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1.(2025·大连期末)在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（
A.2 cm,3 cm,4 cm
B.3 cm,6 cm,6 cm
C.2 cm,4 cm,6 cm
D.5 cm,6 cm,7 cm
C
）A.2 cm,3 cm,4 cm
B.3 cm,6 cm,6 cm
C.2 cm,4 cm,6 cm
D.5 cm,6 cm,7 cm
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题核心是掌握三角形构成的条件：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，只需将三条线段中较短的两条长度相加，判断其和是否大于最长线段的长度即可：若和大于最长边，则可以组成三角形；若和小于或等于最长边，则不能组成三角形，接下来逐一验证各选项即可得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可采用简便判断方法：比较两条较短线段的长度和与最长线段的大小。
A选项：较短两边为2cm、3cm，2+3=5cm＞4cm，能组成三角形，不符合题意；
B选项：较短两边为3cm、6cm，3+6=9cm＞6cm，能组成三角形，不符合题意；
C选项：较短两边为2cm、4cm，2+4=6cm，与最长边6cm相等，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，符合题意；
D选项：较短两边为5cm、6cm，5+6=11cm＞7cm，能组成三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查三角形三边关系的实际应用，掌握“两短边之和大于最长边”的简便判断技巧，可快速得出结果，提升做题效率。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形三边关系的应用，解题核心是掌握三角形构成的条件：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，只需将三条线段中较短的两条长度相加，判断其和是否大于最长线段的长度即可：若和大于最长边，则可以组成三角形；若和小于或等于最长边，则不能组成三角形，接下来逐一验证各选项即可得到答案。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可采用简便判断方法：比较两条较短线段的长度和与最长线段的大小。
A选项：较短两边为2cm、3cm，2+3=5cm＞4cm，能组成三角形，不符合题意；
B选项：较短两边为3cm、6cm，3+6=9cm＞6cm，能组成三角形，不符合题意；
C选项：较短两边为2cm、4cm，2+4=6cm，与最长边6cm相等，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，符合题意；
D选项：较短两边为5cm、6cm，5+6=11cm＞7cm，能组成三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查三角形三边关系的实际应用，掌握“两短边之和大于最长边”的简便判断技巧，可快速得出结果，提升做题效率。
【难度系数】
0.9
2.(郸城期末)现有两根木条，它们的长分别是40 cm和50 cm，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，设第三根木条长为x cm，则（
A.$10＜x＜90$
B.$20＜x＜100$
C.$40＜x＜50$
D.$90＜x＜200$
A
）A.$10＜x＜90$
B.$20＜x＜100$
C.$40＜x＜50$
D.$90＜x＜200$
答案
2.A
解析
【分析】
要确定第三根木条的长度范围，需用到三角形三边关系定理。首先回忆三角形三边的要求：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根木条长度分别为40cm和50cm，第三根长度为x cm，我们只需将已知两边代入三边关系，分别求出x的上限和下限即可得到取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系：
① 第三边长度小于另外两边之和：$x ＜ 40 + 50$，即$x ＜ 90$；
② 第三边长度大于另外两边之差：$x ＞ 50 - 40$，即$x ＞ 10$。
综合可得$10 ＜ x ＜ 90$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心是对三角形三边关系的直接应用，解题时只要牢记三边关系的内容，准确计算两边的和与差，就能快速得出结果，注意不要混淆取值范围的上下限。
【难度系数】
0.9
要确定第三根木条的长度范围，需用到三角形三边关系定理。首先回忆三角形三边的要求：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根木条长度分别为40cm和50cm，第三根长度为x cm，我们只需将已知两边代入三边关系，分别求出x的上限和下限即可得到取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系：
① 第三边长度小于另外两边之和：$x ＜ 40 + 50$，即$x ＜ 90$；
② 第三边长度大于另外两边之差：$x ＞ 50 - 40$，即$x ＞ 10$。
综合可得$10 ＜ x ＜ 90$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心是对三角形三边关系的直接应用，解题时只要牢记三边关系的内容，准确计算两边的和与差，就能快速得出结果，注意不要混淆取值范围的上下限。
【难度系数】
0.9
3.(易错题)等腰三角形的一边长为6，另一边长为12，则其周长为
【变式】等腰三角形的一边长为9，另一边长为5，则其周长为
30
。【变式】等腰三角形的一边长为9，另一边长为5，则其周长为
19或23
。答案
3.30 【变式】19或23
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形两腰相等的性质，因此给出的两条边长均有可能作为腰长，需分两种情况讨论；其次要牢记三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，对每种情况的三边长进行验证，舍去无法构成三角形的情况，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
原题计算：
等腰三角形两腰长度相等，分两种情况讨论：
1. 若腰长为6，此时三边长为6、6、12，由于$6+6=12$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若腰长为12，此时三边长为12、12、6，$12+6＞12$，$12+12＞6$，满足三边关系，周长为$12+12+6=30$。
变式计算：
同样分两种情况讨论：
1. 若腰长为9，此时三边长为9、9、5，$9+5＞9$，满足三边关系，周长为$9+9+5=23$；
2. 若腰长为5，此时三边长为5、5、9，$5+5＞9$，满足三边关系，周长为$5+5+9=19$。
因此变式的周长为19或23。
【答案】
30；【变式】19或23
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的典型易错题，解题时需注意不仅要根据等腰三角形的性质分类讨论边长，还要用三角形三边关系验证取值的合理性，避免出现多解或错解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确等腰三角形两腰相等的性质，因此给出的两条边长均有可能作为腰长，需分两种情况讨论；其次要牢记三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，对每种情况的三边长进行验证，舍去无法构成三角形的情况，最后对符合条件的情况计算周长即可。
【解析】
原题计算：
等腰三角形两腰长度相等，分两种情况讨论：
1. 若腰长为6，此时三边长为6、6、12，由于$6+6=12$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若腰长为12，此时三边长为12、12、6，$12+6＞12$，$12+12＞6$，满足三边关系，周长为$12+12+6=30$。
变式计算：
同样分两种情况讨论：
1. 若腰长为9，此时三边长为9、9、5，$9+5＞9$，满足三边关系，周长为$9+9+5=23$；
2. 若腰长为5，此时三边长为5、5、9，$5+5＞9$，满足三边关系，周长为$5+5+9=19$。
因此变式的周长为19或23。
【答案】
30；【变式】19或23
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形周长计算的典型易错题，解题时需注意不仅要根据等腰三角形的性质分类讨论边长，还要用三角形三边关系验证取值的合理性，避免出现多解或错解。
【难度系数】
0.6
4.(教材P9习题T1变式)已知一个三角形一边的长为9 cm，另一边的长为3 cm，第三边的长为x cm.
(1)求x的取值范围；
(2)当第三边的长为偶数时，求该三角形的周长；
(3)若第三边是最长的边，写出x的取值范围.
(1)求x的取值范围；
(2)当第三边的长为偶数时，求该三角形的周长；
(3)若第三边是最长的边，写出x的取值范围.
答案
4.(1)
∵三角形的一边长为9 cm,另一边的长为3 cm,
∴9-3＜x＜9+3,即6＜x＜12 (2)
∵第三边的长为偶数,且6＜x＜12,
∴x=8或10,
∴三角形的周长为20 cm或22 cm (3)9≤x＜12
∵三角形的一边长为9 cm,另一边的长为3 cm,
∴9-3＜x＜9+3,即6＜x＜12 (2)
∵第三边的长为偶数,且6＜x＜12,
∴x=8或10,
∴三角形的周长为20 cm或22 cm (3)9≤x＜12
解析
【分析】
解题时围绕三角形三边关系展开：(1)首先回忆三角形三边满足“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，直接将已知的两边长代入即可求出x的取值范围；(2)在第一问得到的x的取值范围内，筛选出符合“偶数”条件的x值，再分别代入周长公式（三边之和）计算即可；(3)第三边是最长边，说明x要大于等于已知的较长边9cm，同时还要满足第一问得到的三边关系上限，结合两个条件即可得到对应取值范围。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为9cm和3cm，可得：
$9 - 3 ＜ x ＜ 9 + 3$
即x的取值范围为$6 ＜ x ＜ 12$。
(2)
∵x为偶数，且$6 ＜ x ＜ 12$，
∴x可取的值为8、10。
当$x=8$时，三角形周长为$9+3+8=20(\mathrm{cm})$；
当$x=10$时，三角形周长为$9+3+10=22(\mathrm{cm})$。
故三角形的周长为20cm或22cm。
(3)
∵第三边是最长的边，
∴$x\ge9$，
又结合三边关系的结论$x＜12$，
∴x的取值范围为$9\le x＜12$。
【答案】
(1) $6 ＜ x ＜ 12$
(2) $20\ \mathrm{cm}$或$22\ \mathrm{cm}$
(3) $9 \le x ＜ 12$
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算；不等式解集应用
【点评】
本题属于三角形三边关系的基础应用型题目，解题的核心是熟练掌握三角形三边的大小关系，同时要注意挖掘题干中的限定条件（如偶数、最长边等），避免出现漏解或范围出错的问题。
【难度系数】
0.8
解题时围绕三角形三边关系展开：(1)首先回忆三角形三边满足“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，直接将已知的两边长代入即可求出x的取值范围；(2)在第一问得到的x的取值范围内，筛选出符合“偶数”条件的x值，再分别代入周长公式（三边之和）计算即可；(3)第三边是最长边，说明x要大于等于已知的较长边9cm，同时还要满足第一问得到的三边关系上限，结合两个条件即可得到对应取值范围。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为9cm和3cm，可得：
$9 - 3 ＜ x ＜ 9 + 3$
即x的取值范围为$6 ＜ x ＜ 12$。
(2)
∵x为偶数，且$6 ＜ x ＜ 12$，
∴x可取的值为8、10。
当$x=8$时，三角形周长为$9+3+8=20(\mathrm{cm})$；
当$x=10$时，三角形周长为$9+3+10=22(\mathrm{cm})$。
故三角形的周长为20cm或22cm。
(3)
∵第三边是最长的边，
∴$x\ge9$，
又结合三边关系的结论$x＜12$，
∴x的取值范围为$9\le x＜12$。
【答案】
(1) $6 ＜ x ＜ 12$
(2) $20\ \mathrm{cm}$或$22\ \mathrm{cm}$
(3) $9 \le x ＜ 12$
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算；不等式解集应用
【点评】
本题属于三角形三边关系的基础应用型题目，解题的核心是熟练掌握三角形三边的大小关系，同时要注意挖掘题干中的限定条件（如偶数、最长边等），避免出现漏解或范围出错的问题。
【难度系数】
0.8
5.已知$a$,$b$,$c$分别是三角形$ABC$的三条边的长度,化简代数式:$|a - b - c| - |b - c - a| + |c - a + b|$.
答案
5.
∵a,b,c分别是△ABC的三条边的长度,
∴a-b-c＜0,b-c-a＜0,c-a+b＞0,
∴原式=-a+b+c+b-c-a+c-a+b=-3a+3b+c
∵a,b,c分别是△ABC的三条边的长度,
∴a-b-c＜0,b-c-a＜0,c-a+b＞0,
∴原式=-a+b+c+b-c-a+c-a+b=-3a+3b+c
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是三角形三边满足“两边之和大于第三边”，二是绝对值的化简规则（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）。第一步先根据三角形三边关系判断每个绝对值内代数式的正负性，第二步根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果即可。
【解析】
∵a,b,c分别是△ABC的三条边的长度，根据三角形两边之和大于第三边，可得：
$b+c＞a$，$a+c＞b$，$b+c＞a$
∴$a-b-c=a-(b+c)＜0$，$b-c-a=b-(c+a)＜0$，$c-a+b=(b+c)-a＞0$
∴原式$=-(a-b-c)-[-(b-c-a)]+(c-a+b)$
$=-a+b+c + b - c - a + c - a + b$
$=-3a+3b+c$
【答案】
$-3a+3b+c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是基础类综合题，解题的核心是先利用三角形三边关系判断绝对值内表达式的正负，再正确去绝对值后合并同类项，该类题型是三角形性质与整式运算结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆两个核心知识点：一是三角形三边满足“两边之和大于第三边”，二是绝对值的化简规则（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）。第一步先根据三角形三边关系判断每个绝对值内代数式的正负性，第二步根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项得到化简结果即可。
【解析】
∵a,b,c分别是△ABC的三条边的长度，根据三角形两边之和大于第三边，可得：
$b+c＞a$，$a+c＞b$，$b+c＞a$
∴$a-b-c=a-(b+c)＜0$，$b-c-a=b-(c+a)＜0$，$c-a+b=(b+c)-a＞0$
∴原式$=-(a-b-c)-[-(b-c-a)]+(c-a+b)$
$=-a+b+c + b - c - a + c - a + b$
$=-3a+3b+c$
【答案】
$-3a+3b+c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是基础类综合题，解题的核心是先利用三角形三边关系判断绝对值内表达式的正负，再正确去绝对值后合并同类项，该类题型是三角形性质与整式运算结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
6. 安全生产 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是
三角形具有稳定性
。答案
6.三角形具有稳定性
解析
【分析】
解题时首先观察固定空调的支架结构为三角形，接下来回忆三角形的特有性质：不同于四边形等图形容易变形，三角形的三边长度确定后，形状和大小就完全固定，具备稳固、不易形变的特点，这种特点刚好满足固定空调需要稳固支撑的需求，由此即可对应到对应的几何原理。
【解析】
观察题图可知，支撑空调的支架为三角形结构。三角形具有稳定性，即三角形三条边的长度确定后，它的形状和大小就唯一确定，不会轻易发生形变，能够起到稳固支撑的作用，因此这种固定方法应用的就是三角形的该特性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题考查三角形特性在实际生活中的应用，将数学知识与生活场景结合，只要熟练掌握三角形的基本性质就可以快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察固定空调的支架结构为三角形，接下来回忆三角形的特有性质：不同于四边形等图形容易变形，三角形的三边长度确定后，形状和大小就完全固定，具备稳固、不易形变的特点，这种特点刚好满足固定空调需要稳固支撑的需求，由此即可对应到对应的几何原理。
【解析】
观察题图可知，支撑空调的支架为三角形结构。三角形具有稳定性，即三角形三条边的长度确定后，它的形状和大小就唯一确定，不会轻易发生形变，能够起到稳固支撑的作用，因此这种固定方法应用的就是三角形的该特性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题考查三角形特性在实际生活中的应用，将数学知识与生活场景结合，只要熟练掌握三角形的基本性质就可以快速作答。
【难度系数】
0.9
7. 建筑如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了使它更加稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（
A.A，C两点之间
B.E，G两点之间
C.B，F两点之间
D.G，H两点之间
B
）A.A，C两点之间
B.E，G两点之间
C.B，F两点之间
D.G，H两点之间
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心原理：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，给四边形窗框加木条的目的是通过构造三角形结构，让窗框更稳固。解题时只需逐一判断每个选项中添加木条后是否构造出了三角形，没有构造出三角形的选项就是木条不应钉的位置。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 钉在A、C两点之间：对角线AC将长方形ABCD分成△ABC和△ADC两个三角形，利用三角形稳定性可使窗框稳固，不符合题意；
B. 钉在E、G两点之间：E是AD中点，G是BC中点，连接EG后将原长方形分成两个小四边形，没有形成三角形结构，无法起到稳固作用，符合题意；
C. 钉在B、F两点之间：连接BF后可构造出△BCF，形成三角形结构，能使窗框稳固，不符合题意；
D. 钉在G、H两点之间：连接GH后可构造出△BGH，形成三角形结构，能使窗框稳固，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性，四边形的不稳定性
【点评】
本题是三角形稳定性在实际生活中的应用类题目，解题的关键是理解添加木条稳固窗框的本质是构造三角形结构，结合图形逐一判断即可，和生活联系紧密，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确核心原理：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，给四边形窗框加木条的目的是通过构造三角形结构，让窗框更稳固。解题时只需逐一判断每个选项中添加木条后是否构造出了三角形，没有构造出三角形的选项就是木条不应钉的位置。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 钉在A、C两点之间：对角线AC将长方形ABCD分成△ABC和△ADC两个三角形，利用三角形稳定性可使窗框稳固，不符合题意；
B. 钉在E、G两点之间：E是AD中点，G是BC中点，连接EG后将原长方形分成两个小四边形，没有形成三角形结构，无法起到稳固作用，符合题意；
C. 钉在B、F两点之间：连接BF后可构造出△BCF，形成三角形结构，能使窗框稳固，不符合题意；
D. 钉在G、H两点之间：连接GH后可构造出△BGH，形成三角形结构，能使窗框稳固，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形的稳定性，四边形的不稳定性
【点评】
本题是三角形稳定性在实际生活中的应用类题目，解题的关键是理解添加木条稳固窗框的本质是构造三角形结构，结合图形逐一判断即可，和生活联系紧密，难度较低。
【难度系数】
0.8
