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2.如图，BC交AM于点D，且D是BC的中点，∠BAM=∠NAC=90°，AB=AM，AC=AN，试探究AD与MN之间的关系，并证明。
答案
$MN=2AD,MN⊥AD$.证明略
解析
【分析】
探究两条线段的关系需同时考虑数量关系和位置关系：①题目给出D是BC的中点，遇到中线优先考虑倍长中线法构造全等三角形，将AD转化为更长线段的一半，再通过证明新得到的线段与MN相等即可得到数量关系；②结合全等得到的角的等量关系，利用直角的条件推导角互余，即可得到垂直的位置关系。
【解析】
结论：$MN=2AD$，$MN⊥ AD$，证明如下：
1. 倍长中线构造全等：
延长$AD$到点$E$，使$DE=AD$，连接$BE$。
∵$D$是$BC$的中点，
∴$BD=CD$。
在$△ BDE$和$△ CDA$中：
$\begin{cases}BD=CD \\∠ BDE=∠ CDA \\DE=AD\end{cases}$
∴$△ BDE≌△ CDA$（SAS），
∴$BE=AC$，$∠ E=∠ CAD$，
∴$BE// AC$，
∴$∠ ABE + ∠ BAC=180°$。
2. 证明$△ ABE$和$△ MAN$全等：
∵$∠ BAM=∠ NAC=90°$，
∴$∠ BAC + ∠ MAN=360° - ∠ BAM - ∠ NAC=180°$，
∴$∠ ABE=∠ MAN$。
又
∵$AC=AN$，
∴$BE=AN$，
在$△ ABE$和$△ MAN$中：
$\begin{cases}AB=MA \\∠ ABE=∠ MAN \\BE=AN\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ MAN$（SAS），
∴$AE=MN$，$∠ BAE=∠ AMN$。
∵$AE=AD+DE=2AD$，
∴$MN=2AD$。
3. 证明垂直：
延长$DA$交$MN$于点$F$，
∵$∠ BAM=90°$，
∴$∠ BAE + ∠ MAF=90°$，
∴$∠ AMN + ∠ MAF=90°$，
∴$∠ AFM=90°$，即$AD⊥ MN$。
【答案】
$MN=2AD$，$MN⊥ AD$
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；垂直的判定
【点评】
本题属于中点类全等构造的典型题型，核心是利用倍长中线的辅助线实现线段和角的转化，解题时需注意线段关系包含数量和位置两个维度，避免遗漏垂直的结论。
【难度系数】
0.6
探究两条线段的关系需同时考虑数量关系和位置关系：①题目给出D是BC的中点，遇到中线优先考虑倍长中线法构造全等三角形，将AD转化为更长线段的一半，再通过证明新得到的线段与MN相等即可得到数量关系；②结合全等得到的角的等量关系，利用直角的条件推导角互余，即可得到垂直的位置关系。
【解析】
结论：$MN=2AD$，$MN⊥ AD$，证明如下：
1. 倍长中线构造全等：
延长$AD$到点$E$，使$DE=AD$，连接$BE$。
∵$D$是$BC$的中点，
∴$BD=CD$。
在$△ BDE$和$△ CDA$中：
$\begin{cases}BD=CD \\∠ BDE=∠ CDA \\DE=AD\end{cases}$
∴$△ BDE≌△ CDA$（SAS），
∴$BE=AC$，$∠ E=∠ CAD$，
∴$BE// AC$，
∴$∠ ABE + ∠ BAC=180°$。
2. 证明$△ ABE$和$△ MAN$全等：
∵$∠ BAM=∠ NAC=90°$，
∴$∠ BAC + ∠ MAN=360° - ∠ BAM - ∠ NAC=180°$，
∴$∠ ABE=∠ MAN$。
又
∵$AC=AN$，
∴$BE=AN$，
在$△ ABE$和$△ MAN$中：
$\begin{cases}AB=MA \\∠ ABE=∠ MAN \\BE=AN\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ MAN$（SAS），
∴$AE=MN$，$∠ BAE=∠ AMN$。
∵$AE=AD+DE=2AD$，
∴$MN=2AD$。
3. 证明垂直：
延长$DA$交$MN$于点$F$，
∵$∠ BAM=90°$，
∴$∠ BAE + ∠ MAF=90°$，
∴$∠ AMN + ∠ MAF=90°$，
∴$∠ AFM=90°$，即$AD⊥ MN$。
【答案】
$MN=2AD$，$MN⊥ AD$
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；垂直的判定
【点评】
本题属于中点类全等构造的典型题型，核心是利用倍长中线的辅助线实现线段和角的转化，解题时需注意线段关系包含数量和位置两个维度，避免遗漏垂直的结论。
【难度系数】
0.6
3.如图,在四边形ABCD中,BD,AC交于点E,F是BC边的中点,∠CEF=∠ADB,∠BAC+∠BAD=180°,试探究BD与EF之间的数量关系,并证明.
答案
3.解:$BD=2EF$.证明如下：
如图,延长EF到点G,使得FG=EF,连接CG,延长CA到点H,使得AH=AD,连接BH.
∵F是BC边的中点,
∴CF=BF.
∵$∠EFB=∠CFG,EF=GF$,
∴$△BEF≌△CGF(SAS)$,
∴$BE=CG,∠G=∠BEF,∴CG//BE$,
∴$∠BEH=∠GCE$.
∵$∠BAC+∠BAH=180°,∠BAC+∠BAD=180°,∴∠BAH=∠BAD$.
∵$BA=BA,AH=AD$,
∴$△BAH≌△BAD(SAS)$,
∴$BD=BH,∠H=∠ADB$.
∵$∠ADB=∠CEF,∴∠H=∠CEF$.
∵$∠BEH=∠GCE,BE=GC$,
∴$△HBE≌△EGC(AAS),∴BH=EG$,
∴$BD=BH=EG=2EF$.
解析
【分析】
拿到题目先从已知条件找解题突破口：首先看到F是BC中点，遇到中点构造全等的常用方法是倍长过中点的线段，因此可先倍长EF，把2EF转化为一条完整的线段EG；再结合已知∠BAC+∠BAD=180°，而∠BAC和它的邻补角∠BAH也互补，可推出∠BAH=∠BAD，搭配构造的AH=AD就能证明△BAH≌△BAD，将BD转化为BH；最后利用已知的角相等条件证明BH和EG相等，即可得到BD与EF的数量关系。
【解析】
结论为$BD=2EF$，证明如下：
如图，延长EF到点G，使得$FG=EF$，连接CG，延长CA到点H，使得$AH=AD$，连接BH。
∵F是BC边的中点，
∴$CF=BF$。
在$△ BEF$和$△ CGF$中：
$\begin{cases}EF=GF \\∠ EFB=∠ CFG \\BF=CF\end{cases}$
∴$△ BEF≌△ CGF(\mathrm{SAS})$，
∴$BE=CG$，$∠ G=∠ BEF$，
∴$CG// BE$（内错角相等，两直线平行），
∴$∠ BEH=∠ GCE$（两直线平行，内错角相等）。
∵$∠ BAC+∠ BAH=180°$，$∠ BAC+∠ BAD=180°$，
∴$∠ BAH=∠ BAD$（同角的补角相等）。
在$△ BAH$和$△ BAD$中：
$\begin{cases}AH=AD \\∠ BAH=∠ BAD \\BA=BA\end{cases}$
∴$△ BAH≌△ BAD(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=BH$，$∠ H=∠ ADB$。
∵$∠ ADB=∠ CEF$，
∴$∠ H=∠ CEF$。
在$△ HBE$和$△ EGC$中：
$\begin{cases}∠ H=∠ CEF \\∠ BEH=∠ GCE \\BE=GC\end{cases}$
∴$△ HBE≌△ EGC(\mathrm{AAS})$，
∴$BH=EG$。
又
∵$EG=EF+FG=2EF$，$BD=BH$，
∴$BD=2EF$。
【答案】
$BD=2EF$
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；同角的补角相等
【点评】
本题是中点类全等构造的典型题型，解题核心是灵活运用倍长中线法转化目标线段的倍数关系，再结合补角性质构造另一组全等完成等量代换，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质，具备线段、角的转化思维。
【难度系数】
0.4
拿到题目先从已知条件找解题突破口：首先看到F是BC中点，遇到中点构造全等的常用方法是倍长过中点的线段，因此可先倍长EF，把2EF转化为一条完整的线段EG；再结合已知∠BAC+∠BAD=180°，而∠BAC和它的邻补角∠BAH也互补，可推出∠BAH=∠BAD，搭配构造的AH=AD就能证明△BAH≌△BAD，将BD转化为BH；最后利用已知的角相等条件证明BH和EG相等，即可得到BD与EF的数量关系。
【解析】
结论为$BD=2EF$，证明如下：
如图，延长EF到点G，使得$FG=EF$，连接CG，延长CA到点H，使得$AH=AD$，连接BH。
∵F是BC边的中点，
∴$CF=BF$。
在$△ BEF$和$△ CGF$中：
$\begin{cases}EF=GF \\∠ EFB=∠ CFG \\BF=CF\end{cases}$
∴$△ BEF≌△ CGF(\mathrm{SAS})$，
∴$BE=CG$，$∠ G=∠ BEF$，
∴$CG// BE$（内错角相等，两直线平行），
∴$∠ BEH=∠ GCE$（两直线平行，内错角相等）。
∵$∠ BAC+∠ BAH=180°$，$∠ BAC+∠ BAD=180°$，
∴$∠ BAH=∠ BAD$（同角的补角相等）。
在$△ BAH$和$△ BAD$中：
$\begin{cases}AH=AD \\∠ BAH=∠ BAD \\BA=BA\end{cases}$
∴$△ BAH≌△ BAD(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=BH$，$∠ H=∠ ADB$。
∵$∠ ADB=∠ CEF$，
∴$∠ H=∠ CEF$。
在$△ HBE$和$△ EGC$中：
$\begin{cases}∠ H=∠ CEF \\∠ BEH=∠ GCE \\BE=GC\end{cases}$
∴$△ HBE≌△ EGC(\mathrm{AAS})$，
∴$BH=EG$。
又
∵$EG=EF+FG=2EF$，$BD=BH$，
∴$BD=2EF$。
【答案】
$BD=2EF$
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；同角的补角相等
【点评】
本题是中点类全等构造的典型题型，解题核心是灵活运用倍长中线法转化目标线段的倍数关系，再结合补角性质构造另一组全等完成等量代换，需要熟练掌握全等三角形的判定和性质，具备线段、角的转化思维。
【难度系数】
0.4
