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1. [2026合肥庐阳区段考]如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H。若PH=10，则点P与射线OA上某一点连线的长度可以是（
A.7
B.8
C.9
D.11
D
）A.7
B.8
C.9
D.11
答案
1 D 如图,过点 P 作 PD ⊥ OA 于点 D,M 是 OA 上任意一点,连接 PM.
∵ OC 平分∠AOB,PH ⊥ OB,PD ⊥ OA,
∴ PD = PH = 10. 根据垂线段最短,可知 PM≥PD,即点 P 与射线 OA 上某点连线的长度大于等于 10. 结合选项知 D 正确.
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，已知OC是∠AOB的角平分线，P在OC上且PH⊥OB，可优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可求出点P到OA的距离。再根据垂线段最短的性质，可知点P到射线OA上任意一点的连线长度都不小于该垂线段的长度，最后对比选项选出符合取值范围的结果即可。
【解析】
过点P作PD⊥OA于点D，任取射线OA上一点M，连接PM。
∵ OC平分∠AOB，PH⊥OB，PD⊥OA，
∴ 根据角平分线的性质定理，可得PD = PH = 10。
根据垂线段最短的性质可知，PM≥PD，即点P与射线OA上任意一点连线的长度都大于等于10。
结合给出的选项，只有11满足大于等于10的要求，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题考查基础几何性质的应用，解题关键是先利用角平分线性质求出点P到OA的距离，再结合垂线段最短确定线段长度的取值范围，能够有效检验学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，已知OC是∠AOB的角平分线，P在OC上且PH⊥OB，可优先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可求出点P到OA的距离。再根据垂线段最短的性质，可知点P到射线OA上任意一点的连线长度都不小于该垂线段的长度，最后对比选项选出符合取值范围的结果即可。
【解析】
过点P作PD⊥OA于点D，任取射线OA上一点M，连接PM。
∵ OC平分∠AOB，PH⊥OB，PD⊥OA，
∴ 根据角平分线的性质定理，可得PD = PH = 10。
根据垂线段最短的性质可知，PM≥PD，即点P与射线OA上任意一点连线的长度都大于等于10。
结合给出的选项，只有11满足大于等于10的要求，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题考查基础几何性质的应用，解题关键是先利用角平分线性质求出点P到OA的距离，再结合垂线段最短确定线段长度的取值范围，能够有效检验学生对基础定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
2. [2026池州期末]如图,在$△ ABC$中,CD是AB边上的高,BE平分$∠ ABC$,交CD于点E,BC=6,DE=2,则$△ BCE$的面积等于
6
.答案
2 6 如图,过点 E 作 EF ⊥ BC 于点 F.
∵ BE 平分 ∠ABC,EF ⊥ BC,ED ⊥ AB,
∴ EF = DE = 2,
∴ △BCE 的面积为$\frac{1}{2}BC × EF = \frac{1}{2}×6×2 = 6.$
解析
【分析】
要求△BCE的面积，已知底边BC的长度，只需要求出BC边上的高即可。观察已知条件，BE是∠ABC的角平分线，CD是AB边上的高，即DE⊥AB、DE=2，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以过E作BC的垂线EF，那么EF的长度就等于DE的长度，得到BC边上的高后，代入三角形面积公式就能求出面积。
【解析】
如图，过点E作EF⊥BC于点F。
∵ BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB（CD是AB边上的高），
∴ 根据角平分线的性质，可得EF = DE = 2，
∴ △BCE的面积 = $\frac{1}{2}×BC×EF = \frac{1}{2}×6×2 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线性质的灵活应用，解题的关键是通过作辅助线构造出角平分线上的点到角两边的距离，将已知线段长度转化为所求三角形的高，这类题是几何中求面积的常见题型。
【难度系数】
0.7
要求△BCE的面积，已知底边BC的长度，只需要求出BC边上的高即可。观察已知条件，BE是∠ABC的角平分线，CD是AB边上的高，即DE⊥AB、DE=2，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以过E作BC的垂线EF，那么EF的长度就等于DE的长度，得到BC边上的高后，代入三角形面积公式就能求出面积。
【解析】
如图，过点E作EF⊥BC于点F。
∵ BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB（CD是AB边上的高），
∴ 根据角平分线的性质，可得EF = DE = 2，
∴ △BCE的面积 = $\frac{1}{2}×BC×EF = \frac{1}{2}×6×2 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线性质的灵活应用，解题的关键是通过作辅助线构造出角平分线上的点到角两边的距离，将已知线段长度转化为所求三角形的高，这类题是几何中求面积的常见题型。
【难度系数】
0.7
3. 教材P143T3变式 如图，BD是$∠ ABC$的平分线，$AB=BC$，点P在射线BD上，$PM⊥ AD$于点M，$PN⊥ CD$于点N. 求证:$PM=PN$. 
答案
3 证明:
∵ BD 是 ∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABD = ∠CBD.
在△ABD 和△CBD 中,$\begin{cases} AB = CB, \\ ∠ABD = ∠CBD, \\ BD = BD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△CBD(SAS),
∴ ∠ADB = ∠CDB,
∴ ∠ADP = ∠CDP,
∴ DP 为 ∠ADC 的平分线.
又
∵ PM ⊥ AD,PN ⊥ CD,
∴ PM = PN.
∵ BD 是 ∠ABC 的平分线,
∴ ∠ABD = ∠CBD.
在△ABD 和△CBD 中,$\begin{cases} AB = CB, \\ ∠ABD = ∠CBD, \\ BD = BD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△CBD(SAS),
∴ ∠ADB = ∠CDB,
∴ ∠ADP = ∠CDP,
∴ DP 为 ∠ADC 的平分线.
又
∵ PM ⊥ AD,PN ⊥ CD,
∴ PM = PN.
解析
【分析】
要证明PM=PN，可从结论倒推思路：根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点P在∠ADC的平分线上，即DP平分∠ADC。要得到∠ADP=∠CDP，可通过证明△ABD和△CBD全等实现。已知BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠CBD，又有AB=BC、公共边BD，刚好满足SAS全等的判定条件，全等后对应角相等即可推出DP是角平分线，最终得到PM=PN。
【解析】
证明：
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases} AB = CB, \\ ∠ABD = ∠CBD, \\ BD = BD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB，
∴ ∠ADP = ∠CDP，即DP为∠ADC的平分线。
又
∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN。
【答案】
PM=PN，证明过程如上。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、角平分线的性质定理
【点评】
本题是全等三角形与角平分线性质的综合基础题，解题的突破口是结合已知条件证明三角形全等，得到角相等后确定角平分线，再利用角平分线的性质即可得出结论，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.7
要证明PM=PN，可从结论倒推思路：根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需证明点P在∠ADC的平分线上，即DP平分∠ADC。要得到∠ADP=∠CDP，可通过证明△ABD和△CBD全等实现。已知BD是∠ABC的平分线，可得∠ABD=∠CBD，又有AB=BC、公共边BD，刚好满足SAS全等的判定条件，全等后对应角相等即可推出DP是角平分线，最终得到PM=PN。
【解析】
证明：
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases} AB = CB, \\ ∠ABD = ∠CBD, \\ BD = BD, \end{cases}$
∴ △ABD≌△CBD（SAS），
∴ ∠ADB = ∠CDB，
∴ ∠ADP = ∠CDP，即DP为∠ADC的平分线。
又
∵ PM⊥AD，PN⊥CD，
∴ PM = PN。
【答案】
PM=PN，证明过程如上。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、角平分线的性质定理
【点评】
本题是全等三角形与角平分线性质的综合基础题，解题的突破口是结合已知条件证明三角形全等，得到角相等后确定角平分线，再利用角平分线的性质即可得出结论，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.7
4. [2025亳州期末]两个完全一样的三角板按如图所示方式摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（
A.∠A的平分线上
B.AC边的高上
C.BC边的垂直平分线上
D.AB边的中线上
A
）A.∠A的平分线上
B.AC边的高上
C.BC边的垂直平分线上
D.AB边的中线上
答案
4 A 由角平分线的性质定理的逆定理可知,点 M 一定在∠A 的平分线上.
解析
【分析】
解题时先从已知条件“两个完全一样的三角板”入手，可知两个三角板对应的直角边长度相等，即点M到AB的距离、点M到AC的距离相等；再回忆角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，满足逆定理的条件，即可判断点M的位置。
【解析】
∵两个三角板完全一样，直角分别靠近AB边、AC边，
∴点M到AB边的距离等于点M到AC边的距离，且点M在∠BAC的内部，
根据角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，
∴点M一定在∠A的平分线上，故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线性质定理的逆定理；点到直线的距离
【点评】
本题是基础应用题，解题的关键是结合三角板的特征得到点M到∠A两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理即可得出结论，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“两个完全一样的三角板”入手，可知两个三角板对应的直角边长度相等，即点M到AB的距离、点M到AC的距离相等；再回忆角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，满足逆定理的条件，即可判断点M的位置。
【解析】
∵两个三角板完全一样，直角分别靠近AB边、AC边，
∴点M到AB边的距离等于点M到AC边的距离，且点M在∠BAC的内部，
根据角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，
∴点M一定在∠A的平分线上，故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线性质定理的逆定理；点到直线的距离
【点评】
本题是基础应用题，解题的关键是结合三角板的特征得到点M到∠A两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理即可得出结论，容易得分。
【难度系数】
0.8
5. [2025芜湖期末]如图,在$△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$DE ⊥ AB$于点$E$,$CD = DE$,$∠ CBD = 26°$,则$∠ A$的度数为 (
A.$40°$
B.$34°$
C.$36°$
D.$38°$
D
)A.$40°$
B.$34°$
C.$36°$
D.$38°$
答案
5 D
∵ DE ⊥ AB,DC ⊥ BC,DE = DC,
∴ BD 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABC = 2∠CBD = 52°,
∴ ∠A = 90° - ∠ABC = 90° - 52° = 38°.
∵ DE ⊥ AB,DC ⊥ BC,DE = DC,
∴ BD 平分 ∠ABC,
∴ ∠ABC = 2∠CBD = 52°,
∴ ∠A = 90° - ∠ABC = 90° - 52° = 38°.
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC是直角三角形，∠C=90°，DE垂直AB，且CD=DE。首先根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可判定BD是∠ABC的角平分线，由此能求出∠ABC的度数；再结合直角三角形两个锐角互余的性质，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠C = 90°，
∴DC⊥BC，
又
∵DE⊥AB，CD = DE，
∴BD平分∠ABC（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴∠ABC = 2∠CBD，
已知∠CBD = 26°，
∴∠ABC = 2×26° = 52°，
在Rt△ABC中，∠A + ∠ABC = 90°，
∴∠A = 90° - 52° = 38°。
【答案】D
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合已知条件正确识别BD为∠ABC的角平分线，再结合直角三角形的角度性质计算即可，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：△ABC是直角三角形，∠C=90°，DE垂直AB，且CD=DE。首先根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可判定BD是∠ABC的角平分线，由此能求出∠ABC的度数；再结合直角三角形两个锐角互余的性质，即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠C = 90°，
∴DC⊥BC，
又
∵DE⊥AB，CD = DE，
∴BD平分∠ABC（角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴∠ABC = 2∠CBD，
已知∠CBD = 26°，
∴∠ABC = 2×26° = 52°，
在Rt△ABC中，∠A + ∠ABC = 90°，
∴∠A = 90° - 52° = 38°。
【答案】D
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合已知条件正确识别BD为∠ABC的角平分线，再结合直角三角形的角度性质计算即可，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
6.如图，$CE ⊥ AB$于点$E$，$BF ⊥ AC$于点$F$，$CE$与$BF$相交于点$D$，连接$AD$，$BD = CD$. 求证：$AD$是$∠ BAC$的平分线.
答案
6 证明:
∵ CE ⊥ AB,BF ⊥ AC,
∴ ∠BED = ∠CFD = 90°.
在△BDE 和△CDF 中,$\begin{cases} ∠BED = ∠CFD, \\ ∠BDE = ∠CDF, \\ BD = CD, \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF(AAS),
∴ DE = DF.
∵ CE ⊥ AB,BF ⊥ AC,
∴ 点 D 在 ∠BAC 的平分线上,
∴ AD 是 ∠BAC 的平分线.
∵ CE ⊥ AB,BF ⊥ AC,
∴ ∠BED = ∠CFD = 90°.
在△BDE 和△CDF 中,$\begin{cases} ∠BED = ∠CFD, \\ ∠BDE = ∠CDF, \\ BD = CD, \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF(AAS),
∴ DE = DF.
∵ CE ⊥ AB,BF ⊥ AC,
∴ 点 D 在 ∠BAC 的平分线上,
∴ AD 是 ∠BAC 的平分线.
解析
【分析】
要证明AD是∠BAC的平分线，可依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的距离DE=DF即可。观察图形，结合已知条件BD=CD，CE⊥AB、BF⊥AC可得两个直角相等，再加上对顶角∠BDE=∠CDF，可通过AAS证明△BDE和△CDF全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=DF，进而推导出结论。
【解析】
证明：
∵ CE ⊥ AB，BF ⊥ AC，
∴ ∠BED = ∠CFD = 90°。
在△BDE 和△CDF 中，
$\begin{cases} ∠BED = ∠CFD \\ ∠BDE = ∠CDF \\ BD = CD \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF（AAS），
∴ DE = DF。
∵ CE ⊥ AB，BF ⊥ AC，即点D到AB的距离为DE，到AC的距离为DF，且DE=DF，
∴ 点D在∠BAC的平分线上，
∴ AD是∠BAC的平分线。
【答案】
AD是∠BAC的平分线
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质、角平分线的判定定理
【点评】
本题是典型的几何证明题，将全等三角形的性质与角平分线的判定相结合，解题的关键是找准全等三角形，推导得到点到角两边的距离相等，需要熟练掌握相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.8
要证明AD是∠BAC的平分线，可依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的距离DE=DF即可。观察图形，结合已知条件BD=CD，CE⊥AB、BF⊥AC可得两个直角相等，再加上对顶角∠BDE=∠CDF，可通过AAS证明△BDE和△CDF全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=DF，进而推导出结论。
【解析】
证明：
∵ CE ⊥ AB，BF ⊥ AC，
∴ ∠BED = ∠CFD = 90°。
在△BDE 和△CDF 中，
$\begin{cases} ∠BED = ∠CFD \\ ∠BDE = ∠CDF \\ BD = CD \end{cases}$
∴ △BDE≌△CDF（AAS），
∴ DE = DF。
∵ CE ⊥ AB，BF ⊥ AC，即点D到AB的距离为DE，到AC的距离为DF，且DE=DF，
∴ 点D在∠BAC的平分线上，
∴ AD是∠BAC的平分线。
【答案】
AD是∠BAC的平分线
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质、角平分线的判定定理
【点评】
本题是典型的几何证明题，将全等三角形的性质与角平分线的判定相结合，解题的关键是找准全等三角形，推导得到点到角两边的距离相等，需要熟练掌握相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.8
7. [2026合肥四十五中月考]如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（
A.$△ ABC$三条中线的交点处
B.$△ ABC$三边的垂直平分线的交点处
C.$△ ABC$三条角平分线的交点处
D.$△ ABC$三条高所在直线的交点处
C
）A.$△ ABC$三条中线的交点处
B.$△ ABC$三边的垂直平分线的交点处
C.$△ ABC$三条角平分线的交点处
D.$△ ABC$三条高所在直线的交点处
答案
7 C
解析
【分析】
解题首先明确题目的核心要求：找到到三角形三条边距离相等的点。首先回忆相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在角的平分线上。由此可以推导：要到三条边距离都相等，这个点需要同时在三个内角的角平分线上，也就是三角形三条角平分线的交点。再逐一对比各选项对应交点的性质，排除不符合的选项即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项对应的交点性质：
1. 选项A：三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是分每条中线的长度比为2:1（顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的2倍），没有到三边距离相等的性质，不符合要求；
2. 选项B：三角形三边垂直平分线的交点是外心，外心到三角形三个顶点的距离相等，不是到三边的距离相等，不符合要求；
3. 选项C：根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点，到三角形三条边的距离都相等，符合题目要求；
4. 选项D：三角形三条高所在直线的交点是垂心，没有到三边距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形内心
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊线段交点的性质，解题的关键是牢记“到三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，到三个顶点距离相等的点是三角形垂直平分线的交点”，避免两类性质混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题首先明确题目的核心要求：找到到三角形三条边距离相等的点。首先回忆相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在角的平分线上。由此可以推导：要到三条边距离都相等，这个点需要同时在三个内角的角平分线上，也就是三角形三条角平分线的交点。再逐一对比各选项对应交点的性质，排除不符合的选项即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项对应的交点性质：
1. 选项A：三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是分每条中线的长度比为2:1（顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的2倍），没有到三边距离相等的性质，不符合要求；
2. 选项B：三角形三边垂直平分线的交点是外心，外心到三角形三个顶点的距离相等，不是到三边的距离相等，不符合要求；
3. 选项C：根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此三角形三条角平分线的交点，到三角形三条边的距离都相等，符合题目要求；
4. 选项D：三角形三条高所在直线的交点是垂心，没有到三边距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形内心
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊线段交点的性质，解题的关键是牢记“到三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，到三个顶点距离相等的点是三角形垂直平分线的交点”，避免两类性质混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8. [2026 阜阳期末]如图，$△ ABC$ 的三边 $AB,BC,CA$ 的长分别为 40,50,60，$AO,BO,CO$ 分别平分 $∠ BAC,∠ ABC,∠ ACB$，则 $S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO} =$
4:5:6
。答案
8 4:5:6 如图,过点 O 分别作 OD ⊥ AB 于点 D,OE ⊥ AC 于点 E,OF ⊥ BC 于点 F.
∵ AO,BO,CO 分别平分 ∠BAC,∠ABC,∠ACB,
∴ OD = OE = OF.
∵ △ABC的三边 AB,BC,CA 的长分别为 40,50,60,
∴ $S_{△ABO}:S_{△BCO}:S_{△CAO} = (\frac{1}{2}AB·OD):(\frac{1}{2}BC·OF):(\frac{1}{2}AC·OE) = AB:BC:AC = 40:50:60 = 4:5:6.$
解析
【分析】
要求三个三角形的面积比，首先回忆三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$。观察$△ ABO$、$△ BCO$、$△ CAO$，三个三角形的公共顶点为O，底边分别是$△ ABC$的三边AB、BC、CA。已知AO、BO、CO是$△ ABC$三个内角的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出点O到$△ ABC$三边的距离相等，即三个三角形对应底边上的高相等，因此三个三角形的面积比等于对应底边长的比，代入三边长度化简比值即可得到结果。
【解析】
如图，过点O分别作$OD ⊥ AB$于点D，$OE ⊥ AC$于点E，$OF ⊥ BC$于点F。
$\because AO,BO,CO$分别平分$∠ BAC,∠ ABC,∠ ACB$，根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore OD=OE=OF$。
$\because △ ABC$的三边$AB,BC,CA$的长分别为40,50,60，结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可得：
$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=(\frac{1}{2}AB·OD):(\frac{1}{2}BC·OF):(\frac{1}{2}AC·OE)$
由于$OD=OE=OF$，$\frac{1}{2}$为公因子，约分后得：
$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=AB:BC:AC=40:50:60=4:5:6$
【答案】
$4:5:6$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比例化简
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是通过角平分线的性质得到三个三角形的高相等，将面积比转化为对应底边长的比，过角平分线交点作各边的垂线是此类题的常用辅助线做法。
【难度系数】
0.8
要求三个三角形的面积比，首先回忆三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$。观察$△ ABO$、$△ BCO$、$△ CAO$，三个三角形的公共顶点为O，底边分别是$△ ABC$的三边AB、BC、CA。已知AO、BO、CO是$△ ABC$三个内角的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出点O到$△ ABC$三边的距离相等，即三个三角形对应底边上的高相等，因此三个三角形的面积比等于对应底边长的比，代入三边长度化简比值即可得到结果。
【解析】
如图，过点O分别作$OD ⊥ AB$于点D，$OE ⊥ AC$于点E，$OF ⊥ BC$于点F。
$\because AO,BO,CO$分别平分$∠ BAC,∠ ABC,∠ ACB$，根据角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore OD=OE=OF$。
$\because △ ABC$的三边$AB,BC,CA$的长分别为40,50,60，结合三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可得：
$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=(\frac{1}{2}AB·OD):(\frac{1}{2}BC·OF):(\frac{1}{2}AC·OE)$
由于$OD=OE=OF$，$\frac{1}{2}$为公因子，约分后得：
$S_{△ ABO}:S_{△ BCO}:S_{△ CAO}=AB:BC:AC=40:50:60=4:5:6$
【答案】
$4:5:6$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比例化简
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题核心是通过角平分线的性质得到三个三角形的高相等，将面积比转化为对应底边长的比，过角平分线交点作各边的垂线是此类题的常用辅助线做法。
【难度系数】
0.8
