1 [2024 江苏南通中考]如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC=5$.正方形$DEFG$的边长为$\sqrt{5}$,它的顶点$D,E,G$分别在$△ ABC$的边上,则$BG$的长为.

1. $3\sqrt{2}$ 【解析】如图,过点 G 作 $GH ⊥ AC$ 于 H, 则 $∠ AHG = ∠ GHD = 90°$, $\therefore ∠ DGH + ∠ HDG = 90°$. $\because ∠ ACB = 90°$, $AC=BC=5$, $\therefore AB=5\sqrt{2}$, $∠ A = ∠ B = 45°$, $\therefore ∠ AGH = 45° = ∠ A$, $\therefore AH=HG$. 设 $AH=HG=x$, 则 $CH=AC-AH=5-x$. $\because$ 正方形 $DEFG$ 中, $DG = DE$, $∠ GDE = 90°$, $\therefore ∠ HDG+∠ CDE = 90°$, $\therefore ∠ HGD = ∠ CDE$. $\because ∠ C = ∠ GHD = 90°$, $\therefore △ GHD ≌ △ DCE$, $\therefore CD = GH = x$, $\therefore DH=CH-CD=5-2x$. 在 $\mathrm{Rt}△ GHD$ 中, 由勾股定理得 $GD^2 = DH^2+GH^2$, $\therefore (\sqrt{5})^2 = (5-2x)^2 +x^2$, $\therefore x=2$, $\therefore AH=2$, $CH=3$. $\because ∠ C = ∠ AHG = 90°$, $\therefore HG// BC$, $\therefore \frac{AG}{BG}=\frac{AH}{CH}=\frac{2}{3}$, $\therefore BG=\frac{3}{5}AB=\frac{3}{5}×5\sqrt{2}=3\sqrt{2}$. 故答案为 $3\sqrt{2}$.

2 [2025甘肃兰州中考]如图,黄金矩形ABCD中
$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,以宽AB为边在其内部作正方形ABFE,得到四边形CDEF是黄金矩形.依此作法,四边形DEGH,四边形KEGL也是黄金矩形.
依次以点E,G,L为圆心作$\overset{\frown}{AF}$,$\overset{\frown}{FH}$,$\overset{\frown}{HK}$,曲线AFHK叫作“黄金螺线”.若AD=2,则“黄金螺线”AFHK的长为.(结果用π表示)

(第2题图)
(第3题图)

2. $(\sqrt{5}-1)π$ 【解析】$\because \frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, 且 $AD=2$, $\therefore AB=\sqrt{5}-1$. $\because$ 四边形 $ABFE$ 是正方形, $\therefore AE=EF=BF=AB=\sqrt{5}-1$, $\therefore$ 易知 $FC=ED=2-(\sqrt{5}-1)=3-\sqrt{5}$. 由题意得, 四边形 $FGHC$ 是正方形, $\therefore GF=GH=HC=FC=3-\sqrt{5}$. $\because CD=AB=\sqrt{5}-1$, $\therefore HD=CD-CH=(\sqrt{5}-1)-(3-\sqrt{5})=2\sqrt{5}-4$. $\because$ 四边形 $LKDH$ 是正方形, $\therefore LH=HD=2\sqrt{5}-4$, $\therefore$ “黄金螺线” $AFHK$ 的长为 $\frac{90π · AE}{180}+\frac{90π · GH}{180}+\frac{90π · LH}{180}=\frac{1}{2}π(AE+GH+LH)=\frac{1}{2}π · (AE+ED+LH)=\frac{1}{2}π(AD+LH)=\frac{1}{2}π · (2+2\sqrt{5}-4)=(\sqrt{5}-1)π$, 故答案为 $(\sqrt{5}-1)π$.
关键点拨
根据黄金矩形的定义求出 $AB$ 的长, 并熟练运用弧长公式是解题的关键.

3[2025河北中考]如图,在五边形ABCDE中,AE//BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M,N.若添加下列一个条件后,仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是 ()

A.∠B+∠4=180°
B.CD//AB
C.∠1=∠4
D.∠2=∠3

3. D 【解析】
|选项|分析|
| ---- | ---- |
|A|$\because ∠ B+∠ 4=180°, \therefore CD// BM, \therefore ∠ CDN=∠ AME. \because AE// BC, \therefore ∠ AEM=∠ CND, \therefore △ MAE ∽ △ DCN$, 故A不符合题意|
|B|$\because CD// AB, \therefore ∠ CDN=∠ AME. \because AE// BC, \therefore ∠ AEM=∠ CND, \therefore △ MAE ∽ △ DCN$, 故B不符合题意|
|C|$\because AE// BC, \therefore ∠ 1+∠ B=180°. \because ∠ 1=∠ 4, \therefore ∠ B+∠ 4=180°$. 由A可知 $△ MAE ∽ △ DCN$, 故C不符合题意|
|D|根据 $∠ 2=∠ 3$, 再结合已知条件不能证明 $△ MAE ∽ △ DCN$, 故D符合题意|
故选 D.

4[2025吉林长春中考]将直角三角形纸片ABC(∠C=90°)按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是
（）


A.$MN// DE// PQ$
B.$BC=2DE=4MN$
C.$AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$
D.$\frac{MN}{DE}=\frac{DE}{PQ}=\frac{PQ}{BC}$

4. D 【解析】由折叠可得 $DE ⊥ AC, PQ ⊥ AC, MN ⊥ AC, AM=MD=DP=PC, \therefore MN// DE// PQ// BC$, 故 A 正确, 不符合题意; $\therefore △ ADE ∽ △ ACB ∽ △ AMN$, $\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}, \frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}, \therefore BC=2DE, DE=2MN, \therefore BC=4MN, \therefore BC=2DE=4MN$, 故 B 正确, 不符合题意; $\because MN// PQ// BC, \therefore \frac{PC}{AC}=\frac{BQ}{AB}=\frac{1}{4}, \frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}=\frac{1}{4}, \frac{PM}{AC}=\frac{QN}{AB}=\frac{1}{2}, \therefore BQ=AN=\frac{1}{4}AB, QN=\frac{1}{2}AB, \therefore AN=BQ=\frac{1}{2}NQ$, 故 C 正确, 不符合题意; $\because △ ADE ∽ △ ACB ∽ △ AMN ∽ △ APQ, \therefore \frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{2}, \frac{DE}{PQ}=\frac{AD}{AP}=\frac{2}{3}, \frac{PQ}{BC}=\frac{AP}{AC}=\frac{3}{4}, \therefore \frac{MN}{DE} ≠ \frac{DE}{PQ} ≠ \frac{PQ}{BC}$, 故 D 错误, 符合题意, 故选 D.

5[2025上海中考]如图,已知AB,CD为$\odot O$中的两弦,连结OA,OB交弦CD于点E,F,且$CE=DF$.
(1)求证:$AB// CD$;
(2)如果$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}$,求证:$AB^2=BF· OB$.

5.【证明】(1)如图(1)所示,连结 $OC,OD$. $\because OC=OD$, $\therefore ∠ OCD = ∠ ODC$. 在 $△ OCE$ 和 $△ ODF$ 中,
$\begin{cases}OC=OD, \\∠ OCE=∠ ODF, \\CE=DF,\end{cases}$
$\therefore △ OCE ≌ △ ODF \ (\mathrm{SAS})$,
$\therefore OE=OF$. $\because OA=OB, \therefore \frac{OE}{OA}=\frac{OF}{OB}$. 又 $\because ∠ EOF = ∠ AOB, \therefore △ OEF ∽ △ OAB, \therefore ∠ OEF = ∠ OAB$, $\therefore AB// CD$.
(2)如图(2)所示,连结 $OD,BD$. $\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BD}, \therefore ∠ AOB=∠ BOD, AB=BD$. 又 $\because OA=OB=OD, \therefore △ AOB ≌ △ BOD(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ OBD = ∠ OAB$. 由(1)可得 $AB// CD, \therefore ∠ OFE = ∠ OBA. \because ∠ OFE = ∠ BFD, \therefore ∠ OBA = ∠ BFD, \therefore △ OAB ∽ △ DBF, \therefore \frac{OB}{DF}=\frac{AB}{BF}, \therefore AB · DF = OB · BF. \because OA=OB, \therefore ∠ OAB = ∠ OBA, \therefore ∠ DFB = ∠ DBF, \therefore BD=DF, \therefore DF=AB, \therefore AB^2 = OB · BF$.

6[2024江苏镇江中考]如图,小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处,他在灯光下的影长CD=3米,然后他转身按原路返回到点B处,返回过程中小杰在灯光下的影长可以是 ()

A.4.5米
B.4米
C.3.5米
D.2.5米

(第6题图)
(第7题图)

6. D 【解析】如图, 设返回过程中小杰身高为 $FH$, 连结 $AF$ 并延长交 $BC$ 于点 $G$. 根据题意得 $CE// FH// AB, \therefore △ DCE ∽ △ DBA, △ GHF ∽ △ GBA$, $\therefore \frac{CE}{AB}=\frac{CD}{BD}, \frac{FH}{AB}=\frac{GH}{GB}. \because CE=FH, \therefore \frac{CD}{BD}=\frac{GH}{GB}. \because BD＞GB, \therefore CD＞GH. \because CD=3$ 米, $\therefore GH＜3$ 米, $\therefore$ 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是 2.5 米. 故选 D.

7[2024江苏扬州中考]物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图,燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.设AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A'B'的距离为 cm.

7. 20 【解析】设小孔 $O$ 到 $A'B'$ 的距离为 $x$ cm. $\because AB// A'B', \therefore △ AOB ∽ △ A'OB'. \because$ 相似三角形对应高的比等于相似比, $\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{30}{x}$, 即 $\frac{36}{24}=\frac{30}{x}$, $\therefore x=20, \therefore$ 小孔 $O$ 到 $A'B'$ 的距离为 20 cm, 故答案为 20.
关键点拨
掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解题关键.