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1.「2025陕西中考」计算$2a^2 · ab$的结果为（
A.$4a^2b$
B.$4a^3b$
C.$2a^2b$
D.$2a^3b$
D
）A.$4a^2b$
B.$4a^3b$
C.$2a^2b$
D.$2a^3b$
答案
D
2.「2026福建泉州月考」已知单项式$-3x^3y^2$与$\frac{1}{3}x^3y^m$是同类项,则这两个单项式的积是（
A.$-x^6y^4$
B.$x^6y^4$
C.$-3x^3y^2$
D.$-\frac{8}{3}x^3y^2$
A
）A.$-x^6y^4$
B.$x^6y^4$
C.$-3x^3y^2$
D.$-\frac{8}{3}x^3y^2$
答案
$\because$ 单项式$-3x^3 y^2$与$\frac{1}{3}x^3 y^m$是同类项,$\therefore m=2$.
$-3x^3 y^2 · \frac{1}{3}x^3 y^2 = [ (-3)×\frac{1}{3} ] · (x^3 · x^3) · (y^2 · y^2) = -x^6 y^4$.
$-3x^3 y^2 · \frac{1}{3}x^3 y^2 = [ (-3)×\frac{1}{3} ] · (x^3 · x^3) · (y^2 · y^2) = -x^6 y^4$.
3.「2026海南海口期中」若单项式$-4m^{a}n$与$\frac{1}{2}m^{2}n^{b}$的积为$-2m^{7}n^{6}$，则$ab$的算术平方根为
5
。答案
答案 5
解析 $-4m^a n × \frac{1}{2}m^2 n^b = -2m^{a+2} n^{1+b} = -2m^7 n^6$,
$\therefore a+2=7,1+b=6$,解得 $a=5,b=5,\therefore \sqrt{ab}=\sqrt{25}=5$.
解析 $-4m^a n × \frac{1}{2}m^2 n^b = -2m^{a+2} n^{1+b} = -2m^7 n^6$,
$\therefore a+2=7,1+b=6$,解得 $a=5,b=5,\therefore \sqrt{ab}=\sqrt{25}=5$.
4. 学科$\frac{特色}{教材变式}$ 光的速度约为$3×10^{8}$米/秒，某天文台测出某行星射出的光到地球需要$9.8×10^{12}$秒，则该行星离地球的距离为
$2.94×10^{21}$
米。答案
答案 $2.94×10^{21}$
解析 $3×10^8 ×9.8×10^{12} = 2.94×10^{21}$米.
解析 $3×10^8 ×9.8×10^{12} = 2.94×10^{21}$米.
5.计算：
(1)$(3a)^2 · a^4 + a · a^5 - (-a^3)^2.$
(2)$a^3b^2 · (-b^2)^2 + (-2ab^2)^3.$
(1)$(3a)^2 · a^4 + a · a^5 - (-a^3)^2.$
(2)$a^3b^2 · (-b^2)^2 + (-2ab^2)^3.$
答案
(1)$(3a)^2 · a^4 + a · a^5 - (-a^3)^2 = 9a^2 · a^4 + a^6 - a^6 = 9a^6 + a^6 - a^6 = 9a^6$.
(2)$a^3 b^2 · (-b^2)^2 + (-2ab^2)^3 = a^3 b^2 · b^4 - 8a^3 b^6 = a^3 b^6 - 8a^3 b^6 = -7a^3 b^6$.
(2)$a^3 b^2 · (-b^2)^2 + (-2ab^2)^3 = a^3 b^2 · b^4 - 8a^3 b^6 = a^3 b^6 - 8a^3 b^6 = -7a^3 b^6$.
6.先化简,再求值:$-2a^2b^3 · (-ab^2)^2 + (-\dfrac{1}{2}a^2b^3)^2 · 4b$,其中$a=2,b=1$.
答案
原式$=-2a^2 b^3 · a^2 b^4 + \frac{1}{4}a^4 b^6 · 4b$
$=-2a^4 b^7 + a^4 b^7 = -a^4 b^7$.
当 $a=2,b=1$ 时,原式$=-2^4 ×1^7 = -16$.
$=-2a^4 b^7 + a^4 b^7 = -a^4 b^7$.
当 $a=2,b=1$ 时,原式$=-2^4 ×1^7 = -16$.
7.「2026河北邯郸期中，★☆」若$(2xy^2)^3 · \frac{1}{4}(x^m y^n)^2 = 2x^7 y^8$，则（
A.$m=4,n=2$
B.$m=3,n=3$
C.$m=2,n=1$
D.$m=3,n=1$
C
）A.$m=4,n=2$
B.$m=3,n=3$
C.$m=2,n=1$
D.$m=3,n=1$
答案
$\because (2xy^2)^3 · \frac{1}{4}(x^m y^n)^2 = 8x^3 y^6 · \frac{1}{4}x^{2m} y^{2n} = 2x^{3+2m} y^{6+2n} = 2x^7 y^8$,$\therefore 3+2m=7,6+2n=8$,$\therefore m=2,n=1$.
故选 C.
故选 C.
8.「2026湖南郴州月考，★☆」将一个长为$2×10^{6}$分米，宽为$4×10^{4}$分米，高为$8×10^{2}$分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池中净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为
$4×10^4$
分米。答案
答案 $4×10^4$
解析 $\sqrt[3]{2×10^6 ×4×10^4 ×8×10^2} = \sqrt[3]{64×10^{12}} = 4×10^4$(分米),即正方体贮水池的棱长为$4×10^4$分米.
解析 $\sqrt[3]{2×10^6 ×4×10^4 ×8×10^2} = \sqrt[3]{64×10^{12}} = 4×10^4$(分米),即正方体贮水池的棱长为$4×10^4$分米.
9.「2026 山东临沂期中，★☆」现定义一种新的运算“*”，规定：$A * B = 2A^2 · B$. 若 $A = 4x^2y$，$B = \frac{1}{2}xy^3$，求 $A * B$ 的运算结果.
答案
$\because A * B = 2A^2 · B$,$A = 4x^2 y$,$B = \frac{1}{2}xy^3$,
$\therefore A * B = 2×(4x^2 y)^2 ×\frac{1}{2}xy^3 = 2×16x^4 y^2 ×\frac{1}{2}xy^3 = 16x^5 y^5$.
$\therefore A * B = 2×(4x^2 y)^2 ×\frac{1}{2}xy^3 = 2×16x^4 y^2 ×\frac{1}{2}xy^3 = 16x^5 y^5$.
10.「2025山东烟台一中期末，★☆」已知$x^n=2,y^n=3$。
(1)求$(-xy)^{2n}· \frac{1}{4}x^{2n}y^n$的值。
(2)若$x^{3n+1}· y^{3n+1}=64$，求$xy$的值。
(1)求$(-xy)^{2n}· \frac{1}{4}x^{2n}y^n$的值。
(2)若$x^{3n+1}· y^{3n+1}=64$，求$xy$的值。
答案
(1)$\because x^n = 2$,$y^n = 3$,
$\therefore (-xy)^{2n} · \frac{1}{4}x^{2n} y^n = x^{2n} y^{2n} · \frac{1}{4}x^{2n} y^n = \frac{1}{4}x^{4n} y^{3n} = \frac{1}{4}(x^n)^4 · (y^n)^3 = \frac{1}{4}×2^4 ×3^3 = \frac{1}{4}×16×27 = 108$.
(2)$\because x^{3n+1} · y^{3n+1} = 64$,$\therefore x^{3n} · x · y^{3n} · y = 64$,
$\therefore (x^n)^3 · (y^n)^3 · xy = 64$,$\therefore 2^3 ×3^3 xy = 64$,
$\therefore 216xy = 64$,$\therefore xy = \frac{8}{27}$.
$\therefore (-xy)^{2n} · \frac{1}{4}x^{2n} y^n = x^{2n} y^{2n} · \frac{1}{4}x^{2n} y^n = \frac{1}{4}x^{4n} y^{3n} = \frac{1}{4}(x^n)^4 · (y^n)^3 = \frac{1}{4}×2^4 ×3^3 = \frac{1}{4}×16×27 = 108$.
(2)$\because x^{3n+1} · y^{3n+1} = 64$,$\therefore x^{3n} · x · y^{3n} · y = 64$,
$\therefore (x^n)^3 · (y^n)^3 · xy = 64$,$\therefore 2^3 ×3^3 xy = 64$,
$\therefore 216xy = 64$,$\therefore xy = \frac{8}{27}$.
