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1.「2026山西朔州期中」图①是2025年10月份的月历，小乐在其中画出一个3×3的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数进行的运算“$(a+d)-(b+c)$”的值，探索该运算结果的规律.
【初步分析】
(1) 计算图①中$(7+23)-(9+21)$的结果为
【数学思考】
(2) 小乐认为(1)中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整.
解:设$a = x$，则$b = x + 2$，$c = x + 14$，$d =$
【拓广探究】
(3) 同学们利用小乐的方法，借助图①中的月历，在月历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“$(a+d)-(b+c)$”的值的规律，写出你的结论，并说明理由.
【初步分析】
(1) 计算图①中$(7+23)-(9+21)$的结果为
0
，将$3×3$的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现$(a+d)-(b+c)$的值均为0
.【数学思考】
(2) 小乐认为(1)中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整.
解:设$a = x$，则$b = x + 2$，$c = x + 14$，$d =$
x+16
，所以$(a+d)-(b+c)=($x+x+16
$)-(x+2+x+14)=$0
，所以$(a+d)-(b+c)$的值均为0
.【拓广探究】
(3) 同学们利用小乐的方法，借助图①中的月历，在月历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“$(a+d)-(b+c)$”的值的规律，写出你的结论，并说明理由.
答案
(1) $(7+23)-(9+21)=30-30=0$；
将$3×3$的方框移动到题图①中的其他位置,通过计算可以发现$(a+d)-(b+c)$的值均为0.
故答案为0;0.
(2) 设$a=x$,则$b=x+2,c=x+14,d=x+16$,
所以$(a+d)-(b+c)=(x+x+16)-(x+2+x+14)=0$,
所以$(a+d)-(b+c)$的值均为0.
故答案为$x+16;x+x+16;0;0$.
(3) $(a+d)-(b+c)=0$.理由：
设$a=x$,则$b=x+1,c=x+8,d=x+9$,
所以$(a+d)-(b+c)=(x+x+9)-(x+1+x+8)=0$.
将$3×3$的方框移动到题图①中的其他位置,通过计算可以发现$(a+d)-(b+c)$的值均为0.
故答案为0;0.
(2) 设$a=x$,则$b=x+2,c=x+14,d=x+16$,
所以$(a+d)-(b+c)=(x+x+16)-(x+2+x+14)=0$,
所以$(a+d)-(b+c)$的值均为0.
故答案为$x+16;x+x+16;0;0$.
(3) $(a+d)-(b+c)=0$.理由：
设$a=x$,则$b=x+1,c=x+8,d=x+9$,
所以$(a+d)-(b+c)=(x+x+9)-(x+1+x+8)=0$.
解析
【分析】
首先明确月历的数字排布规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。
(1) 先直接计算给定算式的结果，再移动方框验证多组数据，即可发现运算结果的规律；
(2) 根据月历数字规律，用含x的代数式表示出d，再代入原式化简，即可验证规律的普遍性；
(3) 对Z型框，同样先设a为x，根据Z型位置关系用含x的代数式表示出b、c、d，代入$(a+d)-(b+c)$化简，即可得到对应规律。
【解析】
(1) 计算$(7+23)-(9+21)=30-30=0$；将方框移动到其他位置，例如取$a=14,b=16,c=28,d=30$，计算得$(14+30)-(16+28)=44-44=0$，可知运算结果均为0。
(2) 设$a=x$，b与a同行且间隔1个数，故$b=x+2$；c与a同列且间隔1行，故$c=x+7×2=x+14$；d与c同行且间隔1个数，故$d=x+14+2=x+16$。代入原式得：
$(a+d)-(b+c)=(x+x+16)-(x+2+x+14)=2x+16-2x-16=0$，故结果恒为0。
(3) 结论：$(a+d)-(b+c)=0$，理由如下：
设$a=x$，b与a同行相邻，故$b=x+1$；c在b的下一行左侧相邻位置，故$c=(x+1)+7-1=x+8$；d与c同行相邻，故$d=x+8+1=x+9$。
代入得：$(a+d)-(b+c)=(x+x+9)-(x+1+x+8)=2x+9-2x-9=0$。
【答案】
(1) $\boxed{0}$；$\boxed{0}$
(2) $\boxed{x+16}$；$\boxed{x+x+16}$；$\boxed{0}$；$\boxed{0}$
(3) 结论：$\boxed{(a+d)-(b+c)=0}$，理由见解析。
【知识点】
月历数字规律，代数式化简，整式加减运算
【点评】
本题以月历为载体考查数字规律探究问题，核心是掌握月历中数字的排布特点，通过设未知数表示各位置的数，再利用整式加减运算验证规律，体现了特殊到一般的探究思路。
【难度系数】
0.7
首先明确月历的数字排布规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。
(1) 先直接计算给定算式的结果，再移动方框验证多组数据，即可发现运算结果的规律；
(2) 根据月历数字规律，用含x的代数式表示出d，再代入原式化简，即可验证规律的普遍性；
(3) 对Z型框，同样先设a为x，根据Z型位置关系用含x的代数式表示出b、c、d，代入$(a+d)-(b+c)$化简，即可得到对应规律。
【解析】
(1) 计算$(7+23)-(9+21)=30-30=0$；将方框移动到其他位置，例如取$a=14,b=16,c=28,d=30$，计算得$(14+30)-(16+28)=44-44=0$，可知运算结果均为0。
(2) 设$a=x$，b与a同行且间隔1个数，故$b=x+2$；c与a同列且间隔1行，故$c=x+7×2=x+14$；d与c同行且间隔1个数，故$d=x+14+2=x+16$。代入原式得：
$(a+d)-(b+c)=(x+x+16)-(x+2+x+14)=2x+16-2x-16=0$，故结果恒为0。
(3) 结论：$(a+d)-(b+c)=0$，理由如下：
设$a=x$，b与a同行相邻，故$b=x+1$；c在b的下一行左侧相邻位置，故$c=(x+1)+7-1=x+8$；d与c同行相邻，故$d=x+8+1=x+9$。
代入得：$(a+d)-(b+c)=(x+x+9)-(x+1+x+8)=2x+9-2x-9=0$。
【答案】
(1) $\boxed{0}$；$\boxed{0}$
(2) $\boxed{x+16}$；$\boxed{x+x+16}$；$\boxed{0}$；$\boxed{0}$
(3) 结论：$\boxed{(a+d)-(b+c)=0}$，理由见解析。
【知识点】
月历数字规律，代数式化简，整式加减运算
【点评】
本题以月历为载体考查数字规律探究问题，核心是掌握月历中数字的排布特点，通过设未知数表示各位置的数，再利用整式加减运算验证规律，体现了特殊到一般的探究思路。
【难度系数】
0.7
2. 聚焦中考代数推理「2026山东临沂期中」请认真阅读下框中的内容，并完成相应的任务。
任务：
(1)①猜想:将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被
②验证:若这个“对称数”是787，请通过计算验证猜想。
(2)设一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，请你通过计算说明猜想是正确的。
任务：
(1)①猜想:将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被
9
整除。②验证:若这个“对称数”是787，请通过计算验证猜想。
(2)设一个对称数的百位数字与个位数字均为x，十位数字为y，请你通过计算说明猜想是正确的。
答案
(1)①根据给出的示例可得,所得结果能够被9整除.故答案为9.
②证明:将“对称数”787减去其各位数字之和,得
$787-(7+8+7)=765=9×85$,
所以所得结果能够被9整除,
所以猜想正确.
(2)证明:依题意得,$100x+10y+x-(x+y+x)$
$=100x+10y+x-x-y-x=99x+9y=9(11x+y)$,
所以结果能被9整除,所以猜想是正确的.
②证明:将“对称数”787减去其各位数字之和,得
$787-(7+8+7)=765=9×85$,
所以所得结果能够被9整除,
所以猜想正确.
(2)证明:依题意得,$100x+10y+x-(x+y+x)$
$=100x+10y+x-x-y-x=99x+9y=9(11x+y)$,
所以结果能被9整除,所以猜想是正确的.
解析
【分析】
解决(1)①时，观察题目给出的3个对称数的计算结果，最终都写成了9乘整数的形式，因此可猜想结果能被9整除；解决(1)②时，直接按照示例的计算方法，先算787的各位数字之和，再用787减去这个和，看结果是否为9的倍数即可验证；解决(2)时，先根据三位数的表示方法，把百位为x、十位为y、个位为x的对称数用含x、y的代数式表示出来，再减去它的各位数字之和，对得到的整式进行化简，若最终化简结果含有因数9，就能证明猜想正确。
【解析】
(1)①观察给出的等式可知，所有对称数减去各位数字之和的结果都为9的整数倍，因此猜想所得结果能够被9整除。
②当对称数为787时，先计算各位数字之和：$7+8+7=22$，再做差：$787-22=765$，拆分结果得$765=9×85$，所得结果是9的整数倍，猜想验证成立。
(2)根据三位数的表示规则，百位数字为x、十位数字为y、个位数字为x的对称数可表示为$100x+10y+x$，它的各位数字之和为$x+y+x$，计算两者的差：
$\begin{aligned}&100x+10y+x-(x+y+x)\\=&101x+10y-2x-y\\=&99x+9y\\=&9(11x+y)\end{aligned}$
因为x、y均为整数，所以$11x+y$是整数，因此差为9的整数倍，能被9整除，猜想正确。
【答案】
(1)①$\boxed{9}$
②$787-(7+8+7)=765=9×85$，所得结果能够被9整除，猜想正确。
(2)经化简得差为$9(11x+y)$，结果能被9整除，猜想正确。
【知识点】
新定义运算，整式的加减，数的整除
【点评】
本题是典型的规律探究类问题，遵循“观察-猜想-验证-证明”的探究逻辑，既考查对新定义的理解应用能力，也考查从特殊到一般的代数推理能力，解题的核心是正确用代数式表示三位数，再通过整式化简完成证明。
【难度系数】
0.75
解决(1)①时，观察题目给出的3个对称数的计算结果，最终都写成了9乘整数的形式，因此可猜想结果能被9整除；解决(1)②时，直接按照示例的计算方法，先算787的各位数字之和，再用787减去这个和，看结果是否为9的倍数即可验证；解决(2)时，先根据三位数的表示方法，把百位为x、十位为y、个位为x的对称数用含x、y的代数式表示出来，再减去它的各位数字之和，对得到的整式进行化简，若最终化简结果含有因数9，就能证明猜想正确。
【解析】
(1)①观察给出的等式可知，所有对称数减去各位数字之和的结果都为9的整数倍，因此猜想所得结果能够被9整除。
②当对称数为787时，先计算各位数字之和：$7+8+7=22$，再做差：$787-22=765$，拆分结果得$765=9×85$，所得结果是9的整数倍，猜想验证成立。
(2)根据三位数的表示规则，百位数字为x、十位数字为y、个位数字为x的对称数可表示为$100x+10y+x$，它的各位数字之和为$x+y+x$，计算两者的差：
$\begin{aligned}&100x+10y+x-(x+y+x)\\=&101x+10y-2x-y\\=&99x+9y\\=&9(11x+y)\end{aligned}$
因为x、y均为整数，所以$11x+y$是整数，因此差为9的整数倍，能被9整除，猜想正确。
【答案】
(1)①$\boxed{9}$
②$787-(7+8+7)=765=9×85$，所得结果能够被9整除，猜想正确。
(2)经化简得差为$9(11x+y)$，结果能被9整除，猜想正确。
【知识点】
新定义运算，整式的加减，数的整除
【点评】
本题是典型的规律探究类问题，遵循“观察-猜想-验证-证明”的探究逻辑，既考查对新定义的理解应用能力，也考查从特殊到一般的代数推理能力，解题的核心是正确用代数式表示三位数，再通过整式化简完成证明。
【难度系数】
0.75
