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7.「2025 河南信阳淮滨期中」阅读材料：
我们规定$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc.$
例如：$\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}=(-3)×5-4×2=-15-8=-23.$
(1)按照这个规定,请你计算$\begin{vmatrix} 8 & -6 \\ -5 & 0.5 \end{vmatrix}$的值.
(2)按照这个规定,请你计算当$|m+2|+(n-4)^2=0$时,$\begin{vmatrix} 2m^2+3n^2 & 1 \\ m^2-2n^2 & -1 \end{vmatrix}$的值.
我们规定$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc.$
例如：$\begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}=(-3)×5-4×2=-15-8=-23.$
(1)按照这个规定,请你计算$\begin{vmatrix} 8 & -6 \\ -5 & 0.5 \end{vmatrix}$的值.
(2)按照这个规定,请你计算当$|m+2|+(n-4)^2=0$时,$\begin{vmatrix} 2m^2+3n^2 & 1 \\ m^2-2n^2 & -1 \end{vmatrix}$的值.
答案
(1)$\begin{vmatrix} 8 & -6 \\ -5 & 0.5 \end{vmatrix}=8×0.5 - (-6)×(-5)= 4-30=-26.$
(2)因为$|m+2|+(n-4)^2=0,$
所以$m+2=0,n-4=0,$所以$m=-2,n=4.$
所以$\begin{vmatrix} 2m^2+3n^2 & 1 \\ m^2-2n^2 & -1 \end{vmatrix}=-(2m^2+3n^2)-(m^2-2n^2)$
$=-2m^2-3n^2 -m^2 +2n^2 =-3m^2 -n^2 =-3×(-2)^2 -4^2$
$=-3×4-16=-12-16=-28.$
(2)因为$|m+2|+(n-4)^2=0,$
所以$m+2=0,n-4=0,$所以$m=-2,n=4.$
所以$\begin{vmatrix} 2m^2+3n^2 & 1 \\ m^2-2n^2 & -1 \end{vmatrix}=-(2m^2+3n^2)-(m^2-2n^2)$
$=-2m^2-3n^2 -m^2 +2n^2 =-3m^2 -n^2 =-3×(-2)^2 -4^2$
$=-3×4-16=-12-16=-28.$
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一小问是新定义运算的直接应用，首先明确题目给出的二阶行列式的计算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，只需将对应位置的数字代入公式，按照有理数的运算法则计算即可。
(2) 第二小问先结合非负数的性质求m、n的值：绝对值和偶次乘方都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此可列方程求出m、n的取值；再按照行列式的运算规则展开式子，先化简整式，再代入m、n的值计算，可减少计算错误。
【解析】
(1) 根据题中的新定义得：
$\begin{vmatrix} 8 & -6 \\ -5 & 0.5 \end{vmatrix}=8×0.5 - (-6)×(-5)= 4-30=-26$
(2) 因为绝对值和平方数都具有非负性，即$|m+2|≥0$，$(n-4)^2≥0$，且$|m+2|+(n-4)^2=0$，
所以$m+2=0$，$n-4=0$，解得：$m=-2$，$n=4$。
再根据新定义展开行列式：
$\begin{vmatrix} 2m^2+3n^2 & 1 \\ m^2-2n^2 & -1 \end{vmatrix}=(2m^2+3n^2)×(-1) - 1×(m^2-2n^2)$
$=-2m^2-3n^2 -m^2 +2n^2 =-3m^2 -n^2$
将$m=-2$，$n=4$代入化简后的式子：
原式$=-3×(-2)^2 -4^2=-3×4-16=-12-16=-28$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-26}$；(2) $\boldsymbol{-28}$
【知识点】
新定义运算；非负数的性质；整式化简求值
【点评】
本题将新定义运算与整式运算、非负数性质相结合，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，同时要熟练掌握非负数的性质和整式加减的运算方法，注意去括号时的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一小问是新定义运算的直接应用，首先明确题目给出的二阶行列式的计算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，只需将对应位置的数字代入公式，按照有理数的运算法则计算即可。
(2) 第二小问先结合非负数的性质求m、n的值：绝对值和偶次乘方都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，由此可列方程求出m、n的取值；再按照行列式的运算规则展开式子，先化简整式，再代入m、n的值计算，可减少计算错误。
【解析】
(1) 根据题中的新定义得：
$\begin{vmatrix} 8 & -6 \\ -5 & 0.5 \end{vmatrix}=8×0.5 - (-6)×(-5)= 4-30=-26$
(2) 因为绝对值和平方数都具有非负性，即$|m+2|≥0$，$(n-4)^2≥0$，且$|m+2|+(n-4)^2=0$，
所以$m+2=0$，$n-4=0$，解得：$m=-2$，$n=4$。
再根据新定义展开行列式：
$\begin{vmatrix} 2m^2+3n^2 & 1 \\ m^2-2n^2 & -1 \end{vmatrix}=(2m^2+3n^2)×(-1) - 1×(m^2-2n^2)$
$=-2m^2-3n^2 -m^2 +2n^2 =-3m^2 -n^2$
将$m=-2$，$n=4$代入化简后的式子：
原式$=-3×(-2)^2 -4^2=-3×4-16=-12-16=-28$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-26}$；(2) $\boldsymbol{-28}$
【知识点】
新定义运算；非负数的性质；整式化简求值
【点评】
本题将新定义运算与整式运算、非负数性质相结合，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，同时要熟练掌握非负数的性质和整式加减的运算方法，注意去括号时的符号变化，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
8.「2026 四川广元期中」某同学做一道数学题：“两个多项式$A,B$,已知$B=x^2 -x +1$,试求$A-B$的值”时,他误将$A-B$看成$A+B$,结果答案为$-x^2 +2x +3$.
(1)试求$A-B$的正确结果.
(2)当$x=2$时,求$A-B$的值.
(1)试求$A-B$的正确结果.
(2)当$x=2$时,求$A-B$的值.
答案
(1)由题意得$A=-x^2 +2x +3 -(x^2 -x +1) =-x^2 +2x+3 -x^2 +x -1 =-2x^2 +3x +2,$
所以$A-B=-2x^2 +3x +2 -(x^2 -x +1) =-2x^2 +3x +2 -x^2 +x -1 =-3x^2 +4x +1.$
(2)由(1)知$A-B=-3x^2 +4x +1,$
当$x=2$时,$A-B=-3×2^2 +4×2 +1 =-12+8+1=-3.$
所以$A-B=-2x^2 +3x +2 -(x^2 -x +1) =-2x^2 +3x +2 -x^2 +x -1 =-3x^2 +4x +1.$
(2)由(1)知$A-B=-3x^2 +4x +1,$
当$x=2$时,$A-B=-3×2^2 +4×2 +1 =-12+8+1=-3.$
解析
【分析】
解题的核心是先求出多项式A的表达式。已知学生误将A-B算成A+B，得到的结果是$-x^2+2x+3$，且B的表达式已知，因此可通过$A=(A+B)-B$求出A，再代入A-B进行整式加减运算得到正确结果；第二问只需将$x=2$代入第一问得到的A-B的表达式中，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 由题意得$A+B=-x^2+2x+3$，已知$B=x^2 -x +1$，因此：
$A=(-x^2 +2x +3)-(x^2 -x +1)$
去括号得：$A=-x^2 +2x+3 -x^2 +x -1$
合并同类项得：$A=-2x^2 +3x +2$
再计算$A-B$：
$A-B=(-2x^2 +3x +2)-(x^2 -x +1)$
去括号得：$A-B=-2x^2 +3x +2 -x^2 +x -1$
合并同类项得：$A-B=-3x^2 +4x +1$
(2) 当$x=2$时，代入$A-B=-3x^2 +4x +1$得：
$A-B=-3×2^2 +4×2 +1$
$=-3×4+8+1$
$=-12+8+1$
$=-3$
【答案】
(1) $-3x^2 +4x +1$
(2) $-3$
【知识点】
整式的加减运算，代数式求值，合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础应用题型，解题关键是利用错误的运算结果反推未知多项式A，计算时要注意去括号的符号变化，代入求值需遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先求出多项式A的表达式。已知学生误将A-B算成A+B，得到的结果是$-x^2+2x+3$，且B的表达式已知，因此可通过$A=(A+B)-B$求出A，再代入A-B进行整式加减运算得到正确结果；第二问只需将$x=2$代入第一问得到的A-B的表达式中，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 由题意得$A+B=-x^2+2x+3$，已知$B=x^2 -x +1$，因此：
$A=(-x^2 +2x +3)-(x^2 -x +1)$
去括号得：$A=-x^2 +2x+3 -x^2 +x -1$
合并同类项得：$A=-2x^2 +3x +2$
再计算$A-B$：
$A-B=(-2x^2 +3x +2)-(x^2 -x +1)$
去括号得：$A-B=-2x^2 +3x +2 -x^2 +x -1$
合并同类项得：$A-B=-3x^2 +4x +1$
(2) 当$x=2$时，代入$A-B=-3x^2 +4x +1$得：
$A-B=-3×2^2 +4×2 +1$
$=-3×4+8+1$
$=-12+8+1$
$=-3$
【答案】
(1) $-3x^2 +4x +1$
(2) $-3$
【知识点】
整式的加减运算，代数式求值，合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的基础应用题型，解题关键是利用错误的运算结果反推未知多项式A，计算时要注意去括号的符号变化，代入求值需遵循先乘方、再乘除、后加减的运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
9.「2026江西宜春期中」设$A=5x^2+mx-1$，$B=nx^2-3x+3$（其中$m,n$为系数），若$A+2B$的结果不含$x^2$项与$x$项，求$m-2n$的值。
答案
因为$A=5x^2 +mx -1,B=nx^2 -3x +3,$
所以$A+2B=5x^2 +mx -1 +2(nx^2 -3x +3)$
$=5x^2 +mx -1 +2nx^2 -6x +6=(5+2n)x^2 +(m-6)x +5.$
因为$A+2B$的结果不含$x^2$项与$x$项,
所以$5+2n=0,m-6=0,$所以$n=-\dfrac{5}{2},m=6.$
所以$m-2n=6-2×(-\dfrac{5}{2})=6+5=11.$
所以$A+2B=5x^2 +mx -1 +2(nx^2 -3x +3)$
$=5x^2 +mx -1 +2nx^2 -6x +6=(5+2n)x^2 +(m-6)x +5.$
因为$A+2B$的结果不含$x^2$项与$x$项,
所以$5+2n=0,m-6=0,$所以$n=-\dfrac{5}{2},m=6.$
所以$m-2n=6-2×(-\dfrac{5}{2})=6+5=11.$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先计算A+2B的整式表达式，按照整式加减的运算规则，先代入A、B的原式，再去括号、合并同类项；第二步理解“结果不含x²项与x项”的含义，即合并同类项后x²项、x项的系数都等于0，据此列出关于m、n的方程，求出m和n的值；第三步将求得的m、n代入m-2n计算，即可得到最终结果。
【解析】
因为$A=5x^2 +mx -1$，$B=nx^2 -3x +3$，
所以$A+2B=5x^2 +mx -1 +2(nx^2 -3x +3)$
$=5x^2 +mx -1 +2nx^2 -6x +6$
$=(5+2n)x^2 +(m-6)x +5$
由于$A+2B$的结果不含$x^2$项与$x$项，因此这两项的系数为0，
可得：$5+2n=0$，$m-6=0$，
解得$n=-\dfrac{5}{2}$，$m=6$。
将$m=6$，$n=-\dfrac{5}{2}$代入$m-2n$计算：
$m-2n=6-2×(-\dfrac{5}{2})=6+5=11$
【答案】
$11$
【知识点】
整式的加减；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题是整式求值类的常规题型，解题的核心是理解“多项式不含某一项则该项的系数为0”的性质，只要熟练掌握整式加减中去括号、合并同类项的运算规则，就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步先计算A+2B的整式表达式，按照整式加减的运算规则，先代入A、B的原式，再去括号、合并同类项；第二步理解“结果不含x²项与x项”的含义，即合并同类项后x²项、x项的系数都等于0，据此列出关于m、n的方程，求出m和n的值；第三步将求得的m、n代入m-2n计算，即可得到最终结果。
【解析】
因为$A=5x^2 +mx -1$，$B=nx^2 -3x +3$，
所以$A+2B=5x^2 +mx -1 +2(nx^2 -3x +3)$
$=5x^2 +mx -1 +2nx^2 -6x +6$
$=(5+2n)x^2 +(m-6)x +5$
由于$A+2B$的结果不含$x^2$项与$x$项，因此这两项的系数为0，
可得：$5+2n=0$，$m-6=0$，
解得$n=-\dfrac{5}{2}$，$m=6$。
将$m=6$，$n=-\dfrac{5}{2}$代入$m-2n$计算：
$m-2n=6-2×(-\dfrac{5}{2})=6+5=11$
【答案】
$11$
【知识点】
整式的加减；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题是整式求值类的常规题型，解题的核心是理解“多项式不含某一项则该项的系数为0”的性质，只要熟练掌握整式加减中去括号、合并同类项的运算规则，就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
10.已知多项式$(2ax^2 + 3x - 1) - (bx - 2x^2 - 3)$的值与$x$的取值无关，求代数式$-(a - ab) - 3(ab - b) + 2ab$的值.
答案
原式$=(2ax^2 +3x -1)-(bx -2x^2 -3)$
$= 2ax^2 +3x -1 -bx +2x^2 +3=(2a+2)x^2 +(3-b)x +2,$
由多项式$(2ax^2 +3x -1)-(bx -2x^2 -3)$的值与$x$的取值无关可得$2a+2=0,3-b=0,$所以$a=-1,b=3,$
$-(a-ab)-3(ab-b)+2ab=-a+ab-3ab+3b+2ab=-a+3b,$
当$a=-1,b=3$时,原式$=-a+3b=1+9=10.$
$= 2ax^2 +3x -1 -bx +2x^2 +3=(2a+2)x^2 +(3-b)x +2,$
由多项式$(2ax^2 +3x -1)-(bx -2x^2 -3)$的值与$x$的取值无关可得$2a+2=0,3-b=0,$所以$a=-1,b=3,$
$-(a-ab)-3(ab-b)+2ab=-a+ab-3ab+3b+2ab=-a+3b,$
当$a=-1,b=3$时,原式$=-a+3b=1+9=10.$
解析
【分析】
解题可分为三步：第一步，先对给定的多项式去括号、合并同类项，整理为按x的降幂排列的形式；第二步，根据“多项式的值与x的取值无关”的含义，即所有含x的项的系数都为0，分别列方程求出a、b的值；第三步，对要求值的代数式去括号、合并同类项化简，再将a、b的值代入计算即可得到结果。
【解析】
首先化简多项式$(2ax^2 + 3x - 1) - (bx - 2x^2 - 3)$：
去括号得：$2ax^2 + 3x - 1 - bx + 2x^2 + 3$
合并同类项得：$(2a+2)x^2 + (3-b)x + 2$
因为该多项式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数均为0，即：
$\begin{cases}2a+2=0 \\ 3-b=0 \end{cases}$
解得：$a=-1$，$b=3$
接下来化简代数式$-(a - ab) - 3(ab - b) + 2ab$：
去括号得：$-a + ab - 3ab + 3b + 2ab$
合并同类项得：$-a + 3b$
将$a=-1$，$b=3$代入上式：
原式$=-(-1) + 3×3 = 1 + 9 = 10$
【答案】
10
【知识点】
整式的加减运算，代数式求值，多项式系数性质
【点评】
本题是整式求值类的典型题型，解题关键是理解“多项式的值与x无关”等价于所有含x的项的系数为0，考察了整式化简的运算能力和对整式相关概念的理解。
【难度系数】
0.7
解题可分为三步：第一步，先对给定的多项式去括号、合并同类项，整理为按x的降幂排列的形式；第二步，根据“多项式的值与x的取值无关”的含义，即所有含x的项的系数都为0，分别列方程求出a、b的值；第三步，对要求值的代数式去括号、合并同类项化简，再将a、b的值代入计算即可得到结果。
【解析】
首先化简多项式$(2ax^2 + 3x - 1) - (bx - 2x^2 - 3)$：
去括号得：$2ax^2 + 3x - 1 - bx + 2x^2 + 3$
合并同类项得：$(2a+2)x^2 + (3-b)x + 2$
因为该多项式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数均为0，即：
$\begin{cases}2a+2=0 \\ 3-b=0 \end{cases}$
解得：$a=-1$，$b=3$
接下来化简代数式$-(a - ab) - 3(ab - b) + 2ab$：
去括号得：$-a + ab - 3ab + 3b + 2ab$
合并同类项得：$-a + 3b$
将$a=-1$，$b=3$代入上式：
原式$=-(-1) + 3×3 = 1 + 9 = 10$
【答案】
10
【知识点】
整式的加减运算，代数式求值，多项式系数性质
【点评】
本题是整式求值类的典型题型，解题关键是理解“多项式的值与x无关”等价于所有含x的项的系数为0，考察了整式化简的运算能力和对整式相关概念的理解。
【难度系数】
0.7
11.「2026浙江杭州期中」已知$A=-3x^2 -2mx +3x +1$，$B=2x^2 +2mx -1$。
(1)当$x=2$时，求$A+B$的值。
(2)若$2A+3B$的值与$x$的取值无关，求$m$的值。
(1)当$x=2$时，求$A+B$的值。
(2)若$2A+3B$的值与$x$的取值无关，求$m$的值。
答案
(1)因为$A=-3x^2 -2mx +3x +1,B=2x^2 +2mx -1,$
所以$A+B=-3x^2 -2mx +3x +1 +2x^2 +2mx -1=-x^2 +3x,$
当$x=2$时,原式$=-x^2 +3x=-2^2 +3×2=-4+6=2.$
(2)因为$A=-3x^2 -2mx +3x +1,B=2x^2 +2mx -1,$
所以$2A+3B=2(-3x^2 -2mx +3x +1)+3(2x^2 +2mx -1)$
$=-6x^2 -4mx +6x +2 +6x^2 +6mx -3=(2m+6)x -1.$
因为$2A+3B$的值与$x$的取值无关,
所以$2m+6=0,$所以$m=-3.$
所以$A+B=-3x^2 -2mx +3x +1 +2x^2 +2mx -1=-x^2 +3x,$
当$x=2$时,原式$=-x^2 +3x=-2^2 +3×2=-4+6=2.$
(2)因为$A=-3x^2 -2mx +3x +1,B=2x^2 +2mx -1,$
所以$2A+3B=2(-3x^2 -2mx +3x +1)+3(2x^2 +2mx -1)$
$=-6x^2 -4mx +6x +2 +6x^2 +6mx -3=(2m+6)x -1.$
因为$2A+3B$的值与$x$的取值无关,
所以$2m+6=0,$所以$m=-3.$
解析
【分析】
(1) 求x=2时A+B的值，可先将A、B的代数式代入A+B，通过合并同类项化简，运算中含m的项会相互抵消，无需知道m的取值，再将x=2代入化简后的式子计算即可，比分别求A、B的值再相加更简便。
(2) 若2A+3B的值与x的取值无关，说明化简后所有含x的项的系数都为0。先将A、B代入2A+3B，通过去括号、合并同类项得到最简结果，令含x的项的系数等于0，即可列出关于m的一元一次方程，解方程就能求出m的值。
【解析】
(1) 已知$A=-3x^2 -2mx +3x +1$，$B=2x^2 +2mx -1$，代入得：
$\begin{aligned}A+B&=-3x^2 -2mx +3x +1 +2x^2 +2mx -1\\&=(-3x^2+2x^2)+(-2mx+2mx)+3x+(1-1)\\&=-x^2 +3x\end{aligned}$
当$x=2$时，代入化简后的式子：
原式$=-2^2 +3×2=-4+6=2$
(2) 将A、B代入$2A+3B$得：
$\begin{aligned}2A+3B&=2(-3x^2 -2mx +3x +1)+3(2x^2 +2mx -1)\\&=-6x^2 -4mx +6x +2 +6x^2 +6mx -3\\&=(-6x^2+6x^2)+(-4mx+6mx)+6x+(2-3)\\&=(2m+6)x -1\end{aligned}$
因为$2A+3B$的值与$x$的取值无关，所以x的系数为0，即：
$2m+6=0$
解得$m=-3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{m=-3}$
【知识点】
整式的加减运算、合并同类项、代数式与字母无关的条件
【点评】
本题是整式运算的常考题型，重点考查整式加减的运算能力以及对“代数式取值与某字母无关”这一条件的理解，解题时先化简再计算或列方程，可有效降低运算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
(1) 求x=2时A+B的值，可先将A、B的代数式代入A+B，通过合并同类项化简，运算中含m的项会相互抵消，无需知道m的取值，再将x=2代入化简后的式子计算即可，比分别求A、B的值再相加更简便。
(2) 若2A+3B的值与x的取值无关，说明化简后所有含x的项的系数都为0。先将A、B代入2A+3B，通过去括号、合并同类项得到最简结果，令含x的项的系数等于0，即可列出关于m的一元一次方程，解方程就能求出m的值。
【解析】
(1) 已知$A=-3x^2 -2mx +3x +1$，$B=2x^2 +2mx -1$，代入得：
$\begin{aligned}A+B&=-3x^2 -2mx +3x +1 +2x^2 +2mx -1\\&=(-3x^2+2x^2)+(-2mx+2mx)+3x+(1-1)\\&=-x^2 +3x\end{aligned}$
当$x=2$时，代入化简后的式子：
原式$=-2^2 +3×2=-4+6=2$
(2) 将A、B代入$2A+3B$得：
$\begin{aligned}2A+3B&=2(-3x^2 -2mx +3x +1)+3(2x^2 +2mx -1)\\&=-6x^2 -4mx +6x +2 +6x^2 +6mx -3\\&=(-6x^2+6x^2)+(-4mx+6mx)+6x+(2-3)\\&=(2m+6)x -1\end{aligned}$
因为$2A+3B$的值与$x$的取值无关，所以x的系数为0，即：
$2m+6=0$
解得$m=-3$
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；(2) $\boldsymbol{m=-3}$
【知识点】
整式的加减运算、合并同类项、代数式与字母无关的条件
【点评】
本题是整式运算的常考题型，重点考查整式加减的运算能力以及对“代数式取值与某字母无关”这一条件的理解，解题时先化简再计算或列方程，可有效降低运算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
