约瑟夫问题与因式分解
有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令他们排成一圈，编上号码1,2,3,…,64.敌人把1号处死了，又把3号处死了，这样隔一个处死一个，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号？
这就是数学上有名的“约瑟夫问题”.给大家一个提示，敌人从1号开始，隔一个处死一个，第一圈把奇数号码的战士全部处死了.剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈处死的是重新编排的奇数号码.按照这个思路，看看你能不能解决这个问题.
【答案:由于第一圈剩下的全部是偶数号2,4,6,8,…,64.把它们全部除以2,得1,2,3,4,…,32,这是第二圈重新编的号码.第二圈过后,还剩下16个人.如此下去,可以想到最后剩下的必然是64号.
因为64=2×2×2×2×2×2,它可以连续被2整除6次,是从1到64中质因数里2最多的数,因此,最后必然把64号剩下,即约瑟夫是64号.】

解：
第一圈将所有奇数号战士处死，剩余的战士编号为2,4,6,…,64，共32名，将这些编号都除以2，得到第二圈的新编号1,2,3,…,32。
第二圈处死新编号中的所有奇数号，剩余16名战士，对应原编号为4,8,12,…,64，将这些编号都除以4，得到第三圈的新编号1,2,3,…,16。
第三圈处死新编号中的所有奇数号，剩余8名战士，对应原编号为8,16,24,…,64，将这些编号都除以8，得到第四圈的新编号1,2,3,…,8。
第四圈处死新编号中的所有奇数号，剩余4名战士，对应原编号为16,32,48,64，将这些编号都除以16，得到第五圈的新编号1,2,3,4。
第五圈处死新编号中的所有奇数号，剩余2名战士，对应原编号为32,64，将这些编号都除以32，得到第六圈的新编号1,2。
最后处死新编号1对应的原编号32，仅剩64号。
将64分解质因数可得$64=2×2×2×2×2×2=2^6$，它是1~64中质因数里2的次数最高的数，因此最终剩余的就是64号。
答：约瑟夫是64号。