新考向 综合与实践（一） 池塘不可达距离的测量方案设计
项目主题 池塘不可达距离的测量方案设计
项目背景 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A,B两点间的距离(AB无法直接测量).如图①，现提供皮尺(量程30 m)、测角仪等工具，要求设计几何测量方案.
实践操作 方案一(帽檐观测法)
1.如图②，在点B附近选取观测点C，使A,B,C三点共线；
2.调整帽子帽檐(D)，使视线通过帽檐上沿恰好对准点A；(忽略眼睛与帽檐的距离)
3.保持头部姿势不变，原地旋转$180°$，此时视线通过帽檐上沿落在点E处；
4.用皮尺测得$CE=a$ m，$BC=b$ m.
问题解决 (1)根据方案一，求A,B两点间的距离AB.
(2)设计一个与方案一不同的测量方案，在图③中绘制几何图形，标明需测量的数据，并推导AB的表达式.

(1)在$△ ADC$ 和$△ EDC$ 中，$\because \begin{cases} ∠ ADC=∠ EDC, \\ DC=DC, \\ ∠ ACD=∠ ECD=90°, \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌ △ EDC,(ASA)$
$\therefore AC=EC=a\ \mathrm{m}.$
$\because BC=b\ \mathrm{m},$
$\therefore AB=AC-BC=(a-b)\mathrm{m}.$
(2)如图③，在池塘外取一点 $M$，连接 $AM,BM$，延长 $AM$ 到点$D$,使 $MD=AM$,延长 $BM$ 到点 $E$,使 $ME=BM$,测量 $DE$ 的长.
在$△ ABM$ 和$△ DEM$ 中，$\because \begin{cases} AM=DM, \\ ∠ AMB=∠ DME, \\ BM=EM, \end{cases}$
$\therefore △ ABM≌ △ DEM,(SAS)$
$\therefore AB=DE.$

【分析】
(1) 第一问先梳理方案一的隐含条件：头部旋转180°时视线角度不变，可得∠ADC=∠EDC；观测者站立与地面垂直，故∠ACD=∠ECD=90°，DC为公共边，可通过ASA判定△ADC与△EDC全等，得到AC=CE，再结合A、B、C共线，用AC减去BC即可求出AB。
(2) 第二问核心思路是构造全等三角形，将不可直接测量的AB转化为可测量的线段。可在池塘外选取公共顶点构造对顶角，通过两边对应相等加对顶角相等的SAS判定构造全等三角形，即可将AB转化为易测量的线段求解。
【解析】
(1) 在$△ ADC$ 和$△ EDC$ 中，$\because \begin{cases} ∠ ADC=∠ EDC, \\ DC=DC, \\ ∠ ACD=∠ ECD=90°, \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌ △ EDC,(\mathrm{ASA})$
$\therefore AC=EC=a\ \mathrm{m}.$
$\because BC=b\ \mathrm{m},$
$\therefore AB=AC-BC=(a-b)\mathrm{m}.$
(2) 测量方案：如图③，在池塘外取一点 $M$，连接 $AM,BM$，延长 $AM$ 到点$D$,使 $MD=AM$,延长 $BM$ 到点 $E$,使 $ME=BM$,测量 $DE$ 的长。
推导：在$△ ABM$ 和$△ DEM$ 中，$\because \begin{cases} AM=DM, \\ ∠ AMB=∠ DME, \\ BM=EM, \end{cases}$
$\therefore △ ABM≌ △ DEM,(\mathrm{SAS})$
$\therefore AB=DE.$
【答案】
(1) $AB=(a-b)\mathrm{m}$
(2) 测量方案及推导如上，测量示意图：

【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、实际距离测量
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的应用，既需要学生从题目描述中提取几何条件证明全等，也需要学生自主设计测量方案，能够锻炼学生的知识迁移能力和实践应用能力。
【难度系数】
0.7