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1 若一个正数的算术平方根是$a$，则比这个数大3的数的算术平方根是（
A.$\sqrt{a^2 + 3}$
B.$\sqrt{a^2 - 3}$
C.$\sqrt{a + 3}$
D.$\sqrt{a - 3}$
A
）。A.$\sqrt{a^2 + 3}$
B.$\sqrt{a^2 - 3}$
C.$\sqrt{a + 3}$
D.$\sqrt{a - 3}$
答案
A
解析
【分析】
解题时需结合算术平方根的定义逐步推导：首先根据算术平方根的定义求出题目中的正数是多少，再计算比它大3的数，最后对新数求算术平方根即可。第一步，回忆算术平方根的定义：若非负数x的平方等于m，则x是m的算术平方根，反过来，算术平方根为a的正数就是a的平方；第二步，用原数加3得到目标数；第三步，对目标数求算术平方根即可得到结果。
【解析】
解：
∵一个正数的算术平方根是a
∴根据算术平方根的定义，这个正数为$a^2$
∴比这个数大3的数为：$a^2 + 3$
∵算术平方根的结果为非负数，因此$a^2 + 3$的算术平方根为$\sqrt{a^2 + 3}$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.列代数式
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对算术平方根定义的理解和运用，易错点是容易误将原数当成a，错选C选项，解题时要明确算术平方根和原数的平方对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时需结合算术平方根的定义逐步推导：首先根据算术平方根的定义求出题目中的正数是多少，再计算比它大3的数，最后对新数求算术平方根即可。第一步，回忆算术平方根的定义：若非负数x的平方等于m，则x是m的算术平方根，反过来，算术平方根为a的正数就是a的平方；第二步，用原数加3得到目标数；第三步，对目标数求算术平方根即可得到结果。
【解析】
解：
∵一个正数的算术平方根是a
∴根据算术平方根的定义，这个正数为$a^2$
∴比这个数大3的数为：$a^2 + 3$
∵算术平方根的结果为非负数，因此$a^2 + 3$的算术平方根为$\sqrt{a^2 + 3}$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.列代数式
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对算术平方根定义的理解和运用，易错点是容易误将原数当成a，错选C选项，解题时要明确算术平方根和原数的平方对应关系。
【难度系数】
0.8
② 已知a的算术平方根是12.3，x的算术平方根是1.23，则x和a的关系是(
A.$x=10a$
B.$x=100a$
C.$x=\dfrac{a}{100}$
D.$x=\dfrac{a}{10}$
C
)。A.$x=10a$
B.$x=100a$
C.$x=\dfrac{a}{100}$
D.$x=\dfrac{a}{10}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的定义：如果一个非负数m的算术平方根是n，那么m = n²。我们可以先利用这个定义分别用平方的形式表示出a和x，再观察两个算术平方根12.3和1.23的倍数关系，将x的表达式用a替换，就能推出x和a的数量关系。
【解析】
根据算术平方根的定义：
∵ a的算术平方根是12.3，
∴ a = 12.3²；
∵ x的算术平方根是1.23，
∴ x = 1.23²；
又
∵ 1.23 = 12.3 ÷ 10，
∴ x = (12.3 ÷ 10)² = 12.3² ÷ 10² = a ÷ 100，
即x = $\dfrac{a}{100}$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；乘方的运算性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查算术平方根和平方运算的互逆关系，只要熟练掌握算术平方根的定义，结合乘方的运算规律即可快速得出结果，是对基础概念应用的典型考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆算术平方根的定义：如果一个非负数m的算术平方根是n，那么m = n²。我们可以先利用这个定义分别用平方的形式表示出a和x，再观察两个算术平方根12.3和1.23的倍数关系，将x的表达式用a替换，就能推出x和a的数量关系。
【解析】
根据算术平方根的定义：
∵ a的算术平方根是12.3，
∴ a = 12.3²；
∵ x的算术平方根是1.23，
∴ x = 1.23²；
又
∵ 1.23 = 12.3 ÷ 10，
∴ x = (12.3 ÷ 10)² = 12.3² ÷ 10² = a ÷ 100，
即x = $\dfrac{a}{100}$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；乘方的运算性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查算术平方根和平方运算的互逆关系，只要熟练掌握算术平方根的定义，结合乘方的运算规律即可快速得出结果，是对基础概念应用的典型考查。
【难度系数】
0.8
3 下列说法中,正确的是(
A.$\sqrt{9}$的算术平方根是3
B.0的算术平方根是0
C.16的算术平方根是-4
D.0.1的算术平方根是0.001
B
)。A.$\sqrt{9}$的算术平方根是3
B.0的算术平方根是0
C.16的算术平方根是-4
D.0.1的算术平方根是0.001
答案
B
解析
【分析】
解题核心是牢记算术平方根的定义与性质：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负的，且负数没有算术平方根。解题时逐个对照定义和性质分析每个选项即可，尤其注意A选项需先化简$\sqrt{9}$的值，再求它的算术平方根，避免掉入陷阱。
【解析】
逐个分析各选项：
A选项：先计算$\sqrt{9}=3$，3的算术平方根是$\sqrt{3}≠3$，因此A错误；
B选项：根据算术平方根的相关规定，0的算术平方根是0，因此B正确；
C选项：算术平方根的结果为非负数，16的算术平方根是4≠-4，因此C错误；
D选项：若0.001是0.1的算术平方根，则$0.001^2=0.000001≠0.1$，实际上0.1的算术平方根是$\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}≠0.001$，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.算术平方根的非负性
【点评】
本题是算术平方根的基础概念题，易错点在于容易忽略A选项需要先化简$\sqrt{9}$再求算术平方根，同时要牢记算术平方根的结果恒为非负数，避免和平方根的概念混淆。
【难度系数】
0.7
解题核心是牢记算术平方根的定义与性质：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负的，且负数没有算术平方根。解题时逐个对照定义和性质分析每个选项即可，尤其注意A选项需先化简$\sqrt{9}$的值，再求它的算术平方根，避免掉入陷阱。
【解析】
逐个分析各选项：
A选项：先计算$\sqrt{9}=3$，3的算术平方根是$\sqrt{3}≠3$，因此A错误；
B选项：根据算术平方根的相关规定，0的算术平方根是0，因此B正确；
C选项：算术平方根的结果为非负数，16的算术平方根是4≠-4，因此C错误；
D选项：若0.001是0.1的算术平方根，则$0.001^2=0.000001≠0.1$，实际上0.1的算术平方根是$\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}≠0.001$，因此D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
1.算术平方根的定义
2.算术平方根的非负性
【点评】
本题是算术平方根的基础概念题，易错点在于容易忽略A选项需要先化简$\sqrt{9}$再求算术平方根，同时要牢记算术平方根的结果恒为非负数，避免和平方根的概念混淆。
【难度系数】
0.7
4 算术平方根等于它本身的数是
0、1
，平方等于它本身的数是0、1
。答案
0、1，0、1
解析
【分析】
我们可以通过设未知数结合对应定义列方程求解本题。首先明确算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么非负数$x$叫做$a$的算术平方根，因此算术平方根等于本身的数首先是非负数，再根据等量关系列方程求解即可；第二问直接根据“平方等于本身”的等量关系列方程，求解后验证排除不符合的数即可。
【解析】
1. 求算术平方根等于它本身的数：
设这个数为$a$，根据算术平方根的定义可得$a≥0$，且$\sqrt{a}=a$。
两边同时平方得：$a = a^2$，
移项整理得：$a^2 - a = 0$，
因式分解得：$a(a-1)=0$，
解得$a=0$或$a=1$。
验证：$\sqrt{0}=0$，$\sqrt{1}=1$，均符合要求。
2. 求平方等于它本身的数：
设这个数为$x$，根据题意得$x^2 = x$，
移项整理得：$x^2 - x = 0$，
因式分解得：$x(x-1)=0$，
解得$x=0$或$x=1$。
验证：$0^2=0$，$1^2=1$，负数的平方为正数，不可能等于本身，因此符合要求的数为0、1。
【答案】
0、1，0、1
【知识点】
算术平方根的定义，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题时要注意算术平方根的被开方数和结果都具有非负性，通过列方程求解后可以通过代入验证的方式避免漏解或多解。
【难度系数】
0.9
我们可以通过设未知数结合对应定义列方程求解本题。首先明确算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么非负数$x$叫做$a$的算术平方根，因此算术平方根等于本身的数首先是非负数，再根据等量关系列方程求解即可；第二问直接根据“平方等于本身”的等量关系列方程，求解后验证排除不符合的数即可。
【解析】
1. 求算术平方根等于它本身的数：
设这个数为$a$，根据算术平方根的定义可得$a≥0$，且$\sqrt{a}=a$。
两边同时平方得：$a = a^2$，
移项整理得：$a^2 - a = 0$，
因式分解得：$a(a-1)=0$，
解得$a=0$或$a=1$。
验证：$\sqrt{0}=0$，$\sqrt{1}=1$，均符合要求。
2. 求平方等于它本身的数：
设这个数为$x$，根据题意得$x^2 = x$，
移项整理得：$x^2 - x = 0$，
因式分解得：$x(x-1)=0$，
解得$x=0$或$x=1$。
验证：$0^2=0$，$1^2=1$，负数的平方为正数，不可能等于本身，因此符合要求的数为0、1。
【答案】
0、1，0、1
【知识点】
算术平方根的定义，有理数的乘方
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题时要注意算术平方根的被开方数和结果都具有非负性，通过列方程求解后可以通过代入验证的方式避免漏解或多解。
【难度系数】
0.9
64 的算术平方根是8
。答案
8
解析
【分析】首先明确算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即x²=a，那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负的。要求64的算术平方根，只需找到哪个非负整数的平方等于64即可，解题时注意区分算术平方根和平方根，避免出现带正负号的错误。
【解析】根据算术平方根的定义，我们需要找到满足x²=64的非负数x。
因为8²=64，且8是正数，符合算术平方根非负的要求，因此64的算术平方根是8。
【答案】8
【知识点】算术平方根的定义；有理数乘方运算
【点评】本题属于基础概念题，重点考察对算术平方根定义的掌握，解题时需注意算术平方根的结果为非负数，不要与平方根的概念混淆，误写为±8。
【难度系数】0.9
【解析】根据算术平方根的定义，我们需要找到满足x²=64的非负数x。
因为8²=64，且8是正数，符合算术平方根非负的要求，因此64的算术平方根是8。
【答案】8
【知识点】算术平方根的定义；有理数乘方运算
【点评】本题属于基础概念题，重点考察对算术平方根定义的掌握，解题时需注意算术平方根的结果为非负数，不要与平方根的概念混淆，误写为±8。
【难度系数】0.9
的算术平方根是________，$(-\dfrac{1}{2})^2$的算术平方根是________。答案
$\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时需遵循“先化简求值对象，再求算术平方根”的思路：首先明确算术平方根的定义，即一个非负数的正的平方根为它的算术平方根，结果一定为非负数。第一问先算出$\sqrt{\dfrac{16}{81}}$的具体值，再求该值的算术平方根；第二问先算出$(-\dfrac{1}{2})^2$的结果，再求该结果的算术平方根即可。
【解析】
1. 求解$\sqrt{\dfrac{16}{81}}$的算术平方根：
根据算术平方根定义，$\because (\dfrac{4}{9})^2=\dfrac{16}{81}$，且$\dfrac{4}{9}＞0$，$\therefore \sqrt{\dfrac{16}{81}}=\dfrac{4}{9}$。
再求$\dfrac{4}{9}$的算术平方根：$\because (\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，且$\dfrac{2}{3}＞0$，$\therefore \dfrac{4}{9}$的算术平方根为$\dfrac{2}{3}$。
2. 求解$(-\dfrac{1}{2})^2$的算术平方根：
先计算乘方：$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$。
再求$\dfrac{1}{4}$的算术平方根：$\because (\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，且$\dfrac{1}{2}＞0$，$\therefore \dfrac{1}{4}$的算术平方根为$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
算术平方根的定义；有理数的乘方
【点评】
本题是算术平方根的基础考查题，易错点是第一问容易直接将$\sqrt{\dfrac{16}{81}}$的化简结果作为答案，忽略题目是求该式的算术平方根，解题时要注意审题，明确求值对象后再运算，牢记算术平方根结果为非负数的特点。
【难度系数】
0.7
解题时需遵循“先化简求值对象，再求算术平方根”的思路：首先明确算术平方根的定义，即一个非负数的正的平方根为它的算术平方根，结果一定为非负数。第一问先算出$\sqrt{\dfrac{16}{81}}$的具体值，再求该值的算术平方根；第二问先算出$(-\dfrac{1}{2})^2$的结果，再求该结果的算术平方根即可。
【解析】
1. 求解$\sqrt{\dfrac{16}{81}}$的算术平方根：
根据算术平方根定义，$\because (\dfrac{4}{9})^2=\dfrac{16}{81}$，且$\dfrac{4}{9}＞0$，$\therefore \sqrt{\dfrac{16}{81}}=\dfrac{4}{9}$。
再求$\dfrac{4}{9}$的算术平方根：$\because (\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，且$\dfrac{2}{3}＞0$，$\therefore \dfrac{4}{9}$的算术平方根为$\dfrac{2}{3}$。
2. 求解$(-\dfrac{1}{2})^2$的算术平方根：
先计算乘方：$(-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$。
再求$\dfrac{1}{4}$的算术平方根：$\because (\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{1}{4}$，且$\dfrac{1}{2}＞0$，$\therefore \dfrac{1}{4}$的算术平方根为$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$，$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
算术平方根的定义；有理数的乘方
【点评】
本题是算术平方根的基础考查题，易错点是第一问容易直接将$\sqrt{\dfrac{16}{81}}$的化简结果作为答案，忽略题目是求该式的算术平方根，解题时要注意审题，明确求值对象后再运算，牢记算术平方根结果为非负数的特点。
【难度系数】
0.7
若$x$的算术平方根是2，则$x+5$的算术平方根是3
。答案
3
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，根据算术平方根的定义：若一个非负数a的平方等于b，则a是b的算术平方根，已知x的算术平方根是2，那么x就等于2的平方，先求出x的值；再将x的值代入x+5计算出结果，最后求该结果的算术平方根即可得到答案。
【解析】
解：
∵x的算术平方根是2，根据算术平方根的定义可得
$x = 2^2 = 4$
∴$x + 5 = 4 + 5 = 9$
又
∵$3^2 = 9$，且算术平方根为非负数
∴9的算术平方根是3，即x+5的算术平方根是3。
【答案】
3
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的计算
【点评】
本题是算术平方根的基础应用题型，解题关键是牢记算术平方根的非负性，掌握“已知一个数的算术平方根求原数”和“求一个数的算术平方根”的基本运算方法。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件入手，根据算术平方根的定义：若一个非负数a的平方等于b，则a是b的算术平方根，已知x的算术平方根是2，那么x就等于2的平方，先求出x的值；再将x的值代入x+5计算出结果，最后求该结果的算术平方根即可得到答案。
【解析】
解：
∵x的算术平方根是2，根据算术平方根的定义可得
$x = 2^2 = 4$
∴$x + 5 = 4 + 5 = 9$
又
∵$3^2 = 9$，且算术平方根为非负数
∴9的算术平方根是3，即x+5的算术平方根是3。
【答案】
3
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的计算
【点评】
本题是算术平方根的基础应用题型，解题关键是牢记算术平方根的非负性，掌握“已知一个数的算术平方根求原数”和“求一个数的算术平方根”的基本运算方法。
【难度系数】
0.9
已知$y=\sqrt{x}-11$，且$y$的算术平方根是5，则$x$的算术平方根是
5
。答案
5
⑩ 已知$\sqrt{1.7201} \approx 1.312$，$\sqrt{17.201} \approx 4.147$，那么0.17201的算术平方根约是
36
。答案
0.4147
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的相关规律：当被开方数的小数点向左（或向右）移动2位时，其算术平方根的小数点会同向移动1位。观察所求的0.17201与已知的被开方数对比，可知0.17201是17.201的小数点向左移动2位得到的，因此对应算术平方根就是√17.201的结果向左移动1位即可；也可将0.17201改写为17.201/100，利用商的算术平方根等于算术平方根的商的性质计算，两种方法均可得到结果。
【解析】
方法一：根据被开方数与算术平方根的小数点移动规律计算：
被开方数17.201的小数点向左移动2位得到0.17201，因此其算术平方根的小数点对应向左移动1位。
已知$\sqrt{17.201} \approx 4.147$，因此$\sqrt{0.17201} \approx 0.4147$。
方法二：利用商的算术平方根性质计算：
$\sqrt{0.17201}=\sqrt{\frac{17.201}{100}}=\frac{\sqrt{17.201}}{\sqrt{100}}\approx\frac{4.147}{10}=0.4147$
【答案】
0.4147
【知识点】
算术平方根的性质，商的算术平方根运算，小数点移动规律
【点评】
本题是算术平方根的基础应用题型，解题核心是掌握被开方数和对应算术平方根的小数点移动规律，也可通过根式的运算性质直接计算，主要考查对基础规律的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆算术平方根的相关规律：当被开方数的小数点向左（或向右）移动2位时，其算术平方根的小数点会同向移动1位。观察所求的0.17201与已知的被开方数对比，可知0.17201是17.201的小数点向左移动2位得到的，因此对应算术平方根就是√17.201的结果向左移动1位即可；也可将0.17201改写为17.201/100，利用商的算术平方根等于算术平方根的商的性质计算，两种方法均可得到结果。
【解析】
方法一：根据被开方数与算术平方根的小数点移动规律计算：
被开方数17.201的小数点向左移动2位得到0.17201，因此其算术平方根的小数点对应向左移动1位。
已知$\sqrt{17.201} \approx 4.147$，因此$\sqrt{0.17201} \approx 0.4147$。
方法二：利用商的算术平方根性质计算：
$\sqrt{0.17201}=\sqrt{\frac{17.201}{100}}=\frac{\sqrt{17.201}}{\sqrt{100}}\approx\frac{4.147}{10}=0.4147$
【答案】
0.4147
【知识点】
算术平方根的性质，商的算术平方根运算，小数点移动规律
【点评】
本题是算术平方根的基础应用题型，解题核心是掌握被开方数和对应算术平方根的小数点移动规律，也可通过根式的运算性质直接计算，主要考查对基础规律的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
11 化简：
(1) $\sqrt{196}$；
(2) $\sqrt{3.24}$；
(3) $\sqrt{6\frac{1}{4}}$；
(4) $\sqrt{\frac{256}{169}}$。
(1) $\sqrt{196}$；
(2) $\sqrt{3.24}$；
(3) $\sqrt{6\frac{1}{4}}$；
(4) $\sqrt{\frac{256}{169}}$。
答案
(1) 14 (2) 1.8 (3) $\dfrac{5}{2}$ (4) $\dfrac{16}{13}$
解析
【分析】
本题考查算术平方根的化简，解题核心是依据算术平方根的定义求解：若非负数$x$满足$x^2=a$，则$x$就是$a$的算术平方根，即$\sqrt{a}=x$。解题步骤思路：①若被开方数是整数或小数，直接找出平方等于该数的非负数即可；②若被开方数是带分数，先将其转化为假分数，再分别对分子、分母求算术平方根；③若被开方数是分数，直接对分子和分母分别开方再求比值。
【解析】
(1) 因为$14^2=196$，根据算术平方根的定义可得：$\sqrt{196}=14$；
(2) 因为$1.8^2=3.24$，根据算术平方根的定义可得：$\sqrt{3.24}=1.8$；
(3) 先将带分数化为假分数：$6\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$，又因为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，所以$\sqrt{6\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$；
(4) 因为$16^2=256$，$13^2=169$，根据分数开方的运算规则：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{\frac{256}{169}}=\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{169}}=\frac{16}{13}$。
【答案】
(1) $14$；(2) $1.8$；(3) $\dfrac{5}{2}$；(4) $\dfrac{16}{13}$
【知识点】
1. 算术平方根定义；2. 二次根式化简
【点评】
本题是算术平方根的基础计算题，解题关键是熟练掌握常见平方数的运算结果，注意遇到带分数类的被开方数要先转化为假分数再开方，避免直接对整数部分和分数部分分别开方的错误。
【难度系数】
0.9
本题考查算术平方根的化简，解题核心是依据算术平方根的定义求解：若非负数$x$满足$x^2=a$，则$x$就是$a$的算术平方根，即$\sqrt{a}=x$。解题步骤思路：①若被开方数是整数或小数，直接找出平方等于该数的非负数即可；②若被开方数是带分数，先将其转化为假分数，再分别对分子、分母求算术平方根；③若被开方数是分数，直接对分子和分母分别开方再求比值。
【解析】
(1) 因为$14^2=196$，根据算术平方根的定义可得：$\sqrt{196}=14$；
(2) 因为$1.8^2=3.24$，根据算术平方根的定义可得：$\sqrt{3.24}=1.8$；
(3) 先将带分数化为假分数：$6\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$，又因为$(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，所以$\sqrt{6\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$；
(4) 因为$16^2=256$，$13^2=169$，根据分数开方的运算规则：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，可得$\sqrt{\frac{256}{169}}=\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{169}}=\frac{16}{13}$。
【答案】
(1) $14$；(2) $1.8$；(3) $\dfrac{5}{2}$；(4) $\dfrac{16}{13}$
【知识点】
1. 算术平方根定义；2. 二次根式化简
【点评】
本题是算术平方根的基础计算题，解题关键是熟练掌握常见平方数的运算结果，注意遇到带分数类的被开方数要先转化为假分数再开方，避免直接对整数部分和分数部分分别开方的错误。
【难度系数】
0.9
