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9. ▶教材P140T1变式 如图，$OP$平分$∠ AOB$，$PA⊥ OA$，$PB⊥ OB$，垂足分别为$A$，$B$，下列结论不一定成立的是（
A.$PA=PB$
B.$PO$平分$∠ APB$
C.$OA=OB$
D.$AB$垂直平分$OP$
第9题图 第10题图
D
）A.$PA=PB$
B.$PO$平分$∠ APB$
C.$OA=OB$
D.$AB$垂直平分$OP$
第9题图 第10题图
答案
9 D
∵ OP 平分 ∠AOB,PA ⊥ OA,PB ⊥ OB,
∴ PA = PB. 易知Rt△AOP≌Rt△BOP,
∴ OA = OB,∠OPA = ∠OPB,即 PO 平分 ∠APB,故 A,B,C 一定成立;由已知条件能得出 AB 垂直于 OP,但 AB 不一定平分 OP.
∵ OP 平分 ∠AOB,PA ⊥ OA,PB ⊥ OB,
∴ PA = PB. 易知Rt△AOP≌Rt△BOP,
∴ OA = OB,∠OPA = ∠OPB,即 PO 平分 ∠APB,故 A,B,C 一定成立;由已知条件能得出 AB 垂直于 OP,但 AB 不一定平分 OP.
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质定理，结合已知条件先得到线段相等，再通过证明直角三角形全等推导对应边、对应角的关系，逐个验证选项是否一定成立；最后判断关于垂直平分的结论时，要明确垂直平分线需要满足垂直、平分两个条件，需确认两个条件是否都能被已知条件推导出来。
【解析】
已知OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PA=PB，故A选项结论一定成立；
在Rt△AOP和Rt△BOP中，$\{\begin{array}{l}PA=PB\\ OP=OP\end{array} $，根据HL判定定理可得Rt△AOP≌Rt△BOP，因此可得OA=OB，∠OPA=∠OPB，即PO平分∠APB，故B、C选项结论一定成立；
由OA=OB，OP平分∠AOB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OP垂直于AB，但已知条件无法推出AB平分OP，因此D选项结论不一定成立。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；垂直平分线的判定
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题时要注意全等三角形的推导，同时要明确“垂直平分”需要同时满足垂直和平分两个条件，不能仅由垂直就判定平分，避免混淆结论。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的性质定理，结合已知条件先得到线段相等，再通过证明直角三角形全等推导对应边、对应角的关系，逐个验证选项是否一定成立；最后判断关于垂直平分的结论时，要明确垂直平分线需要满足垂直、平分两个条件，需确认两个条件是否都能被已知条件推导出来。
【解析】
已知OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PA=PB，故A选项结论一定成立；
在Rt△AOP和Rt△BOP中，$\{\begin{array}{l}PA=PB\\ OP=OP\end{array} $，根据HL判定定理可得Rt△AOP≌Rt△BOP，因此可得OA=OB，∠OPA=∠OPB，即PO平分∠APB，故B、C选项结论一定成立；
由OA=OB，OP平分∠AOB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OP垂直于AB，但已知条件无法推出AB平分OP，因此D选项结论不一定成立。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；垂直平分线的判定
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题时要注意全等三角形的推导，同时要明确“垂直平分”需要同时满足垂直和平分两个条件，不能仅由垂直就判定平分，避免混淆结论。
【难度系数】
0.7
10. [2026合肥四十五中期末]如图,在$Rt△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$,$AC⊥ BC$于点C,$DE⊥ AB$于E,已知$AB=5$,$BC=4$,$AC=3$,则$△ AED$的周长为 (
A.3
B.4
C.6
D.5
B
)A.3
B.4
C.6
D.5
答案
10 B
∵ BD 平分 ∠ABC,AC ⊥ BC,DE ⊥ AB,
∴ DE = DC,∠BED = ∠ACB = 90°. 在 Rt△BED 和 Rt△BCD 中,$\begin{cases} DE = DC, \\ DB = DB, \end{cases}$
∴ Rt△BED≌Rt△BCD(HL),
∴ BE = BC = 4,
∴ AE = AB - BE = 1,
∴ △AED 的周长为 AE + AD + DE = AE + AD + DC = AE + AC = 1 + 3 = 4.
∵ BD 平分 ∠ABC,AC ⊥ BC,DE ⊥ AB,
∴ DE = DC,∠BED = ∠ACB = 90°. 在 Rt△BED 和 Rt△BCD 中,$\begin{cases} DE = DC, \\ DB = DB, \end{cases}$
∴ Rt△BED≌Rt△BCD(HL),
∴ BE = BC = 4,
∴ AE = AB - BE = 1,
∴ △AED 的周长为 AE + AD + DE = AE + AD + DC = AE + AC = 1 + 3 = 4.
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：看到BD是角平分线，且有DC⊥BC、DE⊥AB，优先想到角平分线的性质定理，得到DE=DC，这是线段代换的基础。接下来分析△AED的周长组成：AE+AD+DE，将DE替换为DC后，周长可转化为AE+AD+DC，也就是AE+AC，AC已知为3，因此只需求出AE的长度即可。再通过HL证明Rt△BED和Rt△BCD全等，得到BE=BC=4，用AB的长度减去BE就能得到AE的长度，最后代入计算即可求出周长。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，AC⊥BC，DE⊥AB，
∴DE = DC，∠BED = ∠ACB = 90°。
在$Rt△BED$和$Rt△BCD$中，
$\begin{cases} DE = DC, \\ DB = DB, \end{cases}$
∴$Rt△BED≌Rt△BCD(HL)$，
∴$BE = BC = 4$，
∴$AE = AB - BE = 5-4=1$，
∴$△ AED$的周长为 $AE + AD + DE = AE + AD + DC = AE + AC = 1 + 3 = 4$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题的解题关键是利用角平分线的性质完成线段等量代换，将未知的三角形周长转化为已知线段的和，借助全等三角形得到对应边相等求出未知线段，很好地体现了几何计算中的转化思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：看到BD是角平分线，且有DC⊥BC、DE⊥AB，优先想到角平分线的性质定理，得到DE=DC，这是线段代换的基础。接下来分析△AED的周长组成：AE+AD+DE，将DE替换为DC后，周长可转化为AE+AD+DC，也就是AE+AC，AC已知为3，因此只需求出AE的长度即可。再通过HL证明Rt△BED和Rt△BCD全等，得到BE=BC=4，用AB的长度减去BE就能得到AE的长度，最后代入计算即可求出周长。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，AC⊥BC，DE⊥AB，
∴DE = DC，∠BED = ∠ACB = 90°。
在$Rt△BED$和$Rt△BCD$中，
$\begin{cases} DE = DC, \\ DB = DB, \end{cases}$
∴$Rt△BED≌Rt△BCD(HL)$，
∴$BE = BC = 4$，
∴$AE = AB - BE = 5-4=1$，
∴$△ AED$的周长为 $AE + AD + DE = AE + AD + DC = AE + AC = 1 + 3 = 4$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形周长计算
【点评】
本题的解题关键是利用角平分线的性质完成线段等量代换，将未知的三角形周长转化为已知线段的和，借助全等三角形得到对应边相等求出未知线段，很好地体现了几何计算中的转化思想。
【难度系数】
0.7
11. [2026滁州期中] 如图，∠B = ∠C = 90°, M是BC的中点，DM平分∠ADC. 若∠ADC = 100°, 则∠MAB = (
A.50°
B.40°
C.30°
D.35°
B
)A.50°
B.40°
C.30°
D.35°
答案
11 B 如图,过点 M 作 MN ⊥ AD 于点 N.
∵ ∠C = 90°,DM 平分 ∠ADC,
∴ CM = MN(角平分线的性质).
∵ M 是 BC 的中点,
∴ BM = CM,
∴ MN = BM.
∵ ∠B = 90°,MN ⊥ AD,
∴ AM 平分 ∠DAB(角平分线的判定).
∵ ∠B = ∠C = 90°,
∴ AB//CD,
∴ ∠DAB = 180° - ∠ADC = 80°,
∴ ∠MAB = $\frac{1}{2}$∠DAB = 40°.
解析
【分析】
遇到题干中同时出现角平分线和直角时，优先考虑角平分线的性质定理，第一步先过点M作MN⊥AD于N，利用角平分线性质得到CM=MN；再结合M是BC中点的条件，可推导出MN=BM，此时根据角平分线的判定定理，可得出AM平分∠DAB；接下来由∠B、∠C均为90°，可判定AB//CD，利用平行线同旁内角互补的性质算出∠DAB的度数，最后根据角平分线的定义即可求出∠MAB的度数。
【解析】
过点M作MN⊥AD于点N。
∵ ∠C = 90°，DM平分∠ADC，
∴ CM = MN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ M是BC的中点，
∴ BM = CM，
∴ MN = BM。
∵ ∠B = 90°，MN⊥AD，
∴ AM平分∠DAB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
∵ ∠B = ∠C = 90°，
∴ AB//CD，
∴ ∠DAB = 180° - ∠ADC = 180° - 100° = 80°，
∴ ∠MAB = $\frac{1}{2}$∠DAB = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。
【答案】
B
【知识点】
角平分线性质与判定；平行线的性质；中点定义
【点评】
本题属于角平分线应用的基础常考题，解题核心是通过作辅助线构造垂线段，将角平分线的性质、判定与平行线的性质结合起来求解，能很好地考查学生对基础定理的掌握和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.7
遇到题干中同时出现角平分线和直角时，优先考虑角平分线的性质定理，第一步先过点M作MN⊥AD于N，利用角平分线性质得到CM=MN；再结合M是BC中点的条件，可推导出MN=BM，此时根据角平分线的判定定理，可得出AM平分∠DAB；接下来由∠B、∠C均为90°，可判定AB//CD，利用平行线同旁内角互补的性质算出∠DAB的度数，最后根据角平分线的定义即可求出∠MAB的度数。
【解析】
过点M作MN⊥AD于点N。
∵ ∠C = 90°，DM平分∠ADC，
∴ CM = MN（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ M是BC的中点，
∴ BM = CM，
∴ MN = BM。
∵ ∠B = 90°，MN⊥AD，
∴ AM平分∠DAB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
∵ ∠B = ∠C = 90°，
∴ AB//CD，
∴ ∠DAB = 180° - ∠ADC = 180° - 100° = 80°，
∴ ∠MAB = $\frac{1}{2}$∠DAB = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。
【答案】
B
【知识点】
角平分线性质与判定；平行线的性质；中点定义
【点评】
本题属于角平分线应用的基础常考题，解题核心是通过作辅助线构造垂线段，将角平分线的性质、判定与平行线的性质结合起来求解，能很好地考查学生对基础定理的掌握和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.7
12. [2026合肥瑶海区期末]如图,在$△ ABC$中,AD是$∠ BAC$的平分线,$AB=14\ \mathrm{cm},AC=10\ \mathrm{cm}$,则$\frac{CD}{BD}=$
$\boldsymbol{\frac{5}{7}}$
.答案
12 $\frac{5}{7}$ 如图,过点 D 分别作 DM ⊥ AB,DN ⊥ AC,垂足分别为 M,N.
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线,
∴ DM = DN. 设点 A 到直线 BC 的距离为 h,则 $S_{△ABD} = \frac{1}{2}DM·AB = \frac{1}{2}h·BD$(等面积法),$S_{△ACD} = \frac{1}{2}DN·AC = \frac{1}{2}h·CD$,
∴ $\frac{h·CD}{h·BD} = \frac{DN·AC}{DM·AB}$,即 $\frac{CD}{BD} = \frac{AC}{AB} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}.$
解析
【分析】
要求$\frac{CD}{BD}$的比值，已知AD是$∠ BAC$的平分线，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过点D作AB、AC的垂线，得到两条长度相等的垂线段。这两条垂线段分别是$△ ABD$、$△ ACD$以AB、AC为底时的高，而$△ ABD$和$△ ACD$以BD、CD为底时，高为点A到BC的公共高，因此可以通过两个三角形的面积比建立线段比例关系，进而求出待求比值。
【解析】
如图，过点D分别作$DM ⊥ AB$，$DN ⊥ AC$，垂足分别为M、N。
∵ AD是$∠ BAC$的平分线，根据角平分线的性质定理，得$DM = DN$。
设点A到直线BC的距离为h，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} · DM · AB = \frac{1}{2} · h · BD$，
$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} · DN · AC = \frac{1}{2} · h · CD$。
将两式作比，得$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}} = \frac{\frac{1}{2}h · CD}{\frac{1}{2}h · BD} = \frac{\frac{1}{2}DN · AC}{\frac{1}{2}DM · AB}$，
约去公共项，且$DM=DN$，因此$\frac{CD}{BD} = \frac{AC}{AB}$。
代入$AB=14\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，得$\frac{CD}{BD} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比例运算
【点评】
本题是角平分线性质应用的经典题型，借助等面积法将线段比和已知的边长建立联系，解题关键是利用角平分线的性质构造相等的高，该方法是解决角平分线相关线段比例问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.65
要求$\frac{CD}{BD}$的比值，已知AD是$∠ BAC$的平分线，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过点D作AB、AC的垂线，得到两条长度相等的垂线段。这两条垂线段分别是$△ ABD$、$△ ACD$以AB、AC为底时的高，而$△ ABD$和$△ ACD$以BD、CD为底时，高为点A到BC的公共高，因此可以通过两个三角形的面积比建立线段比例关系，进而求出待求比值。
【解析】
如图，过点D分别作$DM ⊥ AB$，$DN ⊥ AC$，垂足分别为M、N。
∵ AD是$∠ BAC$的平分线，根据角平分线的性质定理，得$DM = DN$。
设点A到直线BC的距离为h，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} · DM · AB = \frac{1}{2} · h · BD$，
$S_{△ ACD} = \frac{1}{2} · DN · AC = \frac{1}{2} · h · CD$。
将两式作比，得$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}} = \frac{\frac{1}{2}h · CD}{\frac{1}{2}h · BD} = \frac{\frac{1}{2}DN · AC}{\frac{1}{2}DM · AB}$，
约去公共项，且$DM=DN$，因此$\frac{CD}{BD} = \frac{AC}{AB}$。
代入$AB=14\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，得$\frac{CD}{BD} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$。
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比例运算
【点评】
本题是角平分线性质应用的经典题型，借助等面积法将线段比和已知的边长建立联系，解题关键是利用角平分线的性质构造相等的高，该方法是解决角平分线相关线段比例问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.65
13. [2026合肥庐阳区段考]如图,在$△ ABC$中,AD是$∠ BAC$的平分线,AM是BC边上的中线,$DE ⊥ AB$于点E,已知$S_{△ ABM}=4.5$,$DE=2$,$AB=5$,则AC的长是
4
.答案
13 4 解题思路:如图,过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F,先利用三角形的中线与三角形面积的关系得到 $S_{△ABC} = 2S_{△ABM} = 9$,再根据角平分线的性质得到 DF = DE = 2,然后利用 $S_{△ABD} + S_{△ACD} = S_{△ABC}$ 可求出 AC 的长.
如图,过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F.
∵ AM 是 BC 边上的中线,
∴ $S_{△ACM} = S_{△ABM}$,
∴ $S_{△ABC} = 2S_{△ABM} = 2 × 4.5 = 9$.
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线,DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,
∴ DF = DE = 2.
∵ $S_{△ABD} + S_{△ACD} = S_{△ABC}$,
∴ $\frac{1}{2}×AB×DE + \frac{1}{2}×AC×DF = 9$,即 $\frac{1}{2}×5×2 + \frac{1}{2}×AC×2 = 9$,解得 AC = 4.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先AM是BC边的中线，根据三角形中线的性质，中线可将三角形分成面积相等的两个小三角形，由此可先求出△ABC的总面积；其次AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AC的垂线DF，可得DF=DE；最后△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积之和，代入已知边长和高的值，列方程即可求出AC的长度。
【解析】
解：如图，过点D作DF⊥AC于点F。
∵ AM是BC边上的中线，
∴ M为BC的中点，△ABM和△ACM等底同高，
∴ $S_{△ACM} = S_{△ABM}$，
∴ $S_{△ABC} = 2S_{△ABM} = 2 × 4.5 = 9$。
∵ AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质，$DF = DE = 2$。
∵ $S_{△ABD} + S_{△ACD} = S_{△ABC}$，
∴ 代入三角形面积公式得：$\frac{1}{2}×AB×DE + \frac{1}{2}×AC×DF = 9$，
将$AB=5$，$DE=2$，$DF=2$代入得：$\frac{1}{2}×5×2 + \frac{1}{2}×AC×2 = 9$，
化简得：$5 + AC = 9$，解得$AC = 4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，将中线的面积等分性质、角平分线的距离相等性质结合三角形面积和关系求解未知边长，解题的关键是合理作出辅助线，利用面积法建立方程，这类题型是三角形部分的常见考法，需熟练掌握相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先AM是BC边的中线，根据三角形中线的性质，中线可将三角形分成面积相等的两个小三角形，由此可先求出△ABC的总面积；其次AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AC的垂线DF，可得DF=DE；最后△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积之和，代入已知边长和高的值，列方程即可求出AC的长度。
【解析】
解：如图，过点D作DF⊥AC于点F。
∵ AM是BC边上的中线，
∴ M为BC的中点，△ABM和△ACM等底同高，
∴ $S_{△ACM} = S_{△ABM}$，
∴ $S_{△ABC} = 2S_{△ABM} = 2 × 4.5 = 9$。
∵ AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质，$DF = DE = 2$。
∵ $S_{△ABD} + S_{△ACD} = S_{△ABC}$，
∴ 代入三角形面积公式得：$\frac{1}{2}×AB×DE + \frac{1}{2}×AC×DF = 9$，
将$AB=5$，$DE=2$，$DF=2$代入得：$\frac{1}{2}×5×2 + \frac{1}{2}×AC×2 = 9$，
化简得：$5 + AC = 9$，解得$AC = 4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线的性质，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，将中线的面积等分性质、角平分线的距离相等性质结合三角形面积和关系求解未知边长，解题的关键是合理作出辅助线，利用面积法建立方程，这类题型是三角形部分的常见考法，需熟练掌握相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
14. [2026安庆段考]如图，$∠ ABC$，$∠ EAC$的平分线$BP$，$AP$交于点$P$，过点$P$作$PM ⊥ BA$交$BA$的延长线$(BE)$于点$M$，$PN ⊥ BC$交$BC$的延长线$(BF)$于点$N$.求证：
(1)$CP$平分$∠ ACF$；
(2)$∠ ABC + 2∠ APC = 180°$.
(1)$CP$平分$∠ ACF$；
(2)$∠ ABC + 2∠ APC = 180°$.
答案
14 证明:(1)如图,过点 P 作 PQ ⊥ AC 于点 Q(欲证 CP 平分 ∠ACF 且已知角一边上的垂线,想到向角的另一边作垂线).
∵ ∠ABC,∠EAC 的平分线 BP,AP 交于点 P,PM ⊥ BA,PN ⊥ BC,
∴ PM = PN,PM = PQ,
∴ PN = PQ,
∴ CP 平分 ∠ACF.
(2)
∵ AP 平分 ∠EAC,CP 平分 ∠ACF,
∴ ∠PAC = $\frac{1}{2}$∠EAC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC),∠PCA = $\frac{1}{2}$∠ACF = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BCA),
∴ ∠APC = 180° - ∠PAC - ∠PCA = 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC) - $\frac{1}{2}$(180° - ∠BCA) = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠BCA),
∴ 2∠APC = ∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠ABC,
∴ ∠ABC + 2∠APC = 180°.
解析
【分析】
(1) 要证CP平分∠ACF，根据角平分线的判定定理，只需证明点P到∠ACF两边的距离相等。已知BP、AP分别是∠ABC、∠EAC的角平分线，且PM⊥BE、PN⊥BF，因此过P作PQ⊥AC于Q，利用角平分线的性质可得PM=PN、PM=PQ，进而推出PN=PQ，即可证得结论。
(2) 要证∠ABC + 2∠APC = 180°，先根据角平分线定义表示出∠PAC和∠PCA，结合平角的定义将∠EAC、∠ACF转化为与∠BAC、∠BCA相关的表达式，代入△APC的内角和公式得到∠APC的表达式，最后结合△ABC的内角和定理完成角度转化即可。
【解析】
(1) 过点P作PQ⊥AC于点Q。
∵ BP平分∠ABC，AP平分∠EAC，PM⊥BA，PN⊥BC，PQ⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PM=PN，PM=PQ，
∴ PN=PQ，
又
∵ PN⊥BC，PQ⊥AC，
根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得CP平分∠ACF。
(2)
∵ AP平分∠EAC，CP平分∠ACF，
∴ $∠ PAC=\frac{1}{2}∠ EAC$，$∠ PCA=\frac{1}{2}∠ ACF$，
∵ $∠ EAC=180°-∠ BAC$，$∠ ACF=180°-∠ BCA$，
∴ $∠ PAC=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)$，$∠ PCA=\frac{1}{2}(180°-∠ BCA)$，
在△APC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ APC=180°-∠ PAC-∠ PCA$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)-\frac{1}{2}(180°-∠ BCA)$
$=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ BCA)$，
∴ $2∠ APC=∠ BAC+∠ BCA$，
在△ABC中，$∠ BAC+∠ BCA+∠ ABC=180°$，
∴ $∠ ABC+2∠ APC=180°$。
【答案】
14 证明:(1)如图,过点 P 作 PQ ⊥ AC 于点 Q(欲证 CP 平分 ∠ACF 且已知角一边上的垂线,想到向角的另一边作垂线).
∵ ∠ABC,∠EAC 的平分线 BP,AP 交于点 P,PM ⊥ BA,PN ⊥ BC,
∴ PM = PN,PM = PQ,
∴ PN = PQ,
∴ CP 平分 ∠ACF.
(2)
∵ AP 平分 ∠EAC,CP 平分 ∠ACF,
∴ ∠PAC = $\frac{1}{2}$∠EAC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC),∠PCA = $\frac{1}{2}$∠ACF = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BCA),
∴ ∠APC = 180° - ∠PAC - ∠PCA = 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC) - $\frac{1}{2}$(180° - ∠BCA) = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠BCA),
∴ 2∠APC = ∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠ABC,
∴ ∠ABC + 2∠APC = 180°.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线综合应用的典型题型，第一问通过作辅助线构造点到直线的距离，结合角平分线的性质和判定即可证明；第二问考查角度的等量转化能力，需要熟练运用角平分线定义和三角形内角和定理推导，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要证CP平分∠ACF，根据角平分线的判定定理，只需证明点P到∠ACF两边的距离相等。已知BP、AP分别是∠ABC、∠EAC的角平分线，且PM⊥BE、PN⊥BF，因此过P作PQ⊥AC于Q，利用角平分线的性质可得PM=PN、PM=PQ，进而推出PN=PQ，即可证得结论。
(2) 要证∠ABC + 2∠APC = 180°，先根据角平分线定义表示出∠PAC和∠PCA，结合平角的定义将∠EAC、∠ACF转化为与∠BAC、∠BCA相关的表达式，代入△APC的内角和公式得到∠APC的表达式，最后结合△ABC的内角和定理完成角度转化即可。
【解析】
(1) 过点P作PQ⊥AC于点Q。
∵ BP平分∠ABC，AP平分∠EAC，PM⊥BA，PN⊥BC，PQ⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PM=PN，PM=PQ，
∴ PN=PQ，
又
∵ PN⊥BC，PQ⊥AC，
根据角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得CP平分∠ACF。
(2)
∵ AP平分∠EAC，CP平分∠ACF，
∴ $∠ PAC=\frac{1}{2}∠ EAC$，$∠ PCA=\frac{1}{2}∠ ACF$，
∵ $∠ EAC=180°-∠ BAC$，$∠ ACF=180°-∠ BCA$，
∴ $∠ PAC=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)$，$∠ PCA=\frac{1}{2}(180°-∠ BCA)$，
在△APC中，由三角形内角和为180°得：
$∠ APC=180°-∠ PAC-∠ PCA$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)-\frac{1}{2}(180°-∠ BCA)$
$=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ BCA)$，
∴ $2∠ APC=∠ BAC+∠ BCA$，
在△ABC中，$∠ BAC+∠ BCA+∠ ABC=180°$，
∴ $∠ ABC+2∠ APC=180°$。
【答案】
14 证明:(1)如图,过点 P 作 PQ ⊥ AC 于点 Q(欲证 CP 平分 ∠ACF 且已知角一边上的垂线,想到向角的另一边作垂线).
∵ ∠ABC,∠EAC 的平分线 BP,AP 交于点 P,PM ⊥ BA,PN ⊥ BC,
∴ PM = PN,PM = PQ,
∴ PN = PQ,
∴ CP 平分 ∠ACF.
(2)
∵ AP 平分 ∠EAC,CP 平分 ∠ACF,
∴ ∠PAC = $\frac{1}{2}$∠EAC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC),∠PCA = $\frac{1}{2}$∠ACF = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BCA),
∴ ∠APC = 180° - ∠PAC - ∠PCA = 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAC) - $\frac{1}{2}$(180° - ∠BCA) = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠BCA),
∴ 2∠APC = ∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠ABC,
∴ ∠ABC + 2∠APC = 180°.
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是角平分线综合应用的典型题型，第一问通过作辅助线构造点到直线的距离，结合角平分线的性质和判定即可证明；第二问考查角度的等量转化能力，需要熟练运用角平分线定义和三角形内角和定理推导，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
1. 性质→面积比大小 [2026马鞍山七中期末] 如图，点O是△ABC三条角平分线的交点，△ABO的面积记为$S_1$，△ACO的面积记为$S_2$，△BCO的面积记为$S_3$，关于$S_1,S_2,S_3$之间的大小关系，正确的是（
A.$S_1 + S_2 = S_3$
B.$S_1 + S_2 ＜ S_3$
C.$S_1 + S_2 ＞ S_3$
D.$S_1 · S_2 = S_3$
C
）A.$S_1 + S_2 = S_3$
B.$S_1 + S_2 ＜ S_3$
C.$S_1 + S_2 ＞ S_3$
D.$S_1 · S_2 = S_3$
答案
1 C
∵ 点 O 是△ABC 三条角平分线的交点,
∴ △ABO 的边 AB 上的高和△BOC 的边 BC 上的高和△AOC 的边 AC 上的高相等.
∵ △ABO 的面积记为 $S_1$,△ACO 的面积记为 $S_2$,△BCO 的面积记为 $S_3$,设高为 h,
∴ $S_1 + S_2 = \frac{1}{2}AB·h + \frac{1}{2}AC·h = \frac{1}{2}(AB + AC)·h$,$S_3 = \frac{1}{2}BC·h$,由△ABC 的三边关系,得 AB + AC ＞ BC,
∴ $S_1 + S_2 ＞ S_3$.
∵ 点 O 是△ABC 三条角平分线的交点,
∴ △ABO 的边 AB 上的高和△BOC 的边 BC 上的高和△AOC 的边 AC 上的高相等.
∵ △ABO 的面积记为 $S_1$,△ACO 的面积记为 $S_2$,△BCO 的面积记为 $S_3$,设高为 h,
∴ $S_1 + S_2 = \frac{1}{2}AB·h + \frac{1}{2}AC·h = \frac{1}{2}(AB + AC)·h$,$S_3 = \frac{1}{2}BC·h$,由△ABC 的三边关系,得 AB + AC ＞ BC,
∴ $S_1 + S_2 ＞ S_3$.
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推出点O到△ABC三边的距离相等，即三个小△ABO、△ACO、△BCO分别以AB、AC、BC为底时，高都相等。接下来我们可以把三个小三角形的面积用底和高的形式表示，再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，比较面积的大小关系即可。
【解析】
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴点O到AB、AC、BC三边的距离相等，即△ABO中AB边上的高、△ACO中AC边上的高、△BCO中BC边上的高相等，设这个高为h。
根据三角形面积公式可得：
$S_1=\frac{1}{2}AB·h$，$S_2=\frac{1}{2}AC·h$，$S_3=\frac{1}{2}BC·h$，
则$S_1+S_2=\frac{1}{2}AB·h + \frac{1}{2}AC·h = \frac{1}{2}(AB+AC)·h$。
根据三角形三边关系可知，在△ABC中，$AB+AC＞BC$，
不等式两边同时乘正数$\frac{1}{2}h$，不等号方向不变，可得：
$\frac{1}{2}(AB+AC)·h ＞ \frac{1}{2}BC·h$，即$S_1+S_2＞S_3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是利用角平分线的性质将三个小三角形的高转化为相等的量，从而把面积大小的比较转化为三角形边长大小的比较，巧妙结合三边关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推出点O到△ABC三边的距离相等，即三个小△ABO、△ACO、△BCO分别以AB、AC、BC为底时，高都相等。接下来我们可以把三个小三角形的面积用底和高的形式表示，再结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，比较面积的大小关系即可。
【解析】
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴点O到AB、AC、BC三边的距离相等，即△ABO中AB边上的高、△ACO中AC边上的高、△BCO中BC边上的高相等，设这个高为h。
根据三角形面积公式可得：
$S_1=\frac{1}{2}AB·h$，$S_2=\frac{1}{2}AC·h$，$S_3=\frac{1}{2}BC·h$，
则$S_1+S_2=\frac{1}{2}AB·h + \frac{1}{2}AC·h = \frac{1}{2}(AB+AC)·h$。
根据三角形三边关系可知，在△ABC中，$AB+AC＞BC$，
不等式两边同时乘正数$\frac{1}{2}h$，不等号方向不变，可得：
$\frac{1}{2}(AB+AC)·h ＞ \frac{1}{2}BC·h$，即$S_1+S_2＞S_3$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是利用角平分线的性质将三个小三角形的高转化为相等的量，从而把面积大小的比较转化为三角形边长大小的比较，巧妙结合三边关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.7
2. 判定→求角度 [2026蚌埠期末]如图，O是$△ ABC$内一点，且O到三边AB,BC,CA的距离$OF=OD=OE$.若$∠ BAC=70°$,则$∠ BOC$的度数为 (
A.$70°$
B.$120°$
C.$125°$
D.$130°$
C
)A.$70°$
B.$120°$
C.$125°$
D.$130°$
答案
2 C
∵ 点 O 到三边 AB,BC,CA 的距离 OF = OD = OE,
∴ 点 O 是三角形三条角平分线的交点,
∴ ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB.
∵ ∠BAC = 70°,
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - 70° = 110°,
∴ ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°,
∴ ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°.
∵ 点 O 到三边 AB,BC,CA 的距离 OF = OD = OE,
∴ 点 O 是三角形三条角平分线的交点,
∴ ∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB.
∵ ∠BAC = 70°,
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - 70° = 110°,
∴ ∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×110° = 55°,
∴ ∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°.
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：点O到三角形三边的距离相等，根据角平分线的判定定理，可推出O是△ABC三条角平分线的交点，即OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。接下来要求∠BOC的度数，可利用三角形内角和定理，先在△ABC中求出∠ABC与∠ACB的和，再求出∠OBC与∠OCB的和，最后在△BOC中用内角和计算即可得到∠BOC的度数。
【解析】
∵ 点O到三边AB、BC、CA的距离$OF=OD=OE$，
∴ 点O是△ABC三条角平分线的交点，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴ $∠OBC = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠OCB = \frac{1}{2}∠ACB$。
在△ABC中，$∠BAC=70°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC = 180° - 70° = 110°$，
∴ $∠OBC + ∠OCB = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB) = \frac{1}{2}×110° = 55°$。
在△BOC中，$∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定定理；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是通过“到三角形三边距离相等”的条件判断出点是三角形的角平分线交点，再结合三角形内角和定理逐步推导角度，是角平分线相关知识的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：点O到三角形三边的距离相等，根据角平分线的判定定理，可推出O是△ABC三条角平分线的交点，即OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。接下来要求∠BOC的度数，可利用三角形内角和定理，先在△ABC中求出∠ABC与∠ACB的和，再求出∠OBC与∠OCB的和，最后在△BOC中用内角和计算即可得到∠BOC的度数。
【解析】
∵ 点O到三边AB、BC、CA的距离$OF=OD=OE$，
∴ 点O是△ABC三条角平分线的交点，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴ $∠OBC = \frac{1}{2}∠ABC$，$∠OCB = \frac{1}{2}∠ACB$。
在△ABC中，$∠BAC=70°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC = 180° - 70° = 110°$，
∴ $∠OBC + ∠OCB = \frac{1}{2}(∠ABC + ∠ACB) = \frac{1}{2}×110° = 55°$。
在△BOC中，$∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 55° = 125°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定定理；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题核心是通过“到三角形三边距离相等”的条件判断出点是三角形的角平分线交点，再结合三角形内角和定理逐步推导角度，是角平分线相关知识的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
3. 性质→求面积 [2026六安九中月考]如图，已知$△ ABC$的周长是21，$BO$，$CO$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$，$OD ⊥ BC$于点$D$，且$OD = 3$，则$△ ABC$的面积是
$\boldsymbol{\frac{63}{2}}$
。答案
3 $\frac{63}{2}$ 如图,连接 OA,过点 O 作 OE ⊥ AB 于点 E,OF ⊥ AC 于点 F.
∵ BO,CO 分别平分 ∠ABC 和 ∠ACB,
∴ OE = OD = 3,OF = OD = 3.
∵ △ABC的周长是21,
∴ AB + BC + AC = 21,
∴ $S_{△ABC} = S_{△AOB} + S_{△BOC} + S_{△AOC} = \frac{1}{2}AB·OE + \frac{1}{2}BC·OD + \frac{1}{2}AC·OF = \frac{1}{2}(AB + BC + AC) × 3 = \frac{1}{2}×21×3 = \frac{63}{2}.$
解析
【分析】
看到题干中BO、CO是角平分线，且OD⊥BC，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求△ABC的面积，可采用割补法将其拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积和，因此作辅助线：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线性质可得三个小三角形的高OE=OF=OD=3，再结合△ABC的周长（即三边之和）为21，代入面积公式即可求出总面积。
【解析】
如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴根据角平分线的性质，得OE = OD = 3，OF = OD = 3。
∵△ABC的周长是21，
∴AB + BC + AC = 21，
∴$S_{△ABC} = S_{△AOB} + S_{△BOC} + S_{△AOC}$
$= \frac{1}{2}AB·OE + \frac{1}{2}BC·OD + \frac{1}{2}AC·OF$
$= \frac{1}{2}(AB + BC + AC) × 3$
$= \frac{1}{2}×21×3 = \frac{63}{2}$
【答案】
$\frac{63}{2}$
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题，解题核心是利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，通过构造辅助线将大三角形面积转化为三个等高小三角形的面积和，结合周长条件即可快速求解，需要熟练掌握此类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
看到题干中BO、CO是角平分线，且OD⊥BC，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。要求△ABC的面积，可采用割补法将其拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积和，因此作辅助线：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线性质可得三个小三角形的高OE=OF=OD=3，再结合△ABC的周长（即三边之和）为21，代入面积公式即可求出总面积。
【解析】
如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴根据角平分线的性质，得OE = OD = 3，OF = OD = 3。
∵△ABC的周长是21，
∴AB + BC + AC = 21，
∴$S_{△ABC} = S_{△AOB} + S_{△BOC} + S_{△AOC}$
$= \frac{1}{2}AB·OE + \frac{1}{2}BC·OD + \frac{1}{2}AC·OF$
$= \frac{1}{2}(AB + BC + AC) × 3$
$= \frac{1}{2}×21×3 = \frac{63}{2}$
【答案】
$\frac{63}{2}$
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算、割补法求面积
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题，解题核心是利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，通过构造辅助线将大三角形面积转化为三个等高小三角形的面积和，结合周长条件即可快速求解，需要熟练掌握此类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7
