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[2026福建三明质检]【问题情境】
九年级上册《综合与实践》的“猜想、证明与拓广”中，对于矩形的“减半”问题进行研究，即任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
【理解探究】
(1)小明同学分别研究了长和宽为2和1,3和1,4和1,5和1这四个矩形,发现都不存在“减半”矩形,因此得出结论:对于长为t,宽为1的已知矩形,一定不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.小明得出的结论是否正确?如果正确,请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证;如果不正确,请举例说明.
【拓展延伸】
(2)若已知矩形的长为m,宽为n,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?如果存在,求出m与n应满足的关系式;如果不存在,说明理由.
分从四面八方来
九年级上册《综合与实践》的“猜想、证明与拓广”中，对于矩形的“减半”问题进行研究，即任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
【理解探究】
(1)小明同学分别研究了长和宽为2和1,3和1,4和1,5和1这四个矩形,发现都不存在“减半”矩形,因此得出结论:对于长为t,宽为1的已知矩形,一定不存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.小明得出的结论是否正确?如果正确,请用小明研究的这四个矩形中的任意一个进行验证;如果不正确,请举例说明.
【拓展延伸】
(2)若已知矩形的长为m,宽为n,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?如果存在,求出m与n应满足的关系式;如果不存在,说明理由.
分从四面八方来
答案
(1)小明得出的结论不正确. 举例说明:已知矩形的长和宽分别为6和1,则矩形的周长为2(6+1)=14,面积为6×1=6,
∴“减半”矩形的周长为7,面积为3. 设“减半”矩形的长为x,则宽为3.5−x,
∴x(3.5−x)=3,解得x=2或x=1.5(舍去),
∴“减半”矩形的长为2,宽为1.5,
∴对于长为6,宽为1的已知矩形,存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半,
∴小明得出的结论不正确.(举例说明的答案不唯一)
(2)存在. 设“减半”矩形的长为a,宽为b.
由题意得,$\begin{cases}a+b=\frac{m+n}{2},①\\ab=\frac{1}{2}mn,②\end{cases}$
∴a,b是关于x的一元二次方程$x^2-\frac{m+n}{2}x+\frac{1}{2}mn=0$的两个根,则当关于x的一元二次方程$x^2-\frac{m+n}{2}x+\frac{1}{2}mn=0$有实数根时,存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半,
∴Δ = $(-\frac{m+n}{2})^2 -4×\frac{1}{2}mn≥0, \therefore m^2-6mn+n^2≥0.$
故存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半,此时m与n应满足的关系式为$m^2-6mn+n^2≥0.$
∴“减半”矩形的周长为7,面积为3. 设“减半”矩形的长为x,则宽为3.5−x,
∴x(3.5−x)=3,解得x=2或x=1.5(舍去),
∴“减半”矩形的长为2,宽为1.5,
∴对于长为6,宽为1的已知矩形,存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半,
∴小明得出的结论不正确.(举例说明的答案不唯一)
(2)存在. 设“减半”矩形的长为a,宽为b.
由题意得,$\begin{cases}a+b=\frac{m+n}{2},①\\ab=\frac{1}{2}mn,②\end{cases}$
∴a,b是关于x的一元二次方程$x^2-\frac{m+n}{2}x+\frac{1}{2}mn=0$的两个根,则当关于x的一元二次方程$x^2-\frac{m+n}{2}x+\frac{1}{2}mn=0$有实数根时,存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半,
∴Δ = $(-\frac{m+n}{2})^2 -4×\frac{1}{2}mn≥0, \therefore m^2-6mn+n^2≥0.$
故存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半,此时m与n应满足的关系式为$m^2-6mn+n^2≥0.$
解析
【分析】
(1) 小明仅通过4个特例就得出所有长为t、宽为1的矩形都不存在“减半”矩形的结论，不具备普遍性，我们可以通过举反例证明结论错误：先假设存在长为t、宽为1的矩形的“减半”矩形，根据“减半”矩形的周长、面积要求列方程，只要方程有正实根就说明存在，找一个满足条件的t（如t=6）验证即可。
(2) 要判断长为m、宽为n的矩形是否存在“减半”矩形，可先设“减半”矩形的长和宽为a、b，根据周长、面积的“减半”关系列出a+b和ab的表达式，结合一元二次方程根与系数的关系，将a、b看作某一元二次方程的两个正根，利用根的判别式Δ≥0即可推导m、n满足的关系式。
【解析】
(1) 小明得出的结论不正确，举例如下：
取已知矩形的长为6，宽为1，
则原矩形周长$=2×(6+1)=14$，面积$=6×1=6$，
对应的“减半”矩形周长应为$14÷2=7$，面积应为$6÷2=3$。
设“减半”矩形的长为x，则宽为$\frac{7}{2}-x=3.5-x$，
根据面积列方程：$x(3.5-x)=3$，
整理得$2x^2-7x+6=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=1.5$，
取长为2，则宽为1.5，均为正数，符合实际意义，
因此长为6、宽为1的矩形存在“减半”矩形，故小明的结论错误。
（举例不唯一，只要满足$t^2-6t+1≥0$的正实数t均可）
(2) 存在满足条件的“减半”矩形，推导如下：
设“减半”矩形的长为a，宽为b，
根据题意可得：$\begin{cases}a+b=\frac{1}{2}×2(m+n)=\frac{m+n}{2} \quad ①\\ab=\frac{1}{2}mn \quad ②\end{cases}$
由①②可知，a、b是关于x的一元二次方程$x^2-\frac{m+n}{2}x+\frac{1}{2}mn=0$的两个正实数根，
若方程有实根，则判别式$\Delta≥0$，
$\Delta=(-\frac{m+n}{2})^2 - 4×1×\frac{1}{2}mn≥0$，
整理得：$\frac{m^2+2mn+n^2}{4} - 2mn≥0$，
两边同乘4得：$m^2+2mn+n^2 -8mn≥0$，
即$m^2-6mn+n^2≥0$。
因此当$m^2-6mn+n^2≥0$时，存在符合要求的“减半”矩形。
【答案】
(1) 小明的结论不正确，例如长为6、宽为1的矩形存在“减半”矩形（长为2，宽为1.5），举例不唯一；
(2) 存在，此时m与n满足的关系式为$\boldsymbol{m^2-6mn+n^2≥0}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 矩形周长与面积计算
3. 一元二次方程的应用
【点评】
本题属于探究类题型，从特殊矩形的“减半”问题推广到一般矩形的情况，考查学生从特殊到一般的探究思维，以及将实际存在性问题转化为一元二次方程根的判别式问题的转化能力，注重对逻辑推理和方程思想应用的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 小明仅通过4个特例就得出所有长为t、宽为1的矩形都不存在“减半”矩形的结论，不具备普遍性，我们可以通过举反例证明结论错误：先假设存在长为t、宽为1的矩形的“减半”矩形，根据“减半”矩形的周长、面积要求列方程，只要方程有正实根就说明存在，找一个满足条件的t（如t=6）验证即可。
(2) 要判断长为m、宽为n的矩形是否存在“减半”矩形，可先设“减半”矩形的长和宽为a、b，根据周长、面积的“减半”关系列出a+b和ab的表达式，结合一元二次方程根与系数的关系，将a、b看作某一元二次方程的两个正根，利用根的判别式Δ≥0即可推导m、n满足的关系式。
【解析】
(1) 小明得出的结论不正确，举例如下：
取已知矩形的长为6，宽为1，
则原矩形周长$=2×(6+1)=14$，面积$=6×1=6$，
对应的“减半”矩形周长应为$14÷2=7$，面积应为$6÷2=3$。
设“减半”矩形的长为x，则宽为$\frac{7}{2}-x=3.5-x$，
根据面积列方程：$x(3.5-x)=3$，
整理得$2x^2-7x+6=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=1.5$，
取长为2，则宽为1.5，均为正数，符合实际意义，
因此长为6、宽为1的矩形存在“减半”矩形，故小明的结论错误。
（举例不唯一，只要满足$t^2-6t+1≥0$的正实数t均可）
(2) 存在满足条件的“减半”矩形，推导如下：
设“减半”矩形的长为a，宽为b，
根据题意可得：$\begin{cases}a+b=\frac{1}{2}×2(m+n)=\frac{m+n}{2} \quad ①\\ab=\frac{1}{2}mn \quad ②\end{cases}$
由①②可知，a、b是关于x的一元二次方程$x^2-\frac{m+n}{2}x+\frac{1}{2}mn=0$的两个正实数根，
若方程有实根，则判别式$\Delta≥0$，
$\Delta=(-\frac{m+n}{2})^2 - 4×1×\frac{1}{2}mn≥0$，
整理得：$\frac{m^2+2mn+n^2}{4} - 2mn≥0$，
两边同乘4得：$m^2+2mn+n^2 -8mn≥0$，
即$m^2-6mn+n^2≥0$。
因此当$m^2-6mn+n^2≥0$时，存在符合要求的“减半”矩形。
【答案】
(1) 小明的结论不正确，例如长为6、宽为1的矩形存在“减半”矩形（长为2，宽为1.5），举例不唯一；
(2) 存在，此时m与n满足的关系式为$\boldsymbol{m^2-6mn+n^2≥0}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 矩形周长与面积计算
3. 一元二次方程的应用
【点评】
本题属于探究类题型，从特殊矩形的“减半”问题推广到一般矩形的情况，考查学生从特殊到一般的探究思维，以及将实际存在性问题转化为一元二次方程根的判别式问题的转化能力，注重对逻辑推理和方程思想应用的考查。
【难度系数】
0.6
