图原理，解题思路如下：首先回忆角平分线尺规作图的规范操作：第一步需要在角的两条边上截取到顶点距离相等的两个点，因此要以角的顶点为圆心画弧；第二步要在角内部找到到刚才两个交点距离相等的点，因此以两个交点为圆心，取大于两点距离一半的长度为半径画弧，保证两弧能相交；第三步连接顶点和交点得到的射线就是角平分线。再结合全等三角形的判定规则，分析作图过程中相等的边，即可得出对应的全等判定方法。
【解析】
根据角平分线的尺规作图步骤：
(1) 首先以点$O$为圆心，适当长为半径画弧，交$OA$于点$M$，交$OB$于点$N$，此时可得$OM=ON$；
(2) 再分别以点$M$、$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，若半径小于等于$\frac{1}{2}MN$，两弧无法相交或仅切于一点，不能得到有效交点，因此需取大于$\frac{1}{2}MN$的长度，最终两弧在$∠ AOB$内部相交于点$C$，此时可得$CM=CN$；
(3) 画射线$OC$，射线$OC$即为所求的角平分线。
判定原理：在$△ OMC$和$△ ONC$中，$OM=ON$，$CM=CN$，$OC$为公共边，三组对应边分别相等，因此用到的全等三角形判定方法为$SSS$（边边边）。
【答案】
(1)$O$；(2)$M$，$N$，$\frac{1}{2}MN$；(3)$OC$，$SSS$
【知识点】
角平分线的尺规作图；全等三角形的SSS判定
【点评】
本题属于基础类作图题，重点考查对角平分线作图步骤的记忆和作图原理的理解，熟练掌握这类基础尺规作图的操作规范和理论依据，是解决复杂几何作图类题目的基础。
【难度系数】
0.9

2.分别画出图1、图2所示的钝角和平角的平分线.(不写作图过程,保留作图痕迹)

解：
按尺规作角平分线的要求保留作图痕迹：
1. 图1中，过点O作位于钝角∠AOB内部的射线，该射线将∠AOB分为两个相等的角，即为所求钝角的平分线。
2. 图2中，过点O作垂直于直线AB的射线，该射线将平角∠AOB分为两个相等的直角，即为所求平角的平分线。

【分析】
解题首先要明确角平分线的定义：从角的顶点出发，将一个角分成两个相等的角的射线叫做该角的角平分线。再分别针对两个角思考作图方法：①图1为钝角∠AOB，角平分线需在角的内部，按照尺规作角平分线的常规方法作图即可；②图2为平角∠AOB，平角度数为180°，平分后每个角为90°，因此其角平分线是过点O且垂直于AB的射线，同样按照尺规作角平分线的方法操作即可，全程注意保留作图痕迹。
【解析】
1. 处理图1的钝角∠AOB：使用尺规作角平分线的方法，最终得到一条以O为端点、在∠AOB内部的射线，该射线将钝角∠AOB分成两个度数相等的角，即为所求的钝角平分线，保留所有作图的弧痕。
2. 处理图2的平角∠AOB：使用尺规作角平分线的方法，最终得到一条过点O且垂直于直线AB的射线，该射线将180°的平角分成两个相等的90°角，即为所求的平角平分线，保留所有作图的弧痕。
【答案】
1. 图1中，过点O作位于钝角∠AOB内部的射线，该射线将∠AOB分为两个相等的角，即为所求钝角的平分线，保留尺规作图痕迹。
2. 图2中，过点O作垂直于直线AB的射线，该射线将平角∠AOB分为两个相等的直角，即为所求平角的平分线，保留尺规作图痕迹。
【知识点】
角平分线的定义、尺规作角平分线、平角的性质
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查对角平分线定义的理解和尺规作角平分线技能的掌握，作图时要注意规范保留作图痕迹，避免仅画出角平分线却没有作图痕迹的错误。
【难度系数】
0.85

3.如图,已知 BG 是∠ABC 的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DE=5,则 DF 的长度是 （）

A.6
B.5
C.4
D.3

第3题图 第4题图

3.B

【分析】
解题时先梳理已知条件：BG是∠ABC的平分线，点D在BG上，DE垂直AB、DF垂直BC，已知DE=5，求DF长度。首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，本题中DE是点D到AB的距离，DF是点D到BC的距离，因此二者相等，代入DE的长度即可求出DF的长度。
【解析】
解：
∵BG是∠ABC的平分线，点D在BG上，且DE⊥AB，DF⊥BC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴DF = DE，
又
∵DE=5，
∴DF=5。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，找准角平分线上的点到两边对应的垂线段，无需复杂计算即可得出结果。
【难度系数】
0.9

4.(2024·沈阳皇姑区期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,$BC=30$,$BD:CD=3:2$,则点$D$到$AB$的距离为 ()

A.18
B.12
C.15
D.不能确定

4.B

【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察图形可知AD是∠BAC的角平分线，点D在AD上，∠C=90°即DC垂直于AC，因此点D到AB的距离等于DC的长度，接下来只需要根据BC的总长以及BD与CD的比例关系求出CD的长度即可得到答案。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB于点E，则DE的长度就是点D到AB的距离。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），
∴根据角平分线的性质可得：$\boldsymbol{DC = DE}$。
已知$BC=30$，$BD:CD=3:2$，
∴$CD = BC × \frac{2}{3+2} = 30 × \frac{2}{5} = 12$，
∴$DE = CD =12$，即点D到AB的距离为12。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；比例线段计算
【点评】
本题考查角平分线性质的简单应用，解题核心是利用角平分线的性质将未知的点到直线的距离转化为可求的线段CD的长度，结合比例运算即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8

5.(2024·绵阳)如图,在△ABC中,AB=5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为E,△ABD的面积为5,则DE的长为 ()


A.1
B.2
C.3
D.5

5.B

【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题目中AD平分∠BAC，DE⊥AC，要求DE的长度，结合已知△ABD的面积和AB的边长，可过D作AB边上的高DF，此时DF与DE相等，再利用三角形面积公式求出DF的长度，即可得到DE的长。
【解析】
过点D作DF⊥AB，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得DE=DF。
已知△ABD的面积为5，AB=5，由三角形面积公式：
$ S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DF $
代入数值：$ 5=\frac{1}{2} × 5 × DF $
解得DF=2，因此DE=DF=2。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过作辅助线得到与DE相等的AB边上的高，再结合三角形面积公式求解，熟练掌握角平分线的性质能大幅提升此类题的解题效率。
【难度系数】
0.7

6.如图,在$△ ABC$中,AD为$∠ BAC$的平分线,且$DF ⊥ AC$于点F,$∠ B = 90°, DE = DC$.求证:$BE = CF$.

6.证明:$\because ∠B=90°, \therefore BD⊥AB.$
$\because AD$ 为$∠BAC$ 的平分线,$DF⊥AC$,
$\therefore DB=DF.$
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ FDC$ 中, $\begin{cases} DE=DC,\\ DB=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ FDC(\mathrm{HL}), \therefore BE=CF.$

【分析】
要证明$BE=CF$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知AD是$∠ BAC$的平分线，$∠ B=90°$即$BD⊥ AB$，$DF⊥ AC$，可先推出$DB=DF$；再观察$△ BDE$和$△ FDC$均为直角三角形，且题目给出$DE=DC$，结合已得的$DB=DF$，即可用HL判定两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明:$\because ∠B=90°, \therefore BD⊥AB.$
$\because AD$ 为$∠BAC$ 的平分线,$DF⊥AC$,
$\therefore DB=DF.$
在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△ FDC$ 中, $\begin{cases} DE=DC,\\ DB=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ FDC(\mathrm{HL}), \therefore BE=CF.$
【答案】
$BE=CF$，得证。
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先利用角平分线的性质得到相等的线段，再结合已知条件证明直角三角形全等，进而得到对应边相等，主要考查对基础几何定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8

7.求证:有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.

证明：
已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=90°，直角边$AC = A'C'$，CD、C'D'分别是斜边AB、A'B'上的高，且$CD = C'D'$。
求证：$Rt△ ABC ≌ Rt△ A'B'C'$。
∵ $CD⊥ AB$，$C'D'⊥ A'B'$
∴ $∠ ADC = ∠ A'D'C' = 90°$
在$Rt△ ACD$和$Rt△ A'C'D'$中，
$\begin{cases}AC = A'C' \\CD = C'D'\end{cases}$
∴ $Rt△ ACD ≌ Rt△ A'C'D'$（HL）
∴ $∠ A = ∠ A'$
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ A' \\AC = A'C' \\∠ ACB = ∠ A'C'B' = 90°\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$（ASA）
即有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。

【分析】
要证明两个直角三角形全等，已知一组直角边对应相等、直角对应相等，还需得到一组对应角相等或另一组直角边相等。我们可以先利用已知的相等直角边、相等斜边上的高，证明二者构成的两个小直角三角形全等，得到一组锐角对应相等，再以此为条件证明原两个大直角三角形全等即可。
【解析】
已知：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=90°，直角边$AC = A'C'$，CD、C'D'分别是斜边AB、A'B'上的高，且$CD = C'D'$。
求证：$Rt△ ABC ≌ Rt△ A'B'C'$。
证明：
∵ $CD⊥ AB$，$C'D'⊥ A'B'$
∴ $∠ ADC = ∠ A'D'C' = 90°$
在$Rt△ ACD$和$Rt△ A'C'D'$中，
$\begin{cases}AC = A'C' \\CD = C'D'\end{cases}$
∴ $Rt△ ACD ≌ Rt△ A'C'D'$（HL）
∴ $∠ A = ∠ A'$
在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ A' \\AC = A'C' \\∠ ACB = ∠ A'C'B' = 90°\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ A'B'C'$（ASA）
【答案】
有一条直角边及斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。
【知识点】
HL判定全等，ASA判定全等，全等三角形的性质
【点评】
本题需要通过两次全等推导结论，核心是找到作为中间过渡的小直角三角形，考查对全等判定定理的灵活运用能力，解题时要学会搭建已知条件和待证结论之间的桥梁。
【难度系数】
0.7