[2026山东济南期中]综合与实践
主题:池塘里有多少条鱼
活动一:
情境引入
问题1:一个不透明的袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个,从中任意摸出一个球,摸到红球的概率为0.3,则袋子中有红球个;
问题2:在一副不完整的扑克牌中有4张A,任意抽取一张,抽到A的概率为0.2,则这副扑克牌有张
活动二:
摸棋试验
分组活动进行摸棋试验收集数据,每个小组的盒中有10枚黑棋和若干枚白棋.利用两种方法估计盒中的总棋子数(将全班的小组分成两部分做不同的试验).
(1)做试验并填表记录试验数据.
①方案一:每次摸1枚棋子,记下棋子的颜色,放回盒中摇匀,多次重复试验,计算黑棋出现的频率(可用画正字计算次数),请将下表补充完整;
|试验次数|50|100|150|200|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|摸到黑棋的次数|12|26|38|50|
|摸到黑棋的频率(精确到0.01)|0.24|0.26|0.25||
②方案二:每次摸10枚棋子,记下黑棋的数量,放回盒中摇匀,重复试验10次,计算黑棋数量的平均数与10的比值.
|试验次数|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|平均数|黑棋数量的平均数与10的比值|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|黑棋数量|3|4|4|2|3|2|2|1|3|2|2.6|0.26|
(2)通过试验数据计算总棋子数.
注意每次试验前是否将盒中的棋子摇匀,每次试验后是否将棋子放回,记录数据的方法是否正确,小组成员的参与度等.
①方案一:估计黑棋出现的概率是,总棋子数是;
②方案二:试验次数为10次,每次摸10枚棋子……
活动三:
设计方案
根据摸棋试验的两种方案,小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数量.
(1)先捞出若干条鱼,将它们记上标记,然后再放回池塘,等鱼分布均匀后,再捞出一条鱼,观察是否有记号后放回,经过多次重复后,以其中有标记的鱼的比例作为整个池塘中有标记的鱼的比例,据此可估计池塘中鱼的数量;
(2)先捞出若干条鱼,将它们记上标记,然后再放回池塘,等鱼分布均匀后,再从中随机捕捞若干条鱼,以其中有标记的鱼的比例作为整个池塘中有标记的鱼的比例,据此可估计池塘中鱼的数量
活动四:
解决问题
某人对自己池塘中鱼的数量进行估计,第一次捞出100条,并将每条鱼记上标记放回池塘;当它们完全混合于鱼群后,又捞出300条,其中带有标记的鱼有20条,试估计池塘中有多少条鱼

【解】活动一:
∵红球、黑球共10个,摸到红球的概率为0.3,
∴袋子中有红球10×0.3=3(个).
由题意知,这副扑克牌有4÷0.2=20(张). 故答案为3,20.
活动二:$\frac{50}{200}=0.25$. 由题中表格知随着试验次数的增加,摸到黑棋的频率逐渐稳定在0.25附近,
∴估计黑棋出现的概率是0.25,
∴总棋子数为$\frac{10}{0.25}=40$. 故答案为0.25,0.25,40.
活动四:设池塘中有x条鱼. 依题意得$\frac{100}{x}=\frac{20}{300}$,解得x=1 500,经检验,x=1 500是所列方程的解,且符合题意,
∴估计池塘中有1 500条鱼.

【分析】
本题是利用概率知识解决实际数量估计问题，分活动逐步推进：活动一直接运用概率公式计算具体数量；活动二先计算频率，再根据“大量重复试验中频率稳定于概率”的性质估计概率，进而求总棋子数；活动四采用标记重捕法，利用“样本中标记鱼的比例等于总体中标记鱼的比例”列方程求解。解题时需明确概率公式、频率与概率的关系，以及标记重捕法的等量关系。
【解析】
活动一
问题1：已知红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，根据概率公式$P(A)=\frac{事件A的数量}{总数量}$，可得红球个数为$10×0.3=3$个。
问题2：已知抽到A的概率为0.2，A的数量为4张，因此扑克牌总张数为$4÷0.2=20$张。
活动二
(1)① 摸到黑棋的频率$=\frac{摸到黑棋的次数}{试验次数}$，200次试验中摸到黑棋50次，故频率为$\frac{50}{200}=0.25$。
(2)① 大量重复试验时，频率会稳定在概率附近，观察试验次数增加时，摸到黑棋的频率稳定在0.25，因此估计黑棋出现的概率为0.25；总棋子数$=\frac{黑棋数量}{黑棋的概率}=\frac{10}{0.25}=40$。
活动四
设池塘中有$x$条鱼，第一次标记100条鱼放回池塘，待鱼混合均匀后，第二次捞出300条中有20条标记鱼，根据“样本中标记鱼的比例等于总体中标记鱼的比例”，列方程：$\frac{100}{x}=\frac{20}{300}$，解得$x=1500$，经检验，$x=1500$符合实际意义，因此估计池塘中有1500条鱼。
【答案】
3；20；0.25；0.25；40；1500
【知识点】
概率公式、用频率估计概率、标记重捕法
【点评】
本题结合“估计池塘鱼的数量”的实际情境，考查概率在解决实际问题中的应用，通过试验数据理解频率与概率的关系，掌握标记重捕法的解题思路，体现了数学的实用性，是概率知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.6