2026年状元成才路创优作业八年级数学上册沪科版安徽专版第82页答案

5.[一题多解]如图，$AE ⊥ BE$，$AE$和$BE$分别平分$∠ CAB$和$∠ DBA$，且$CD$经过点$E$.求证：$AB=AC+BD$.(用两种方法证明)

答案

证法1(截长法):如图①,在 AB 上截取 $AF=AC$,连接 EF.

$\because AE$ 平分$∠ CAB$,
$\therefore ∠ CAE=∠ FAE$.
在$△ CAE$ 和$△ FAE$ 中,
$\because \begin{cases}AC=AF,\\∠ CAE=∠ FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ CAE≌△ FAE.(SAS)$
$\therefore ∠ CEA=∠ FEA$.
$\because AE⊥ BE,\therefore ∠ CEA+∠ DEB=∠ FEA+∠ FEB=90°$.
$\therefore ∠ DEB=∠ FEB$.
$\because BE$ 平分$∠ DBA,\therefore ∠ DBE=∠ FBE$.
在$△ DEB$ 和$△ FEB$ 中,$\because \begin{cases}∠ DEB=∠ FEB,\\BE=BE,\\∠ DBE=∠ FBE,\end{cases}$
$\therefore △ DEB≌△ FEB.(ASA)$
$\therefore BD=BF.\therefore AB=AF+BF=AC+BD$.
证法2(补短法):如图②,延长 AC 至点 F,使 $AF=AB$,连接 EF.

解析

【分析】
要证明AB=AC+BD这类线段和的结论，通常采用截长补短法构造全等三角形推导：①截长法：在较长线段AB上截取一段等于其中一条短线段AC，再证明剩余线段等于另一条短线段BD；②补短法：延长较短线段AC，使延长后的总长度等于AB，再证明延长部分等于BD。两种方法都可结合角平分线的性质、垂直的条件，通过证明三角形全等得到对应边相等，最终推导出结论。
【解析】
证法1（截长法）：
如图①，在AB上截取$AF=AC$，连接EF。
$\because AE$平分$∠ CAB$，
$\therefore ∠ CAE=∠ FAE$。
在$△ CAE$和$△ FAE$中，
$\because \begin{cases}AC=AF,\\∠ CAE=∠ FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ CAE≌△ FAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ CEA=∠ FEA$。
$\because AE⊥ BE$，$\therefore ∠ CEA+∠ DEB=∠ FEA+∠ FEB=90°$，
$\therefore ∠ DEB=∠ FEB$。
$\because BE$平分$∠ DBA$，$\therefore ∠ DBE=∠ FBE$。
在$△ DEB$和$△ FEB$中，
$\because \begin{cases}∠ DEB=∠ FEB,\\BE=BE,\\∠ DBE=∠ FBE,\end{cases}$
$\therefore △ DEB≌△ FEB(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BD=BF$，
$\therefore AB=AF+BF=AC+BD$。
证法2（补短法）：
如图②，延长AC至点F，使$AF=AB$，连接EF。
$\because AE$平分$∠ CAB$，
$\therefore ∠ FAE=∠ BAE$。
在$△ FAE$和$△ BAE$中，
$\because \begin{cases}AF=AB,\\∠ FAE=∠ BAE,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ FAE≌△ BAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ F=∠ ABE$，$∠ AEF=∠ AEB$，$FE=BE$。
$\because AE⊥ BE$，$\therefore ∠ AEF=∠ AEB=90°$，
$\therefore ∠ AEF+∠ AEB=180°$，
$\therefore$点F,E,B在一条直线上，
$\therefore ∠ FEC=∠ BED$。
$\because BE$平分$∠ DBA$，$\therefore ∠ DBE=∠ ABE=∠ F$。
在$△ FEC$和$△ BED$中，
$\because \begin{cases}∠ F=∠ DBE,\\FE=BE,\\∠ FEC=∠ BED,\end{cases}$
$\therefore △ FEC≌△ BED(\mathrm{ASA})$，
$\therefore FC=BD$，
$\therefore AB=AF=AC+FC=AC+BD$。
【答案】
证法1(截长法):如图①,在 AB 上截取 $AF=AC$,连接 EF.

$\because AE$ 平分$∠ CAB$,
$\therefore ∠ FAE=∠ BAE$.
在$△ FAE$ 和$△ BAE$ 中,
$\because \begin{cases}AF=AB,\\∠ FAE=∠ BAE,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ FAE≌△ BAE.(SAS)$
$\therefore ∠ F=∠ ABE,∠ AEF=∠ AEB,FE=BE$.
$\because AE⊥ BE,\therefore ∠ AEF=∠ AEB=90°$,
$\therefore ∠ AEF+∠ AEB=180°$,
$\therefore$ 点 F,E,B 在一条直线上,
$\therefore ∠ FEC=∠ BED$.
$\because BE$ 平分$∠ DBA,\therefore ∠ DBE=∠ ABE=∠ F$.
在$△ FEC$ 和$△ BED$ 中,$\because \begin{cases}∠ F=∠ DBE,\\FE=BE,\\∠ FEC=∠ BED,\end{cases}$
$\therefore △ FEC≌△ BED.(ASA)$
$\therefore FC=BD.\therefore AB=AF=AC+FC=AC+BD$.
【知识点】
1.全等三角形的判定与性质 2.角平分线的定义 3.截长补短法
【点评】
本题是几何中证明线段和差关系的典型题型，核心考查截长、补短两种辅助线的构造思路，结合已知的角平分线、垂直条件即可找到全等三角形的判定条件，能有效锻炼几何逻辑推理和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7

6.如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,$∠ 1=∠ 2$,$P$为$AD$上任意一点.求证:$AB-AC＞PB-PC$.

答案

证明:如图,在 AB 上取一点 E,使 $AE=AC$,连接 PE.

解析

【分析】
要证明$AB-AC＞PB-PC$这类线段不等关系，可利用三角形三边关系“任意两边之差小于第三边”推导。已知$∠1=∠2$，AD为角平分线，且$AB＞AC$，可采用截长法：在较长的AB上截取$AE=AC$，构造全等三角形，将AC转化为AE、PC转化为PE，此时$AB-AC$可转化为BE，待证式转化为$BE＞PB-PE$，即可在$△ PBE$中利用三边关系证明。
【解析】
1. 作辅助线：在AB上取点E，使$AE=AC$，连接PE。
2. 证明三角形全等：在$△ AEP$和$△ ACP$中，$\begin{cases}AE=AC（所作辅助线）\\∠ 1=∠ 2（已知）\\AP=AP（公共边）\end{cases}$，根据SAS判定定理，可得$△ AEP≌△ ACP$。
3. 等量转换：由全等三角形的性质，得$PE=PC$。
4. 利用三角形三边关系推导：在$△ PBE$中，根据三角形任意两边之差小于第三边，可得$BE＞PB-PE$。又因为$BE=AB-AE=AB-AC$，将$PE$替换为$PC$，即可得到$AB-AC＞PB-PC$。
【答案】
证明:如图,在 AB 上取一点 E,使 $AE=AC$,连接 PE.

在$△ AEP$ 和$△ ACP$ 中,$\because \begin{cases}AE=AC,\\∠ 1=∠ 2,\\AP=AP,\end{cases}$
$\therefore △ AEP≌△ ACP.(SAS)$
$\therefore PE=PC$.
在$△ PBE$ 中,$BE＞PB-PE$,而 $BE=AB-AE=AB-AC$,
$\therefore AB-AC＞PB-PC$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形三边关系；截长补短构造全等
【点评】
本题是构造全等三角形证明线段不等关系的典型习题，通过截长法构造全等实现线段的等量转换，将分散的待证线段集中到同一个三角形中，结合三角形三边关系即可完成证明，解题核心是合理构造辅助线转化线段。
【难度系数】
0.6

7.如图，$AC=AE$，$AD=AB$，$∠ ACB=∠ DAB=90°$，$AE// BC$，$AC$，$DE$交于点$F$.求证：$BC=2AF$.

答案

证明:如图,过点 D 作 $DG⊥ AC$ 的延长线于点 G,

解析

【分析】
要证明$BC=2AF$，需建立$AF$与$BC$的数量关系，可通过构造全等三角形转化线段长度。首先过点$D$作$DG⊥AC$的延长线于点$G$：第一步利用同角的余角相等推导角相等，结合已知边相等证明$△ ADG$和$△ BAC$全等，得到$AG=BC$、$DG=AC$；再结合$AC=AE$推出$DG=AE$，接着由$AE// BC$推导角相等，证明$△ AEF$和$△ GDF$全等，得到$AF=GF$即$AG=2AF$，最后通过等量代换即可得证结论。
【解析】
证明:如图,过点 D 作 $DG⊥ AC$ 的延长线于点 G,

$\therefore ∠ AGD=∠ ACB=90°$.
$\therefore ∠ B+∠ CAB=90°$.
$\because ∠ DAB=90°,\therefore ∠ DAG+∠ CAB=90°,\therefore ∠ DAG=∠ B$.
在$△ ADG$ 和$△ BAC$ 中,$\because \begin{cases}∠ AGD=∠ BCA,\\∠ DAG=∠ B,\\AD=BA,\end{cases}$
$\therefore △ ADG≌△ BAC.(AAS)$
$\therefore DG=AC,AG=BC$.
$\because AC=AE,\therefore DG=AE$.
$\because AE// BC,\therefore ∠ EAF+∠ ACB=180°$,
$\therefore ∠ EAF=180°-∠ ACB=90°,\therefore ∠ EAF=∠ DGF$.
在$△ AEF$ 和$△ GDF$ 中,$\because \begin{cases}∠ EFA=∠ DFG,\\∠ EAF=∠ DGF,\\AE=GD,\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ GDF.(AAS)$
$\therefore AF=GF=\dfrac{1}{2}AG=\dfrac{1}{2}BC.\therefore BC=2AF$.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，辅助线构造法
【点评】
本题是构造全等三角形解决线段倍分问题的典型题型，核心是通过作垂线构造两组全等三角形，将待证的线段倍分关系转化为全等三角形对应边的等量关系，解题的关键是结合已知条件合理选择辅助线的作法，建立已知与待证结论的联系。
【难度系数】
0.5

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