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1[2026安徽合肥质检]若反比例函数$y=\frac{k+2}{x}$的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（
A.$k＜2$
B.$k＜-2$
C.$k＞2$
D.$k＞-2$
B
）A.$k＜2$
B.$k＜-2$
C.$k＞2$
D.$k＞-2$
答案
1.B 【解析】
∵反比例函数图象位于第二、四象限,
∴k+2＜0,解得k＜-2. 故选B.
∵反比例函数图象位于第二、四象限,
∴k+2＜0,解得k＜-2. 故选B.
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆反比例函数的图象性质：对于反比例函数$ y=\frac{m}{x} $（$ m $为常数且$ m≠0 $），当$ m＜0 $时，函数图象位于第二、四象限。本题中反比例函数的比例系数为$ k+2 $，结合图象位于第二、四象限的条件，即可列出关于$ k $的不等式，解不等式就能得到$ k $的取值范围。
【解析】
∵反比例函数$ y=\frac{k+2}{x} $的图象位于第二、四象限，
根据反比例函数的性质，可得比例系数小于0，即：
$ k+2＜0 $
移项解得$ k＜-2 $。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数图象所在象限与比例系数正负的对应关系，只要牢记相关性质就能快速解答，是对基础知识掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先回忆反比例函数的图象性质：对于反比例函数$ y=\frac{m}{x} $（$ m $为常数且$ m≠0 $），当$ m＜0 $时，函数图象位于第二、四象限。本题中反比例函数的比例系数为$ k+2 $，结合图象位于第二、四象限的条件，即可列出关于$ k $的不等式，解不等式就能得到$ k $的取值范围。
【解析】
∵反比例函数$ y=\frac{k+2}{x} $的图象位于第二、四象限，
根据反比例函数的性质，可得比例系数小于0，即：
$ k+2＜0 $
移项解得$ k＜-2 $。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象与性质、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数图象所在象限与比例系数正负的对应关系，只要牢记相关性质就能快速解答，是对基础知识掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.85
2 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(2,1)$，则下列说法错误的是 (
A.$k=2$
B.函数图象分布在第一、三象限
C.当$x＞1$时，$y＞2$
D.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
C
)A.$k=2$
B.函数图象分布在第一、三象限
C.当$x＞1$时，$y＞2$
D.当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
2.C 【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(2,1)$,
∴$k=2×1=2＞0$,
∴函数图象分布在第一、三象限,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小,故A、B、D选项正确,不符合题意;
∵当$x=1$时,$y=2$,
∴当$x＞1$时,$0＜y＜2$,
∴C选项错误,符合题意,故选C.
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(2,1)$,
∴$k=2×1=2＞0$,
∴函数图象分布在第一、三象限,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而减小,故A、B、D选项正确,不符合题意;
∵当$x=1$时,$y=2$,
∴当$x＞1$时,$0＜y＜2$,
∴C选项错误,符合题意,故选C.
解析
【分析】
这是一道反比例函数性质的正误判断题，解题思路分为三步：第一步，利用函数图象经过的已知点，代入反比例函数解析式求出参数k的值；第二步，根据k的正负，结合反比例函数图象与性质的对应规律，依次验证A、B、D三个选项的正误；第三步，针对C选项，结合第一象限内函数的增减性，分析x＞1时对应的y的取值范围，最终选出错误的选项。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(2,1)$，
∴将点代入解析式得$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2×1=2＞0$，故A选项正确，不符合题意；
∵$k=2＞0$，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x＜0$时，图象位于第三象限，$y$随$x$的增大而减小，故B、D选项正确，不符合题意；
当$x=1$时，代入解析式得$y=\frac{2}{1}=2$，
∵第一象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x＞1$时，$0＜y＜2$，故C选项错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求k，反比例函数图象性质，反比例函数增减性
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，核心是先确定k的取值，再结合k的符号判断函数的图象特征与增减性，分析函数值范围时要注意结合单调性判断，易错点是忽略反比例函数增减性的适用范围为“在每个象限内”。
【难度系数】
0.8
这是一道反比例函数性质的正误判断题，解题思路分为三步：第一步，利用函数图象经过的已知点，代入反比例函数解析式求出参数k的值；第二步，根据k的正负，结合反比例函数图象与性质的对应规律，依次验证A、B、D三个选项的正误；第三步，针对C选项，结合第一象限内函数的增减性，分析x＞1时对应的y的取值范围，最终选出错误的选项。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$(2,1)$，
∴将点代入解析式得$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2×1=2＞0$，故A选项正确，不符合题意；
∵$k=2＞0$，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x＜0$时，图象位于第三象限，$y$随$x$的增大而减小，故B、D选项正确，不符合题意；
当$x=1$时，代入解析式得$y=\frac{2}{1}=2$，
∵第一象限内$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x＞1$时，$0＜y＜2$，故C选项错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求k，反比例函数图象性质，反比例函数增减性
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，核心是先确定k的取值，再结合k的符号判断函数的图象特征与增减性，分析函数值范围时要注意结合单调性判断，易错点是忽略反比例函数增减性的适用范围为“在每个象限内”。
【难度系数】
0.8
3[2026安徽淮北质检]若函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$和函数$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则坐标系的横轴可以是（
A.$l_1$
B.$l_2$
C.$l_3$
D.$l_4$
（第3题图）
（第4题图）
C
）A.$l_1$
B.$l_2$
C.$l_3$
D.$l_4$
（第3题图）
（第4题图）
答案
3.C 【解析】在函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$和函数$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$中,
∵$4＞0,-2＜0$,
∴函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象在第一象限,函数$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$的图象在第四象限.
∵$|4|＞|-2|$,
∴$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$的图象更靠近坐标轴,
∴坐标系的横轴可以是$l_3$,故选C.
∵$4＞0,-2＜0$,
∴函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象在第一象限,函数$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$的图象在第四象限.
∵$|4|＞|-2|$,
∴$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$的图象更靠近坐标轴,
∴坐标系的横轴可以是$l_3$,故选C.
解析
【分析】
解题时先回忆反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当x＞0时，k＞0则y＞0，图象在第一象限；k＜0则y＜0，图象在第四象限，由此可判断横轴位于两个函数图象之间，先排除不符合位置的选项。再根据k的绝对值越大，相同x对应的|y|越大，图象离横轴越远的规律，判断横轴与两个图象的距离关系，即可选出正确选项。
【解析】
∵在函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$中$k=4＞0$，
∴x＞0时y＞0，图象位于第一象限，在横轴上方；
在函数$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$中$k=-2＜0$，
∴x＞0时y＜0，图象位于第四象限，在横轴下方；
因此横轴需在两个图象之间，可排除A选项$l_1$、D选项$l_4$。
又
∵$|4|＞|-2|$，对于任意相同的x＞0，$\frac{4}{x}＞|\frac{-2}{x}|$，即上方图象到横轴的距离大于下方图象到横轴的距离，说明横轴更靠近下方的图象，排除B选项$l_2$，故横轴为$l_3$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象性质；k值对反比例函数图象的影响
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数的图象与性质，解题核心是明确k的正负决定图象所在象限，k的绝对值大小决定图象与坐标轴的距离，熟练掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆反比例函数的图象性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当x＞0时，k＞0则y＞0，图象在第一象限；k＜0则y＜0，图象在第四象限，由此可判断横轴位于两个函数图象之间，先排除不符合位置的选项。再根据k的绝对值越大，相同x对应的|y|越大，图象离横轴越远的规律，判断横轴与两个图象的距离关系，即可选出正确选项。
【解析】
∵在函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$中$k=4＞0$，
∴x＞0时y＞0，图象位于第一象限，在横轴上方；
在函数$y=-\frac{2}{x}(x＞0)$中$k=-2＜0$，
∴x＞0时y＜0，图象位于第四象限，在横轴下方；
因此横轴需在两个图象之间，可排除A选项$l_1$、D选项$l_4$。
又
∵$|4|＞|-2|$，对于任意相同的x＞0，$\frac{4}{x}＞|\frac{-2}{x}|$，即上方图象到横轴的距离大于下方图象到横轴的距离，说明横轴更靠近下方的图象，排除B选项$l_2$，故横轴为$l_3$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象性质；k值对反比例函数图象的影响
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数的图象与性质，解题核心是明确k的正负决定图象所在象限，k的绝对值大小决定图象与坐标轴的距离，熟练掌握该性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4[2025 贵州贵阳校级质检]反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ $(k≠0)$的图象如图所示,则$k$的值可能是 (
A.5
B.12
C.-5
D.-12
C
)A.5
B.12
C.-5
D.-12
答案
4.C 【解析】由题图可知,$A(-3,3),B(2,-2)$都不在反比例函数图象上,则$-3×3＜k＜2×(-2)$,即$-9＜k＜-4$,故$k$的值可能是$-5$.故选C.
解析
【分析】
解题思路可分三步：第一步，先根据反比例函数图象所在象限判断k的符号，排除不符合的正数值选项；第二步，结合图中A、B两点与反比例函数图象的位置关系，利用反比例函数$k=xy$的性质，列出不等式确定k的取值范围；第三步，对照选项选出符合范围的k值。
【解析】
首先，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象位于第二、四象限，因此$k＜0$，可直接排除选项A（5）、B（12）。
观察图象可知：点$A(-3,3)$在反比例函数图象上方，说明当$x=-3$时，反比例函数的函数值$y＜3$，代入解析式得$\dfrac{k}{-3}＜3$，解得$k＞-9$；
点$B(2,-2)$在反比例函数图象上方，说明当$x=2$时，反比例函数的函数值$y＜-2$，代入解析式得$\dfrac{k}{2}＜-2$，解得$k＜-4$。
综上，$k$的取值范围为$-9＜k＜-4$，选项中只有$-5$符合该范围。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数系数k的判断
【点评】
本题结合图象考查反比例函数的性质，解题关键是根据点与图象的位置关系正确列出不等式，同时注意解不等式时乘负数不等号方向要改变，能够有效检验学生对反比例函数性质的掌握程度和读图能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：第一步，先根据反比例函数图象所在象限判断k的符号，排除不符合的正数值选项；第二步，结合图中A、B两点与反比例函数图象的位置关系，利用反比例函数$k=xy$的性质，列出不等式确定k的取值范围；第三步，对照选项选出符合范围的k值。
【解析】
首先，反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象位于第二、四象限，因此$k＜0$，可直接排除选项A（5）、B（12）。
观察图象可知：点$A(-3,3)$在反比例函数图象上方，说明当$x=-3$时，反比例函数的函数值$y＜3$，代入解析式得$\dfrac{k}{-3}＜3$，解得$k＞-9$；
点$B(2,-2)$在反比例函数图象上方，说明当$x=2$时，反比例函数的函数值$y＜-2$，代入解析式得$\dfrac{k}{2}＜-2$，解得$k＜-4$。
综上，$k$的取值范围为$-9＜k＜-4$，选项中只有$-5$符合该范围。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数系数k的判断
【点评】
本题结合图象考查反比例函数的性质，解题关键是根据点与图象的位置关系正确列出不等式，同时注意解不等式时乘负数不等号方向要改变，能够有效检验学生对反比例函数性质的掌握程度和读图能力。
【难度系数】
0.7
5 如图，$\odot O$ 的半径为 3，双曲线的表达式分别为 $y=\frac{1}{x}$ 和 $y=-\frac{1}{x}$，则阴影部分的面积为 
$\frac{9}{2}π$
。答案
5.$\frac{9}{2}π$ 【解析】双曲线$y=\frac{1}{x}$与$y=-\frac{1}{x}$关于坐标轴对称,根据图形的对称性,把第二象限和第三象限的阴影部分与第一象限和第四象限中的阴影部分拼到一起,可以得到一个半圆,且半径为3,所以$S_{阴影}=\frac{1}{2}×π×3^2=\frac{9}{2}π$.
解析
【分析】
本题阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，需通过图形对称性转化为规则图形求解：首先回忆反比例函数的图象性质，可知$y=\frac{1}{x}$与$y=-\frac{1}{x}$关于x轴、y轴对称，同时圆是轴对称和中心对称图形，因此可将不同象限的分散阴影通过对称拼接，拼成规则的半圆，再代入半圆面积公式计算即可。
【解析】
因为双曲线$y=\frac{1}{x}$与$y=-\frac{1}{x}$关于坐标轴对称，且$\odot O$为轴对称、中心对称图形，根据图形的对称性，可将第二、三象限的阴影部分拼接至第一、四象限对应空白处，最终阴影部分可拼成一个半径为3的半圆。
根据半圆面积公式可得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×π×r^2=\frac{1}{2}×π×3^2=\frac{9}{2}π$
【答案】
$\frac{9}{2}π$
【知识点】
反比例函数的对称性，圆的对称性，割补法求面积
【点评】
本题核心是利用图形的对称性将不规则的阴影面积转化为规则的半圆面积，简化计算过程，解题的关键是熟练掌握反比例函数和圆的对称性质，灵活运用割补转化的思想求解不规则图形面积。
【难度系数】
0.7
本题阴影部分为不规则图形，无法直接计算面积，需通过图形对称性转化为规则图形求解：首先回忆反比例函数的图象性质，可知$y=\frac{1}{x}$与$y=-\frac{1}{x}$关于x轴、y轴对称，同时圆是轴对称和中心对称图形，因此可将不同象限的分散阴影通过对称拼接，拼成规则的半圆，再代入半圆面积公式计算即可。
【解析】
因为双曲线$y=\frac{1}{x}$与$y=-\frac{1}{x}$关于坐标轴对称，且$\odot O$为轴对称、中心对称图形，根据图形的对称性，可将第二、三象限的阴影部分拼接至第一、四象限对应空白处，最终阴影部分可拼成一个半径为3的半圆。
根据半圆面积公式可得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}×π×r^2=\frac{1}{2}×π×3^2=\frac{9}{2}π$
【答案】
$\frac{9}{2}π$
【知识点】
反比例函数的对称性，圆的对称性，割补法求面积
【点评】
本题核心是利用图形的对称性将不规则的阴影面积转化为规则的半圆面积，简化计算过程，解题的关键是熟练掌握反比例函数和圆的对称性质，灵活运用割补转化的思想求解不规则图形面积。
【难度系数】
0.7
6[2026江苏宿迁一模]函数$y_1=mx$（$m$是常数，且$m≠0$）与$y_2=\frac{n}{x}$（$n$是常数，且$n≠0$）的图象交于$A(-1,2)$，$B$两点，当$y_1＞y_2$时，自变量$x$的取值范围是
x＜-1或0＜x＜1
。答案
6.x＜-1或0＜x＜1 【解析】将$A(-1,2)$代入$y_1=mx$,得$2=-m$,解得$m=-2$,即$y_1=-2x$;将$A(-1,2)$代入$y_2=\frac{n}{x}$,得$2=\frac{n}{-1}$,解得$n=-2$,即$y_2=-\frac{2}{x}$.
∵正比例函数图象和反比例函数图象都关于原点中心对称,
∴两个交点关于原点对称,
∴$B$点坐标为$(1,-2)$.画出两个函数的图象如
,由函数图象可知,当$y_1＞y_2$时,自变量$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$.解析
【分析】
解题时首先利用已知交点A的坐标，通过待定系数法分别求出正比例函数和反比例函数的解析式；再根据正比例函数、反比例函数均关于原点中心对称的性质，可知两个交点也关于原点对称，由此求出B点坐标；最后结合函数图象，分区间找直线在双曲线上方对应的x的取值范围，注意反比例函数图象不连续，要分开讨论x＜0和x＞0的情况，避免漏解。
【解析】
将$A(-1,2)$代入$y_1=mx$，得$2=-m$，解得$m=-2$，即$y_1=-2x$；
将$A(-1,2)$代入$y_2=\frac{n}{x}$，得$2=\frac{n}{-1}$，解得$n=-2$，即$y_2=-\frac{2}{x}$。
∵正比例函数图象和反比例函数图象都关于原点中心对称，
∴两个交点关于原点对称，
∴$B$点坐标为$(1,-2)$。
画出两个函数的图象如，由函数图象可知，当$y_1＞y_2$时，自变量$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$。
【答案】
$x＜-1$或$0＜x＜1$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数的中心对称性，图象法比较函数值
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合题，核心解题技巧是利用函数的中心对称性快速得到第二个交点坐标，结合数形结合思想读取图象信息即可求解，需注意反比例函数图象不连续，取值范围要分区间讨论，切勿忽略x≠0的限制。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用已知交点A的坐标，通过待定系数法分别求出正比例函数和反比例函数的解析式；再根据正比例函数、反比例函数均关于原点中心对称的性质，可知两个交点也关于原点对称，由此求出B点坐标；最后结合函数图象，分区间找直线在双曲线上方对应的x的取值范围，注意反比例函数图象不连续，要分开讨论x＜0和x＞0的情况，避免漏解。
【解析】
将$A(-1,2)$代入$y_1=mx$，得$2=-m$，解得$m=-2$，即$y_1=-2x$；
将$A(-1,2)$代入$y_2=\frac{n}{x}$，得$2=\frac{n}{-1}$，解得$n=-2$，即$y_2=-\frac{2}{x}$。
∵正比例函数图象和反比例函数图象都关于原点中心对称，
∴两个交点关于原点对称，
∴$B$点坐标为$(1,-2)$。
画出两个函数的图象如
，由函数图象可知，当$y_1＞y_2$时，自变量$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$。【答案】
$x＜-1$或$0＜x＜1$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数的中心对称性，图象法比较函数值
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合题，核心解题技巧是利用函数的中心对称性快速得到第二个交点坐标，结合数形结合思想读取图象信息即可求解，需注意反比例函数图象不连续，取值范围要分区间讨论，切勿忽略x≠0的限制。
【难度系数】
0.7
7[2025安徽阜阳质检]已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$），当$1≤x≤3$时，函数$y$的最大值和最小值之差为4，则$k=$
±6
。答案
7.±6 【解析】当$x=1$时,$y=k$;当$x=3$时,$y=\frac{k}{3}$.
∵当$1≤x≤3$时,函数$y$的最大值和最小值之差为4,$\therefore \left|k-\frac{k}{3}\right|=4$,解得$k=\pm6$.
∵当$1≤x≤3$时,函数$y$的最大值和最小值之差为4,$\therefore \left|k-\frac{k}{3}\right|=4$,解得$k=\pm6$.
解析
【分析】
解决本题需要结合反比例函数的单调性分析最值：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的单调性由$k$的符号决定：当$k＞0$时，在$x＞0$的区间内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在$x＞0$的区间内$y$随$x$的增大而增大。我们可以先求出$x=1$、$x=3$时对应的函数值，再结合最值差为4列等式，由于$k$的符号不确定，可通过绝对值涵盖两种情况，最终解方程求出$k$的值。
【解析】
当$x=1$时，代入函数得$y=k$；当$x=3$时，代入函数得$y=\frac{k}{3}$。
∵当$1≤x≤3$时，函数$y$的最大值和最小值之差为4，
∴$\left|k-\frac{k}{3}\right|=4$，
化简得$\left|\frac{2k}{3}\right|=4$，即$\frac{2\left|k\right|}{3}=4$，
解得$\left|k\right|=6$，即$k=\pm6$。
【答案】
$\pm6$
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.绝对值方程求解
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题时要注意对$k$的符号分类讨论，避免因忽略$k$为负数的情况出现漏解，属于反比例函数章节的基础常考题。
【难度系数】
0.7
解决本题需要结合反比例函数的单调性分析最值：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）的单调性由$k$的符号决定：当$k＞0$时，在$x＞0$的区间内$y$随$x$的增大而减小；当$k＜0$时，在$x＞0$的区间内$y$随$x$的增大而增大。我们可以先求出$x=1$、$x=3$时对应的函数值，再结合最值差为4列等式，由于$k$的符号不确定，可通过绝对值涵盖两种情况，最终解方程求出$k$的值。
【解析】
当$x=1$时，代入函数得$y=k$；当$x=3$时，代入函数得$y=\frac{k}{3}$。
∵当$1≤x≤3$时，函数$y$的最大值和最小值之差为4，
∴$\left|k-\frac{k}{3}\right|=4$，
化简得$\left|\frac{2k}{3}\right|=4$，即$\frac{2\left|k\right|}{3}=4$，
解得$\left|k\right|=6$，即$k=\pm6$。
【答案】
$\pm6$
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.绝对值方程求解
【点评】
本题考查反比例函数增减性的应用，解题时要注意对$k$的符号分类讨论，避免因忽略$k$为负数的情况出现漏解，属于反比例函数章节的基础常考题。
【难度系数】
0.7
8[2026安徽合肥校级质检]如图,已知动点A,B分别在x轴,y轴正半轴上,动点P在反比例函数$y=\frac{5}{x}(x＞0)$图象上,$PA⊥x$轴.当点A的横坐标逐渐增大时,$△ABP$的面积将会 (
A.不变
B.越来越大
C.越来越小
D.先变大后变小
(第8题图)
(第9题图)
A
)A.不变
B.越来越大
C.越来越小
D.先变大后变小
(第8题图)
(第9题图)
答案
8.A 【解析】如图,连接$OP$.
∵$PA⊥x$轴,
∴$S_{△OPA}=\frac{1}{2}|k|=\frac{5}{2}$.
∵$PA//y$轴,
∴$S_{△PAB}=S_{△OPA}=\frac{5}{2}$,
∴当点A的横坐标逐渐增大时,$S_{△PAB}$不变,始终等于$\frac{5}{2}$.故选A.
解析
【分析】
拿到题目首先观察已知条件：点P在反比例函数图象上，且PA垂直x轴，首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，是固定值。接下来需要将所求$△ ABP$的面积和这个固定面积的三角形建立联系：因为OB在y轴上，y轴与PA都垂直于x轴，可得PA平行于y轴，此时$△ ABP$和$△ OPA$共享底PA，且点B和点O到直线PA的距离相等（平行线间距离处处相等），因此两个三角形面积相等，即可推出$△ ABP$的面积为定值，不随A的横坐标变化而变化。
【解析】
解：如图，连接$OP$。
$\because PA⊥ x$轴，点P在反比例函数$y=\frac{5}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore$根据反比例函数k的几何意义可得$S_{△ OPA}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
$\because PA⊥ x$轴，$OB⊥ x$轴，
$\therefore PA// y$轴，
$\therefore △ PAB$和$△ OPA$同底等高，
$\therefore S_{△ PAB}=S_{△ OPA}=\frac{5}{2}$，
因此当点A的横坐标逐渐增大时，$△ ABP$的面积始终为$\frac{5}{2}$，保持不变。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 同底等高三角形面积性质
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题型，解题核心是通过辅助线OP，结合平行线的性质将未知面积的三角形转化为反比例函数中面积固定的三角形，规避了复杂的坐标计算，考查对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
拿到题目首先观察已知条件：点P在反比例函数图象上，且PA垂直x轴，首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，是固定值。接下来需要将所求$△ ABP$的面积和这个固定面积的三角形建立联系：因为OB在y轴上，y轴与PA都垂直于x轴，可得PA平行于y轴，此时$△ ABP$和$△ OPA$共享底PA，且点B和点O到直线PA的距离相等（平行线间距离处处相等），因此两个三角形面积相等，即可推出$△ ABP$的面积为定值，不随A的横坐标变化而变化。
【解析】
解：如图，连接$OP$。
$\because PA⊥ x$轴，点P在反比例函数$y=\frac{5}{x}(x＞0)$的图象上，
$\therefore$根据反比例函数k的几何意义可得$S_{△ OPA}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
$\because PA⊥ x$轴，$OB⊥ x$轴，
$\therefore PA// y$轴，
$\therefore △ PAB$和$△ OPA$同底等高，
$\therefore S_{△ PAB}=S_{△ OPA}=\frac{5}{2}$，
因此当点A的横坐标逐渐增大时，$△ ABP$的面积始终为$\frac{5}{2}$，保持不变。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 同底等高三角形面积性质
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题型，解题核心是通过辅助线OP，结合平行线的性质将未知面积的三角形转化为反比例函数中面积固定的三角形，规避了复杂的坐标计算，考查对几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
9 如图,在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上,有点$P_1,P_2,P_3,P_4$,它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为$S_1,S_2,S_3$,则$S_1+S_2+S_3=$ (
A.1
B.1.5
C.2
D.无法确定
刷易错…………小心有坑~
B
)A.1
B.1.5
C.2
D.无法确定
刷易错…………小心有坑~
答案
9.B 【解析】由题意知,点$P_1,P_2,P_3,P_4$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上,所以过点$P_1$作x轴与y轴的垂线与两坐标轴所围成的矩形面积为2.因为过点$P_4$作x轴与y轴的垂线与两坐标轴所围成的矩形面积也为2,且点$P_1,P_2,P_3,P_4$的横坐标依次为1,2,3,4,所以题图中以点O为一个顶点的最小矩形的面积为$\frac{1}{4}×2=\frac{1}{2}$.把面积为$S_2,S_3$的小矩形平移到面积为$S_1$的小矩形的下方,则$S_1+S_2+S_3=2-\frac{1}{2}=1.5$.
解析
【分析】
解题首先想到反比例函数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积等于|k|。本题中k=2，因此对应的矩形面积均为2。观察阴影部分的特征，每个阴影矩形的水平宽度均为1，我们既可以分别计算三个阴影的面积再求和，也可以通过平移的方法，将$S_2、S_3$向左平移到$S_1$的正下方，拼接成一个完整的矩形，用大矩形面积减去底部空白小矩形的面积快速得到结果，避免繁琐计算。
【解析】
方法一：分别计算求和
已知反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}(x＞0)$，点$P_1,P_2,P_3,P_4$横坐标依次为1,2,3,4，代入解析式得各点纵坐标：
$P_1$纵坐标：$y_1=\frac{2}{1}=2$，$P_2$纵坐标：$y_2=\frac{2}{2}=1$，$P_3$纵坐标：$y_3=\frac{2}{3}$，$P_4$纵坐标：$y_4=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
每个阴影矩形的宽均为$1$，因此：
$S_1=1×(y_1-y_2)=1×(2-1)=1$
$S_2=1×(y_2-y_3)=1×(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{3}$
$S_3=1×(y_3-y_4)=1×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}$
所以$S_1+S_2+S_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}=1.5$。
方法二：平移法
根据反比例函数k的几何意义，过$P_1$作x、y轴垂线与坐标轴围成的矩形面积为2。
将$S_2、S_3$向左平移到$S_1$的正下方，三个阴影拼接成一个宽为1的矩形，底部空白小矩形（宽1，高为$P_4$纵坐标）的面积为$1×\frac{1}{2}=0.5$，因此$S_1+S_2+S_3=2-0.5=1.5$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数点的坐标特征；割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，既可以通过坐标计算逐个求解面积，也可以利用平移法简化计算，核心是掌握反比例函数中k的几何意义，灵活运用割补思想减少运算量。
【难度系数】
0.7
解题首先想到反比例函数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积等于|k|。本题中k=2，因此对应的矩形面积均为2。观察阴影部分的特征，每个阴影矩形的水平宽度均为1，我们既可以分别计算三个阴影的面积再求和，也可以通过平移的方法，将$S_2、S_3$向左平移到$S_1$的正下方，拼接成一个完整的矩形，用大矩形面积减去底部空白小矩形的面积快速得到结果，避免繁琐计算。
【解析】
方法一：分别计算求和
已知反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}(x＞0)$，点$P_1,P_2,P_3,P_4$横坐标依次为1,2,3,4，代入解析式得各点纵坐标：
$P_1$纵坐标：$y_1=\frac{2}{1}=2$，$P_2$纵坐标：$y_2=\frac{2}{2}=1$，$P_3$纵坐标：$y_3=\frac{2}{3}$，$P_4$纵坐标：$y_4=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
每个阴影矩形的宽均为$1$，因此：
$S_1=1×(y_1-y_2)=1×(2-1)=1$
$S_2=1×(y_2-y_3)=1×(1-\frac{2}{3})=\frac{1}{3}$
$S_3=1×(y_3-y_4)=1×(\frac{2}{3}-\frac{1}{2})=\frac{1}{6}$
所以$S_1+S_2+S_3=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{2}=1.5$。
方法二：平移法
根据反比例函数k的几何意义，过$P_1$作x、y轴垂线与坐标轴围成的矩形面积为2。
将$S_2、S_3$向左平移到$S_1$的正下方，三个阴影拼接成一个宽为1的矩形，底部空白小矩形（宽1，高为$P_4$纵坐标）的面积为$1×\frac{1}{2}=0.5$，因此$S_1+S_2+S_3=2-0.5=1.5$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数点的坐标特征；割补法求面积
【点评】
本题是反比例函数面积类的典型题型，既可以通过坐标计算逐个求解面积，也可以利用平移法简化计算，核心是掌握反比例函数中k的几何意义，灵活运用割补思想减少运算量。
【难度系数】
0.7
10 在函数$y=\frac{-a^2 -1}{x}$（$a$为常数）的图象上有三点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$，其中$x_1＜x_2＜0＜x_3$，则函数值$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_2＜y_3＜y_1$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
D
）A.$y_2＜y_3＜y_1$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_3＜y_1＜y_2$
答案
10.D 【解析】
∵$k=-a^2-1=-(a^2+1)＜0$,
∴在每一个象限内,$y$随$x$的增大而增大,且函数图象分布在第二、四象限.
∵$x_1＜x_2＜0$,
∴$0＜y_1＜y_2$.
∵$x_3＞0$,
∴$(x_3,y_3)$在第四象限,
∴$y_3＜0$,
∴$y_3＜y_1＜y_2$.故选D.
∵$k=-a^2-1=-(a^2+1)＜0$,
∴在每一个象限内,$y$随$x$的增大而增大,且函数图象分布在第二、四象限.
∵$x_1＜x_2＜0$,
∴$0＜y_1＜y_2$.
∵$x_3＞0$,
∴$(x_3,y_3)$在第四象限,
∴$y_3＜0$,
∴$y_3＜y_1＜y_2$.故选D.
解析
【分析】
解决本题的核心是先确定反比例函数的比例系数k的正负，再结合反比例函数的图象性质分象限比较函数值大小：①首先根据平方的非负性判断$k=-a^2-1$的符号，明确函数图象所在的象限和增减性；②根据三个点横坐标的正负，判断三个点分别所在的象限，明确不同象限内函数值的正负性，先区分出最小的函数值；③再对同一象限内的两个点，利用函数的增减性比较对应函数值的大小，最终得到三个函数值的大小关系。
【解析】
∵ 比例系数$k=-a^2-1=-(a^2+1)$，由平方的非负性可知$a^2≥0$，
∴ $a^2+1≥1$，即$k=-(a^2+1)＜0$，
∴ 该反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵ $x_1＜x_2＜0$，说明点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$都在第二象限，第二象限内的点的纵坐标为正，
∴ $0＜y_1＜y_2$。
∵ $x_3＞0$，说明点$(x_3,y_3)$在第四象限，第四象限内的点的纵坐标为负，
∴ $y_3＜0$，
综上可得$y_3＜y_1＜y_2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质，非负数的性质，象限内点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题目，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能直接用增减性比较不同象限内点的函数值，需先根据象限判断函数值的正负再比较，避免直接套用增减性导致出错。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先确定反比例函数的比例系数k的正负，再结合反比例函数的图象性质分象限比较函数值大小：①首先根据平方的非负性判断$k=-a^2-1$的符号，明确函数图象所在的象限和增减性；②根据三个点横坐标的正负，判断三个点分别所在的象限，明确不同象限内函数值的正负性，先区分出最小的函数值；③再对同一象限内的两个点，利用函数的增减性比较对应函数值的大小，最终得到三个函数值的大小关系。
【解析】
∵ 比例系数$k=-a^2-1=-(a^2+1)$，由平方的非负性可知$a^2≥0$，
∴ $a^2+1≥1$，即$k=-(a^2+1)＜0$，
∴ 该反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每一个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵ $x_1＜x_2＜0$，说明点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$都在第二象限，第二象限内的点的纵坐标为正，
∴ $0＜y_1＜y_2$。
∵ $x_3＞0$，说明点$(x_3,y_3)$在第四象限，第四象限内的点的纵坐标为负，
∴ $y_3＜0$，
综上可得$y_3＜y_1＜y_2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质，非负数的性质，象限内点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的典型应用题目，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能直接用增减性比较不同象限内点的函数值，需先根据象限判断函数值的正负再比较，避免直接套用增减性导致出错。
【难度系数】
0.7
