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14.如图所示，已知CD平分∠MCB，点F在线段BC上，FH⊥NB于点H，∠1=132°，∠2=∠3，∠MCB=48°。
（1）求证：NB⊥CD；
（2）求∠NDE的度数.
（1）求证：NB⊥CD；
（2）求∠NDE的度数.
答案
14.(1)略
(2)$∠ NDE=66°$.
(2)$∠ NDE=66°$.
解析
【分析】
（1）要证NB⊥CD，已知FH⊥NB，因此只需证明CD//FH即可。先根据∠1和∠MCB的度数关系判定DE//BC，结合角平分线性质和∠2=∠3的条件，推导得到∠3=∠DCB，即可判定CD//FH，进而得到垂直关系。
（2）求∠NDE的度数，由DE//BC可得∠NDE=∠B，先在Rt△FHB中根据∠3的度数求出∠B的度数，即可得到∠NDE的大小。
【解析】
（1）证明：
∵ CD平分∠MCB，∠MCB=48°，
∴ $∠ DCB=\frac{1}{2}∠ MCB=24°$，
∵ $∠1=132°$，
∴ $∠1+∠ MCB=132°+48°=180°$，
∴ DE//BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴ $∠2=∠ DCB$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠2=∠3$，
∴ $∠3=∠ DCB=24°$，
∴ CD//FH（同位角相等，两直线平行），
∵ FH⊥NB，
∴ NB⊥CD（一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）。
（2）解：
∵ FH⊥NB，
∴ $∠ FHB=90°$，
在Rt△FHB中，$∠ B+∠3=90°$，
∴ $∠ B=90°-∠3=90°-24°=66°$，
由（1）知DE//BC，
∴ $∠ NDE=∠ B=66°$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{66°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过角的数量关系推导平行线，再利用平行线的性质转化角的关系，解题时要注意平行线判定和性质的区别，不要混淆因果逻辑。
【难度系数】
0.7
（1）要证NB⊥CD，已知FH⊥NB，因此只需证明CD//FH即可。先根据∠1和∠MCB的度数关系判定DE//BC，结合角平分线性质和∠2=∠3的条件，推导得到∠3=∠DCB，即可判定CD//FH，进而得到垂直关系。
（2）求∠NDE的度数，由DE//BC可得∠NDE=∠B，先在Rt△FHB中根据∠3的度数求出∠B的度数，即可得到∠NDE的大小。
【解析】
（1）证明：
∵ CD平分∠MCB，∠MCB=48°，
∴ $∠ DCB=\frac{1}{2}∠ MCB=24°$，
∵ $∠1=132°$，
∴ $∠1+∠ MCB=132°+48°=180°$，
∴ DE//BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴ $∠2=∠ DCB$（两直线平行，内错角相等），
又
∵ $∠2=∠3$，
∴ $∠3=∠ DCB=24°$，
∴ CD//FH（同位角相等，两直线平行），
∵ FH⊥NB，
∴ NB⊥CD（一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）。
（2）解：
∵ FH⊥NB，
∴ $∠ FHB=90°$，
在Rt△FHB中，$∠ B+∠3=90°$，
∴ $∠ B=90°-∠3=90°-24°=66°$，
由（1）知DE//BC，
∴ $∠ NDE=∠ B=66°$（两直线平行，同位角相等）。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{66°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过角的数量关系推导平行线，再利用平行线的性质转化角的关系，解题时要注意平行线判定和性质的区别，不要混淆因果逻辑。
【难度系数】
0.7
15. 如图1所示，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接AB，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线AB上的点$B'$处，折痕MN交AB于点Q.
（1）①判断折痕MN与AB的位置关系，并说明理由；
②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其他与AB有①中位置关系的折痕，其中的数学道理是
（2）在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与AB平行的折痕DE（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由；
（3）将图2的纸片展平得到图3，点S是线段FG上一动点（不与点E重合），若$∠DEF=26°$，$∠EDS=α$，$∠CAS=β$，请直接写出$∠DSA$的度数.（用$α$，$β$的代数式表示）
（1）①判断折痕MN与AB的位置关系，并说明理由；
②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其他与AB有①中位置关系的折痕，其中的数学道理是
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
；（2）在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与AB平行的折痕DE（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由；
（3）将图2的纸片展平得到图3，点S是线段FG上一动点（不与点E重合），若$∠DEF=26°$，$∠EDS=α$，$∠CAS=β$，请直接写出$∠DSA$的度数.（用$α$，$β$的代数式表示）
答案
15.(1)①$MN⊥ AB$;理由略.
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)略
(3)$∠ DSA=β-α-26°$
或$∠ DSA=β+α-26°$.
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)略
(3)$∠ DSA=β-α-26°$
或$∠ DSA=β+α-26°$.
解析
【分析】
（1）①解题时先回忆折叠的性质：折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，本题中点B折叠后落在$B'$处，因此折痕MN是线段$BB'$的垂直平分线，结合$B'$在直线AB上，即可推出MN与AB的位置关系；②已知MN与AB垂直，“过点P再也折不出其他同位置关系的折痕”对应垂线的基本事实，直接依据性质作答即可。
（2）要折出与AB平行的折痕，结合（1）的结论可知过点P且垂直于AB的直线是MN，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，只需折出过点P且垂直于MN的折痕，该折痕就与AB平行，结合折叠性质设计折法即可。
（3）正方形对边$FG// AC$，可过点S作平行线，利用平行线内错角相等的性质，分点S在线段FE上、点S在线段EG上两种情况讨论，即可推导出$∠DSA$的表达式。
【解析】
（1）①$MN⊥AB$，理由如下：
由折叠的性质可得，折痕MN垂直平分线段$BB'$，
∵点$B'$在直线AB上，
∴$MN⊥AB$。
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，因此过点P只能折出一条与AB垂直的折痕。
（2）折叠方法：过点P折叠纸片，使折痕MN上位于P两侧的部分重合，展开后得到的折痕DE即为所求。
理由：由折叠性质可知$DE⊥MN$，又
∵$MN⊥AB$，
∴$DE// AB$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
（3）
∵正方形的对边$FG// AC$，过点S作直线平行于FG，可得该直线同时平行于FG和AC，结合平行线的内错角性质分情况推导：
当点S在线段FE上时，可得$∠DSA=β-α-26°$；
当点S在线段EG上时，可得$∠DSA=β+α-26°$。
【答案】
(1)①$MN⊥AB$，理由见解析；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(2)折叠方法及理由见解析；
(3)$∠DSA=β-α-26°$或$∠DSA=β+α-26°$
【知识点】
折叠的性质；垂线的基本事实；平行线的判定与性质
【点评】
本题结合折叠操作考查平面内直线的位置关系，注重对动手操作能力和几何推理能力的考查，解题时要熟练掌握折叠、平行线和垂线的相关性质，分类讨论是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.65
（1）①解题时先回忆折叠的性质：折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，本题中点B折叠后落在$B'$处，因此折痕MN是线段$BB'$的垂直平分线，结合$B'$在直线AB上，即可推出MN与AB的位置关系；②已知MN与AB垂直，“过点P再也折不出其他同位置关系的折痕”对应垂线的基本事实，直接依据性质作答即可。
（2）要折出与AB平行的折痕，结合（1）的结论可知过点P且垂直于AB的直线是MN，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，只需折出过点P且垂直于MN的折痕，该折痕就与AB平行，结合折叠性质设计折法即可。
（3）正方形对边$FG// AC$，可过点S作平行线，利用平行线内错角相等的性质，分点S在线段FE上、点S在线段EG上两种情况讨论，即可推导出$∠DSA$的表达式。
【解析】
（1）①$MN⊥AB$，理由如下：
由折叠的性质可得，折痕MN垂直平分线段$BB'$，
∵点$B'$在直线AB上，
∴$MN⊥AB$。
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，因此过点P只能折出一条与AB垂直的折痕。
（2）折叠方法：过点P折叠纸片，使折痕MN上位于P两侧的部分重合，展开后得到的折痕DE即为所求。
理由：由折叠性质可知$DE⊥MN$，又
∵$MN⊥AB$，
∴$DE// AB$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
（3）
∵正方形的对边$FG// AC$，过点S作直线平行于FG，可得该直线同时平行于FG和AC，结合平行线的内错角性质分情况推导：
当点S在线段FE上时，可得$∠DSA=β-α-26°$；
当点S在线段EG上时，可得$∠DSA=β+α-26°$。
【答案】
(1)①$MN⊥AB$，理由见解析；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
(2)折叠方法及理由见解析；
(3)$∠DSA=β-α-26°$或$∠DSA=β+α-26°$
【知识点】
折叠的性质；垂线的基本事实；平行线的判定与性质
【点评】
本题结合折叠操作考查平面内直线的位置关系，注重对动手操作能力和几何推理能力的考查，解题时要熟练掌握折叠、平行线和垂线的相关性质，分类讨论是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.65
