7.(真题·绍兴嵊州)如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H依次是AB,BC,CD,DA的中点。
①若四边形ABCD是平行四边形,则四边形EFGH是平行四边形;②若AC=BD,则四边形EFGH是菱形;③若AC⊥BD,则四边形EFGH是矩形;④若AC=BD,AC⊥BD,则四边形EFGH是正方形。则上述四个结论中正确的是 … ()

A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④

7.D

8.(真题·温州苍南)第二十四届国际数学家大会会徽取自1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”。如图,大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成,若$AD=BE$,则$\frac{AE}{AB}$的值为 ………………………………………… ()

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{5}$

8.D

9.(真题·台州天台)如图,平面直角坐标系中,正方形ABCD顶点A,C坐标分别为(1,1),(3,3)。若直线$y=kx-2k$与正方形ABCD有公共点,则k的取值范围为……………………()

A.$-1≤ k≤ 1$
B.$k≤ -1$或$k≥ 1$
C.$-2≤ k≤ 2$
D.$k≤ -2$或$k≥ 2$

9.B 解析:由A(1,1),C(3,3)知正方形的边长CD=3-1=2,由此得B(3,1),D(1,3),对于直线y=kx-2k=k(x-2),当x=2时,y=0,即直线过定点E(2,0)。①当k＞0时,,当直线过点B时,k取最小值,将点B(3,1)代入y=kx-2k得3k-2k=1,解得k=1,故当k≥1时,直线与正方形ABCD有公共点;②当k＜0时,,当直线经过点A时,k取最大值,将点A(1,1)代入y=kx-2k得k-2k=1,解得k=-1,故当k≤-1时,直线与正方形ABCD有公共点。综上所述,k≤-1或k≥1。

10.(真题·杭州上城)如图，P，Q是菱形ABCD对角线AC上两点(AP＜AQ)，且AP=CQ，有以下四个结论：
①四边形PBQD为菱形；
②当AP=PD时，则PC=2AP；
③当四边形PBQD为正方形时，则AC−BD=2AP；
④设DP=x，AD=y，则AP−PC=y²−x²。
则结论正确的是 ………………………………………………（）

A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③

10.B 解析:①如图,连结BD交AC于O,因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,因为AP=CQ,所以OA-AP=OC-CQ,即OP=OQ,因为四边形ABCD是菱形,所以OD=OB,所以四边形PBQD是平行四边形,因为AC⊥BD,所以四边形PBQD为菱形;故①正确;②因为AP=PD=DQ=CQ,所以PC=PQ+CQ=PQ+AP,因为PQ与AP不一定相等,故②不正确;③因为四边形PBQD为正方形,所以OD=OP=OQ=OB,所以AC-BD=2AP+2OP-2OP=2AP;故③正确;④在Rt△ADO和Rt△PDO中,AD²=OA²+OD²,DP²=OP²+OD²,即y²=OA²+OD²,x²=OP²+OD²,所以y²-x²=OA²-OP²=(OA-OP)(OA+OP)=AP(OC+OP)=AP·PC,即AP·PC=y²-x²,故④正确;故选:B。

11.(真题·绍兴嵊州)已知菱形的两对角线长分别是一元二次方程$x^2 - 6x + 8 = 0$的两个根,则该菱形的边长为________。

11.$\sqrt{5}$