9.已知三角形ABC的三边长a,b,c满足$(a - b)^2 + |b - c| = 0$，则$△ ABC$的形状是 （）

A.钝角三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.以上都不对

9.C

【分析】
解题时首先观察已知等式的特征：等式是平方与绝对值的和为0。我们学过平方数和绝对值都具有非负性（即取值≥0），根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。由此可以分别求出a与b、b与c的数量关系，进而得到三边的大小关系，最终判断三角形的形状。
【解析】
解：
∵ 任何数的平方都是非负数，绝对值也是非负数，
∴ $(a - b)^2 ≥ 0$，$|b - c| ≥ 0$，
又
∵ $(a - b)^2 + |b - c| = 0$，
∴ 只有当$(a - b)^2 = 0$且$|b - c| = 0$时，等式才成立，
即 $a - b = 0$，$b - c = 0$，
解得 $a = b$，$b = c$，
∴ $a = b = c$，
∴ △ABC是等边三角形。
【答案】
C
【知识点】
非负数的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题是基础类题型，将非负数的性质和三角形形状判定相结合，解题的核心是熟练掌握平方、绝对值的非负性，以及等边三角形的判定规则，只要牢记相关性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9

10.(易错题)若△ABC的三边a,b,c满足(a−b)(b−c)(c−a)=0,则△ABC是三角形。

10.等腰

【分析】
解题时先结合乘法的性质推导三角形三边的关系，再根据等腰三角形的定义判断形状。首先明确：若几个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0，由此可得到三边中至少存在一组边相等的结论；另外要注意等边三角形是特殊的等腰三角形，包含在等腰三角形的范畴内。
【解析】
解：
∵$(a-b)(b-c)(c-a)=0$
根据“几个因式的乘积为0时，至少有一个因式的值为0”，可得：
$a-b=0$ 或 $b-c=0$ 或 $c-a=0$
即 $a=b$ 或 $b=c$ 或 $c=a$
根据等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，可知$△ ABC$至少有两条边相等，因此$△ ABC$是等腰三角形。
（若三个因式同时为0即$a=b=c$，此时为等边三角形，属于特殊的等腰三角形，仍符合结论）
【答案】
等腰
【知识点】
1. 因式乘积为0的性质
2. 等腰三角形的定义
【点评】
本题为易错题，易错点是容易误认为只有三个因式都为0即三角形为等边三角形才符合条件，忽略了只要有一组边相等就满足要求，且等边属于特殊的等腰三角形，最终结论统一为等腰三角形即可。
【难度系数】
0.7

11.(发散思维)如图,过A,B,C,D,E五个点中任意三点,按下列要求画出三角形；
(1)画以AB为一边的三角形,可画个；
(2)画以C为顶点的三角形,可画个.

11.(1)3 (2)6

【分析】
(1) 要画出以AB为一边的三角形，根据三角形的构成要求，已确定两个顶点A、B，只需从剩余的C、D、E三个点中任选一个作为第三个顶点即可，每个点对应1个符合要求的三角形，按要求统计数量即可。
(2) 要画出以C为顶点的三角形，已确定顶点C，只需从剩余的A、B、D、E四个点中按顺序任选两个点作为另外两个顶点，本题中所有两点组合都不与C共线，都可以构成三角形，枚举所有组合统计数量即可。
【解析】
(1) 以AB为一边时，第三个顶点可选C、D、E，对应的三角形为△ABC、△ABD、△ABE，共3个。
(2) 以C为顶点时，另外两个顶点的组合有AB、AD、AE、BD、BE、DE，对应的三角形为△CAB、△CAD、△CAE、△CBD、△CBE、△CDE，共6个。
【答案】
(1)3 (2)6
【知识点】
三角形的概念、有序计数
【点评】
本题侧重考查三角形的基础概念，解题时按照固定顺序枚举即可避免漏数或重复计数，是基础的概念应用类题目。
【难度系数】
0.8

12.【方程思想】已知$△ ABC$的周长为45 cm.
(1)若$AB=AC=2BC$，求$BC$的长；
(2)若$AB:BC:AC=2:3:4$，求$△ ABC$三条边的长.

12.(1)由题意,得 AB+AC+BC=2BC+2BC+BC=45 cm,解得 BC=9 cm (2)设 AB=2x cm,则 BC=3x cm,AC=4x cm,由题意,得 2x+3x+4x=45,解得 x=5,故 2x=10,3x=15,4x=20.所以 AB=10 cm,BC=15 cm,AC=20 cm

【分析】
本题考查方程思想在三角形边长计算中的应用。（1）问中已知AB、AC与BC的倍数关系，可将AB、AC都用BC表示，再结合三角形周长等于三边之和的公式，列一元一次方程即可求解BC的长度；（2）问给出三边的长度比，可先设比例系数为x，用含x的代数式分别表示三条边的长度，代入周长公式列方程求出x的值，再进一步计算各边长度即可。
【解析】
（1）由题意可知，△ABC的周长为AB+AC+BC=45 cm，
已知AB=AC=2BC，将AB、AC代入周长公式可得：
2BC+2BC+BC=45 cm
合并同类项得5BC=45 cm，
解得BC=9 cm。
（2）已知AB:BC:AC=2:3:4，设AB=2x cm，BC=3x cm，AC=4x cm，
结合周长公式列方程得：
2x+3x+4x=45
合并同类项得9x=45，
解得x=5，
因此AB=2×5=10 cm，BC=3×5=15 cm，AC=4×5=20 cm。
【答案】
（1）BC的长为9 cm；（2）AB=10 cm，BC=15 cm，AC=20 cm
【知识点】
三角形周长计算，一元一次方程的应用，比例的应用
【点评】
本题属于几何计算的基础题型，核心是找准边长之间的数量关系，结合周长公式列方程求解，熟练掌握方程思想在几何问题中的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.9

13.(教材P4习题T5变式)两条平行直线上各有n个点,用这n对点按如下的规则连接线段:
①平行线之间的点在连线段时,可以有共同的端点,但不能有其他交点;②符合①要求的线段必须全部画出.图①展示了当n=1时的情况,此时图中三角形的个数为0;图②展示了当n=2时的一种情况,此时图中三角形的个数为2;
(1)当n=3时,请在图③中画出使三角形个数最少的图形,此时图中三角形的个数为;
(2)试猜想当有n对点时,按上述规则画出的图形中,最少有多少个三角形?
(3)当n=2 030时,按上述规则画出的图形中,最少有多少个三角形?

13.(1)画图答案不唯一,如图,图中共有4个三角形,故答案为4 (2)当有n对点时,最少可以画2(n-1)个三角形 (3)2×(2 030-1)=4 058(个).答:当n=2 030时,最少可以画4 058个三角形

【分析】
解决本题需从特殊值入手逐步推导规律：(1)要使n=3时三角形个数最少，连线时需遵循无交点的规则，尽量让新增连线仅产生最少的新三角形，结合n=1、n=2的情况推导n=3的结果；(2)观察n=1、n=2、n=3对应的三角形个数，归纳出n对点时最少三角形个数的通用表达式；(3)将n=2030代入通用表达式计算即可得到结果。
【解析】
(1)按照连线无交点、三角形最少的要求画图（画法不唯一），观察画出的图形，可数得三角形个数为4；
(2)观察已知数据：当n=1时，三角形个数为0=2×(1-1)；当n=2时，三角形个数为2=2×(2-1)；当n=3时，三角形个数为4=2×(3-1)，由此可归纳得出：当有n对点时，最少可以画2(n-1)个三角形；
(3)将n=2030代入表达式2(n-1)，得2×(2030-1)=2×2029=4058（个）。
【答案】
(1)画图答案不唯一，如图，图中共有4个三角形，故答案为4；(2)当有n对点时，最少可以画2(n-1)个三角形；(3)2×(2030-1)=4058(个)。答：当n=2030时，最少可以画4058个三角形。
【知识点】
图形规律探究，三角形的概念，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类题目，核心是从特殊情况出发总结通用规律，解题时要注意题目“三角形个数最少”的要求，连线时避免产生不必要的新三角形，这类问题能有效锻炼观察归纳能力。
【难度系数】
0.7