1 新考向传统文化 [2025 天津南开区期末,中]我国古代数学著作《周髀算经》中提到,冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气中,在同一地点测量每个节气正午时同一根杆的日影长,发现每个节气与它后一个节气的日影长的差近似为定值.若这个定值为 $ d $ 尺(这里的尺是我国古代长度单位),立春当日的日影长为 10.5 尺,则在下列对于立夏当日的日影长(单位:尺)的近似值的代数式、此代数式的一次项系数和常数项的判断中,都正确的是 ()

A.$(6d+10.5),6,10.5$
B.$(-6d+10.5),-6,10.5$
C.$(6d-10.5),6,10.5$
D.$(-6d-10.5),6,-10.5$

1.B 【解析】从立春到立夏要经过雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨这5个节气,由于每个节气与它后一个节气的日影长的差为d尺,故立夏当日的日影长为$(10.5-6d)$尺,代数式$10.5-6d$的一次项系数和常数项分别为-6,10.5,故选B.

2[2026江苏宿迁期中,中]规定:对于两个一元多项式(含字母$x$)来说,当$x$任取一个数时,这两个多项式的值都相等,那么就称这两个一元多项式是恒等的.例如:如果两个一元多项式$x+2$与$ax+b$($a,b$是常数)是恒等的,那么$a=1,b=2$.若$-2x^3+ax^2-4x+b$($a,b$是常数)与$cx^3+dx+1$($c,d$是常数)恒等,则$a+b+c+d=$.

2.-5 【解析】因为$-2x^3+ax^2-4x+b$(a,b是常数)与$cx^3+dx+1$(c,d是常数)恒等,所以$c=-2,d=-4,a=0,b=1$,所以$a+b+c+d=0+1-2-4=-5$. 故答案为-5.

3[2026浙江杭州期末,中]已知$(m-3)x^{|m|}+3x^2-(n-4)x+m+n$是关于$x$的多项式，其中$m,n$为整数，且$|m|＞2$.
(1)若该多项式是一个二次二项式，求$m+n$的值；
(2)若该多项式是一个三次三项式，求$m-n$的值；
(3)若该多项式是一个四次三项式，求$mn$的值.

3.【解】(1)若$(m-3)x^{|m|}+3x^2-(n-4)x+m+n$是一个二次二项式,$|m|＞2$,则$m-3=0,n-4=0$或$m-3=0,m+n=0$,解得$m=3,n=4$或$m=3,n=-3$,所以$m+n=3+4=7$或$m+n=0$.
(2)若$(m-3)x^{|m|}+3x^2-(n-4)x+m+n$是一个三次三项式,则$|m|=3,m-3≠0$,解得$m=-3$.
当$n-4=0$时,$n=4$,此时$m+n=1$,满足题意,则$m-n=-3-4=-7$;当$m+n=0$时,$n=3$,此时$n-4=-1$,满足题意,则$m-n=-3-3=-6$.
综上可知,$m-n$的值为-7或-6.
(3)若$(m-3)x^{|m|}+3x^2-(n-4)x+m+n$是一个四次三项式,则$|m|=4,m-3≠0,n-4=0$且$m+n≠0$,或$|m|=4,m-3≠0,m+n=0$且$n-4≠0$,所以易得$m=4,n=4$或$m=4,n=-4$,故$mn$的值为16或-16.

4[2025广东惠州期末,中]如图是一所住宅的建筑平面示意图(图中长度单位:m),请回答下列问题:
(1)用含x的式子表示这所住宅的建筑面积(结果化成最简形式).
(2)上面的式子是多项式吗?如果是,它是几次几项式?它的二次项系数、一次项分别是什么?
(3)当x=3时,求这所住宅的建筑面积.

@刷素养 走向重高

4.【解】(1)根据题意可得$x^2+2x+4×3+3×2=x^2+2x+18$. 故这所住宅的建筑面积为$(x^2+2x+18)\mathrm{m}^2$.
(2)$x^2+2x+18$是多项式,是二次三项式,二次项系数是1,一次项是$2x$.
(3)当$x=3$时,$x^2+2x+18=3^2+2×3+18=9+6+18=33$. 故当$x=3$时,这所住宅的建筑面积是$33\ \mathrm{m}^2$.

5 核心素养运算能力[2025浙江温州期末,较难]定义:若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍,则称这个多项式为“青一多项式”,称这个多项式的各项系数之和为“青一和”.例如:多项式$20x+8y$的各项系数和为$20+8=28=7×4$,所以多项式$20x+8y$是“青一多项式”,它的“青一和”为28.请根据这个定义解答下列问题:
(1)在下列多项式中,属于“青一多项式”的是.(在横线上填写序号)
①$2x^2 -9x$;②$3a+5b$;③$19x^2 -4x +2y -3x$.
(2)若关于x的“青一多项式”$abx^2 -3x$的“青一和”为7,且a,b均为正整数,求$a+b$的值.
(3)若多项式$4mx -ny$是关于x,y的“青一多项式”(其中m,n均为整数),则多项式$2mx +3ny$也是关于x,y的“青一多项式”吗?若是,请说明理由;若不是,请举出反例.

5.【解】(1)因为$2+(-9)=-7=7×(-1)$,所以$2x^2-9x$属于“青一多项式”. 因为$3+5=8≠7k$(k为非零整数),所以$3a+5b$不属于“青一多项式”. 因为$19-4+2-3=14=7×2$,所以$19x^2-4x+2y-3x$属于“青一多项式”. 故属于“青一多项式”的是①③,故答案为①③.
(2)因为关于x的“青一多项式”$abx^2-3x$的“青一和”为7,所以$ab-3=7$,即$ab=10$. 因为a,b均为正整数,所以①$a=2,b=5$或$a=5,b=2$,此时$a+b=7$;②$a=1,b=10$或$a=10,b=1$,此时$a+b=11$. 综上,$a+b$的值为7或11.
(3)是. 理由如下:因为多项式$4mx-ny$是关于x,y的“青一多项式”,所以$4m-n=7k$(k为非零整数),所以$n=4m-7k$,所以$2m+3n=2m+3(4m-7k)=14m-21k=7(2m-3k)$,所以$2m+3n$是7的整数倍,所以多项式$2mx+3ny$也是关于x,y的“青一多项式”.