11 平面上有若干个点，没有任何三点在同一直线上。现将每两点连成一条线段，共有 36 条线段，求这个平面上共有多少个点。

11 设这个平面上有x个点。由题意可列方程$\frac{x(x-1)}{2}=36$,解得$x_1=9$,$x_2=-8$(舍)。所以这个平面上共有9个点。

【分析】
解题时首先要明确无三点共线时线段总数的计算规律：若平面上有x个点，每个点可与其余(x-1)个点连接形成线段，此时每条线段会被两个端点各统计1次，因此总线段数为$\frac{x(x-1)}{2}$。本题已知总线段数为36，我们可以设点的个数为未知数，根据上述计数规律列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到答案。
【解析】
设这个平面上共有$x$个点。
根据两点确定一条线段，且无三点共线，可列方程：
$\frac{x(x-1)}{2}=36$
整理得$x^2-x-72=0$
因式分解得$(x-9)(x+8)=0$
解得$x_1=9$，$x_2=-8$
由于点的个数不能为负数，故舍去$x_2=-8$。
【答案】
这个平面上共有9个点。
【知识点】
线段计数规律；一元二次方程的应用
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础应用题，解题核心是掌握无三点共线时的线段总数计算公式，同时要注意在求解一元二次方程后，需要结合实际问题的意义对根进行检验，舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7

12 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=6\mathrm{cm}$，$BC=8\mathrm{cm}$，若点$P$从点$A$出发沿$AB$边向点$B$以$1\mathrm{cm/s}$的速度移动，点$Q$从点$B$出发沿$BC$边向点$C$以$2\mathrm{cm/s}$的速度移动，两点同时出发（当点$Q$到达点$C$后，$P$、$Q$两点均停止运动）。问：$△ PBQ$的面积能否为$10\mathrm{cm}^2$？

12 设经过x秒后,△PBQ的面积等于10cm²,则$S_{△ PBQ}=\frac{1}{2} × (6-x) × 2x=10$,即$x^2-6x+10=0$。因为$\Delta=b^2-4ac=36-4 × 10=-4＜0$,所以△PBQ的面积不会等于10cm²。

【分析】
这是一道动点与一元二次方程结合的应用题，解题思路如下：第一步，先设运动时间为x秒，先确定x的取值范围（点Q到C就停止运动，所以2x≤8，即0≤x≤4）；第二步，用含x的代数式分别表示出△PBQ的两条直角边PB和BQ的长度：P的速度是1cm/s，x秒走了x cm，所以PB=AB-AP=(6-x)cm，Q的速度是2cm/s，x秒走了2x cm，所以BQ=2x cm；第三步，因为∠B是直角，根据直角三角形面积公式列出△PBQ面积等于10的方程；第四步，整理方程为一元二次方程的一般形式，通过计算根的判别式判断方程是否有实数根，若没有实根就说明面积不能为10cm²。
【解析】
设经过x秒后，△PBQ的面积等于10cm²。
根据题意，点Q运动到C点后停止运动，因此x的取值范围是0≤x≤4。
此时$AP = 1×x = x\mathrm{cm}$，$PB = AB - AP = (6 - x)\mathrm{cm}$，$BQ = 2×x = 2x\mathrm{cm}$。
因为∠B=90°，根据直角三角形面积公式可得：
$S_{△PBQ}=\frac{1}{2}×PB×BQ$
代入条件得：$\frac{1}{2}×(6-x)×2x=10$
整理方程得：$x^2 - 6x + 10 = 0$
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4×1×10 = 36 - 40 = -4 ＜ 0$
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的x值。
【答案】
△PBQ的面积不能为10$\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
列一元二次方程解应用题；直角三角形面积计算；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于动点类实际应用问题，解题核心是将动态的线段长度转化为含时间变量的代数式，结合面积公式建立方程，再通过根的判别式判断方程是否有符合实际意义的解，能够有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7