1 [2026 安徽合肥期末,中]函数$y_1=ax^2+bx+c(a≠0)$与$y_2=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象如图所示,若$y_1$,$y_2$均随着$x$的增大而增大,则$x$的取值范围可以是

()

A.$x＜-3$
B.$-3＜x＜-1$
C.$0＜x＜1$
D.$x＞1$

1.A 【解析】观察图象可知,若$y_1,y_2$均随着$x$的增大而增大,则$x$的取值范围可以是$x＜-3$.故选A.

【分析】
要解决这道题，需分别明确二次函数和反比例函数的单调递增区间，再取两个区间的公共部分，最后结合选项筛选出符合要求的x的取值范围。首先回忆函数增减性规律：开口向下的二次函数，在对称轴左侧y随x的增大而增大，右侧y随x的增大而减小；当反比例函数图像位于二、四象限时，k＜0，在每个象限内y随x的增大而增大。结合图像先确定两个函数的递增区间，再找公共部分即可。
【解析】
1. 分析二次函数$y_1=ax^2+bx+c$的增减性：
由图像可知，二次函数开口向下，对称轴为直线$x=-1$，因此当$x＜-1$时，$y_1$随$x$的增大而增大。
2. 分析反比例函数$y_2=\frac{k}{x}$的增减性：
由图像可知，反比例函数的图像位于第二、四象限，因此$k＜0$，在每个象限内$y_2$随$x$的增大而增大。
3. 筛选符合要求的区间：
当$x＞0$时，$x＞-1$，此时$y_1$随$x$的增大而减小，不符合要求，排除C、D选项；结合图像观察可得，当$x＜-3$时，$y_1$、$y_2$均随$x$的增大而增大，符合要求。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的增减性，反比例函数的增减性，函数图像应用
【点评】
本题考查二次函数与反比例函数增减性的综合应用，解题的关键是熟练掌握两类函数的增减性规律，结合图像直观判断公共递增区间，注意反比例函数的增减性要限定在每个象限内。
【难度系数】
0.7

2[中]如图，$△ ABC$的三个顶点分别为$A(1,2)$，$B(4,2)$，$C(4,4)$. 若反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$在第一象限内的图象与$△ ABC$有交点，则$k$的取值范围是（）

A.$1≤ k≤ 4$
B.$2≤ k≤ 8$
C.$2≤ k≤ 16$
D.$8≤ k≤ 16$

(第2题图)
(第3题图)

2.C 【解析】由$△ ABC$各顶点的坐标可知,$△ ABC$是直角三角形,
∴当反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A$时$k$最小,经过点$C$时$k$最大,
∴$k_{最小}=1×2=2$,$k_{最大}=4×4=16$,
∴$2≤k≤16$.故选C.

【分析】
要解决这个问题，首先明确反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$中$k=xy$的特点，因此求反比例函数与$△ ABC$有交点时$k$的取值范围，本质是求$△ ABC$边上所有点的$xy$的取值范围。首先根据三个顶点的坐标判断$△ ABC$的形状和各边的坐标特征，再分别计算各边上$xy$的最小值和最大值，即可得到$k$的取值范围。
【解析】
由$A(1,2)$，$B(4,2)$，$C(4,4)$可知：
$AB$边平行于$x$轴，$BC$边平行于$y$轴，$∠ B=90°$，$△ ABC$是直角三角形。
对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$，可得$k=xy$：
当反比例函数图象经过点$A$时，$k$取得最小值，$k_{\mathrm{最小}}=1×2=2$；
当反比例函数图象经过点$C$时，$k$取得最大值，$k_{\mathrm{最大}}=4×4=16$；
因此$k$的取值范围是$2≤ k≤16$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质，反比例函数$k$的几何意义，坐标与图形性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何图形的结合类基础题，解题的核心是抓住反比例函数中$k=xy$的特征，结合三角形顶点的坐标直接计算最值即可，解题时注意结合图形特征简化计算。
【难度系数】
0.7

3[2025安徽滁州期末,中]如图,在平面直角坐标系中,在反比例函数$y=\frac{9}{4x}$的图象上取一点$B_1$,连接$OB_1$,以点$B_1$为直角顶点作等腰$\mathrm{Rt}△ OA_1B_1$.
(1)$B_1$的坐标为;
(2)若过点$A_1$作$A_1B_2// OB_1$交反比例函数图象于点$B_2$,过点$B_2$作$B_2A_2// A_1B_1$交$x$轴于点$A_2$,过点$A_2$作$A_2B_3// A_1B_2$交反比例函数图象于点$B_3$,过点$B_3$作$B_3A_3// A_2B_2$交$x$轴于点$A_3$,$···$,按此规律依次作图,则$A_{2024}$的坐标为.

3.(1)$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ (2)$(6\sqrt{506},0)$ 【解析】(1)如,过点$B_1$作$x$轴的垂线,垂足为$C_1$.因为$△ OA_1B_1$是等腰直角三角形,所以$B_1C_1=\frac{1}{2}OA_1=OC_1=C_1A_1$.设$OC_1=B_1C_1=a$,所以点$B_1$的坐标为$(a,a)$.因为点$B_1$在反比例函数$y=\frac{9}{4x}$的图象上,所以$a^2=\frac{9}{4}$,解得$a=\frac{3}{2}$(负值已舍去),所以点$B_1$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$.(2)如图,分别过点$B_2,B_3,\dots$作$x$轴的垂线,垂足分别为$C_2,C_3,\dots$.由(1)知,$OA_1=2OC_1=3$,所以点$A_1$的坐标为$(3,0)$.由题知$△ A_1A_2B_2$是等腰直角三角形,所以可设$A_1C_2=B_2C_2=A_2C_2=b$,所以点$B_2$的坐标为$(3+b,b)$.因为点$B_2$在反比例函数$y=\frac{9}{4x}$的图象上,所以$(3+b)×b=\frac{9}{4}$,解得$b=\frac{3\sqrt{2}-3}{2}$(负值已舍去),则$3+2×\frac{3\sqrt{2}-3}{2}=3\sqrt{2}$,所以点$A_2$的坐标为$(3\sqrt{2},0)$.同理可得,点$A_3$的坐标为$(3\sqrt{3},0)$,点$A_4$的坐标为$(6,0)$,$\dots$,所以点$A_n$的坐标为$(3\sqrt{n},0)$($n$为正整数),当$n=2024$时,$3\sqrt{n}=3\sqrt{2024}=6\sqrt{506}$,所以点$A_{2024}$的坐标为$(6\sqrt{506},0)$.

【分析】
(1) 求解$B_1$坐标时，结合等腰直角三角形的性质，过$B_1$作$x$轴垂线，可得$B_1$的横坐标与纵坐标相等，设为$(a,a)$后代入反比例函数解析式即可求出$a$的值。(2) 先由第一问结论得到$A_1$的坐标，再根据作图规则可知后续三角形均为等腰直角三角形，同理表示出$B_2$的坐标代入反比例函数，求出$A_2$坐标，依次推导归纳出$A_n$的坐标规律，代入$n=2024$即可得到结果。
【解析】
(1) 如，过点$B_1$作$x$轴的垂线，垂足为$C_1$。
因为$△ OA_1B_1$是等腰直角三角形，$∠ OB_1A_1=90°$，所以$B_1C_1=\frac{1}{2}OA_1=OC_1=C_1A_1$。
设$OC_1=B_1C_1=a$，则点$B_1$的坐标为$(a,a)$。
因为点$B_1$在反比例函数$y=\frac{9}{4x}$的图象上，所以$a· a=\frac{9}{4}$，即$a^2=\frac{9}{4}$，解得$a=\frac{3}{2}$（负值不符合题意，舍去），所以点$B_1$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$。
(2) 分别过点$B_2,B_3,\dots$作$x$轴的垂线，垂足分别为$C_2,C_3,\dots$。
由(1)可知$OA_1=2OC_1=2×\frac{3}{2}=3$，所以$A_1$的坐标为$(3,0)$。
由作图规则可知$△ A_1A_2B_2$是等腰直角三角形，设$A_1C_2=B_2C_2=A_2C_2=b$，则点$B_2$的坐标为$(3+b,b)$。
将$B_2$代入反比例函数解析式得$(3+b)· b=\frac{9}{4}$，解得$b=\frac{3\sqrt{2}-3}{2}$（负值舍去），因此$OA_2=3+2b=3+2×\frac{3\sqrt{2}-3}{2}=3\sqrt{2}$，即$A_2(3\sqrt{2},0)$。
同理可得$A_3(3\sqrt{3},0)$，$A_4(3\sqrt{4},0)$，……，归纳可得点$A_n$的坐标为$(3\sqrt{n},0)$（$n$为正整数）。
当$n=2024$时，$3\sqrt{2024}=3\sqrt{4×506}=6\sqrt{506}$，所以$A_{2024}$的坐标为$(6\sqrt{506},0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(\frac{3}{2},\frac{3}{2})}$；(2) $\boldsymbol{(6\sqrt{506},0)}$
【知识点】
反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，图形规律探究
【点评】
本题结合反比例函数、等腰直角三角形考查规律探究能力，解题核心是利用等腰直角三角形的性质表示出反比例函数上点的坐标，通过代入解析式推导坐标变化规律，渗透了数形结合与归纳推理的思想。
【难度系数】
0.6

4[2026安徽六安质检,较难]如图,矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,1),CB=2.
(1)若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点D,则k=;
(2)若反比例函数$y=\frac{a}{x}(x＞0)$的图象将矩形边上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组,使两组点分别在其图象两侧,则a的取值范围是.

4.(1)3 (2)$2＜a＜3$ 【解析】(1)由条件可知...

【分析】
(1) 先根据矩形的性质求点D的坐标：已知A、B坐标和CB的长度，结合矩形邻边垂直、对边平行的特点可推出D点坐标，再代入反比例函数表达式即可求出k值。
(2) 先枚举矩形边上所有横、纵坐标均为整数的点，共6个。将反比例函数$y=\frac{a}{x}$变形为$a=xy$，图象两侧的点分别满足$xy＜a$和$xy＞a$，要将6个点等分成两组，需a介于3个较小xy值的最大值和3个较大xy值的最小值之间，即可求出a的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，$A(1,1)$，$B(2,1)$，$CB=2$
∴ AB平行于x轴，BC垂直于AB，
∴ C点坐标为$(2, 1+2)=(2,3)$，D点横坐标与A相同为1，纵坐标与C相同为3，即$D(1,3)$
将$D(1,3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$。
(2) 矩形边上横、纵坐标均为整数的点共有6个：$(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)$
反比例函数$y=\frac{a}{x}(x＞0)$可变形为$a=xy$：图象上方的点满足$xy＞a$，图象下方的点满足$xy＜a$。
计算各点的xy值：$1×1=1$，$1×2=2$，$1×3=3$，$2×1=2$，$2×2=4$，$2×3=6$。
要将6个点恰好等分成两组各3个，需a大于3个较小xy值的最大值2，小于3个较大xy值的最小值3，即$2＜a＜3$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{2＜a＜3}$
【知识点】
反比例函数的性质，矩形的性质，坐标与图形
【点评】
本题结合矩形坐标特征考查反比例函数的性质，第一问为基础考查，第二问需要学生先枚举符合条件的整数点，再通过转化xy和a的大小关系确定取值范围，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

5 思想方法 函数与方程思想[难]如图(1),反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$A(2\sqrt{3},1)$,射线AB与反比例函数图象交于另一点$B(1,a)$,射线AC与y轴交于点C,$∠BAC=75°$,$AD⊥y$轴,垂足为D.
(1)求k和a的值;
(2)求直线AC的表达式;
(3)如图(2),M是线段AC上方反比例函数图象上一动点,过M作直线$l⊥x$轴,与AC相交于N,连接CM,求$△CMN$面积的最大值.

5. 解:(1)将点$A(2\sqrt{3},1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$,得$k=2\sqrt{3}×1=2\sqrt{3}$,所以反比例函数的表达式为$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}$.把$B(1,a)$代入$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}$,得$a=2\sqrt{3}$.
(2)
∵$AD⊥y$轴,
∴$AD=2\sqrt{3}$,$OD=1$.在Rt△ABD中,$∠BAD=45°$,
∵$∠BAC=75°$,
∴$∠DAC=75°-45°=30°$,
∴$tan∠DAC=\frac{CD}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴$CD=2$,
∴$OC=OD-CD=1-2=-1$,
∴点C坐标为$(0,-1)$.把$A(2\sqrt{3},1)$,$C(0,-1)$代入可得$\begin{cases}2\sqrt{3}m+b=1,\\b=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\frac{\sqrt{3}}{3},\\b=-1,\end{cases}$
∴直线AC的表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-1$.
(3)设M点坐标为$(t,\frac{2\sqrt{3}}{t})(0＜t＜2\sqrt{3})$.
∵直线$l⊥x$轴,与AC相交于点N,
∴N点坐标为$(t,\frac{\sqrt{3}}{3}t-1)$,
∴$MN=\frac{2\sqrt{3}}{t}-(\frac{\sqrt{3}}{3}t-1)=\frac{2\sqrt{3}}{t}-\frac{\sqrt{3}}{3}t+1$,
∴$S_{△CMN}=\frac{1}{2}t·(\frac{2\sqrt{3}}{t}-\frac{\sqrt{3}}{3}t+1)=-\frac{\sqrt{3}}{6}t^2+\frac{1}{2}t+\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{6}(t-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{9\sqrt{3}}{8}$,
∴当$t=\frac{\sqrt{3}}{2}$时,$S_{△CMN}$有最大值,最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{8}$.

【分析】
(1) 求反比例函数的$k$值，直接将已知点$A$的坐标代入反比例函数解析式即可；得到反比例函数解析式后，将点$B$的横坐标代入即可求出$a$的值。
(2) 求直线$AC$的表达式需要先确定点$C$的坐标：首先由$AD⊥ y$轴可得$AD$的长度，结合点$A$、$B$的坐标可推出$∠ BAD=45°$，结合已知$∠ BAC=75°$，可求出$∠ DAC=30°$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中利用三角函数求出$CD$的长度，进而得到点$C$的坐标，再用待定系数法即可求出直线$AC$的解析式。
(3) 设出点$M$的横坐标为$t$，根据直线$l⊥ x$轴可知点$N$的横坐标也为$t$，分别用含$t$的式子表示$M$、$N$的纵坐标，得到$MN$的长度表达式；$△ CMN$的高等于点$M$的横坐标$t$，结合三角形面积公式得到面积关于$t$的二次函数，配方后即可求出面积的最大值。
【解析】
(1) 将点$A(2\sqrt{3},1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$，得：
$k=2\sqrt{3}×1=2\sqrt{3}$，
∴反比例函数的表达式为$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}$。
把$B(1,a)$代入$y=\frac{2\sqrt{3}}{x}$，得：
$a=\frac{2\sqrt{3}}{1}=2\sqrt{3}$。
(2)
∵$AD⊥ y$轴，$A(2\sqrt{3},1)$，
∴$AD=2\sqrt{3}$，$D(0,1)$，即$OD=1$。
由$B(1,2\sqrt{3})$、$A(2\sqrt{3},1)$可知，点$B$到$AD$的竖直距离与水平距离相等，故$∠ BAD=45°$，
∵$∠ BAC=75°$，
∴$∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD=75°-45°=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan∠ DAC=\frac{CD}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$CD=AD×\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$，
∵点$C$在$D$的下方，
∴$OC=CD-OD=2-1=1$，点$C$坐标为$(0,-1)$。
设直线$AC$的表达式为$y=mx+b$，将$A(2\sqrt{3},1)$、$C(0,-1)$代入得：
$\begin{cases}2\sqrt{3}m+b=1\\b=-1\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{\sqrt{3}}{3}\\b=-1\end{cases}$
∴直线$AC$的表达式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-1$。
(3) 设$M$点坐标为$(t,\frac{2\sqrt{3}}{t})(0＜t＜2\sqrt{3})$，
∵直线$l⊥ x$轴，与$AC$相交于点$N$，
∴$N$点横坐标为$t$，代入直线$AC$解析式得$N$点坐标为$(t,\frac{\sqrt{3}}{3}t-1)$，
∴$MN=\frac{2\sqrt{3}}{t}-(\frac{\sqrt{3}}{3}t-1)=\frac{2\sqrt{3}}{t}-\frac{\sqrt{3}}{3}t+1$，
$△ CMN$中，$MN$边上的高等于点$M$的横坐标$t$，
∴$S_{△ CMN}=\frac{1}{2}× t×(\frac{2\sqrt{3}}{t}-\frac{\sqrt{3}}{3}t+1)$
$=-\frac{\sqrt{3}}{6}t^2+\frac{1}{2}t+\sqrt{3}$
$=-\frac{\sqrt{3}}{6}(t-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+\frac{9\sqrt{3}}{8}$，
∵$-\frac{\sqrt{3}}{6}＜0$，二次函数开口向下，
∴当$t=\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$S_{△ CMN}$有最大值，最大值为$\frac{9\sqrt{3}}{8}$。
【答案】
(1) $k=2\sqrt{3}$，$a=2\sqrt{3}$；
(2) 直线$AC$的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-1}$；
(3) $△ CMN$面积的最大值为$\boldsymbol{\frac{9\sqrt{3}}{8}}$。
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值
【点评】
本题是反比例函数综合题，结合了三角函数、一次函数、二次函数的相关知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，学会用坐标表示线段长度，能通过配方求解二次函数的最值，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3