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1.[2026成都期中]在1~5这5个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于5，有
6
种不同取法；各边长都是整数，最大边长为51的三角形有676
个。答案
【点拨】第一部分:从1~5中取两个不同数,和大于5的组合有(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共6种.第二部分:设三角形三边为a,b,c,且c=51为最大边,则a≤b≤51,且a+b＞51.由a+b＞51,得a≥52-b.又因为a≥1,a≤b,故当b＜26时无解;当b≥26时,a从52-b到b,个数为b-(52-b)+1=2b-51.b从26到51,(26+51)×26÷2=77×13=1 001,故2×1 001=2 002,51×26=1 326,所以2 002-1 326=676,故有676个三角形.
解析
【分析】
第一问可采用分类枚举的方法，固定较小的加数，逐一找出符合“两数之和大于5”的另一个数，避免重复计数；第二问根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，结合最大边长为51的条件，固定次大边的长度，推导最小边的取值范围，再通过求和计算总个数即可。
【解析】
第一空求解：
从1~5中任取两个不同的数，按较小数分类枚举：
① 较小数为1时，两数和大于5，另一个数只能是5，共1种取法；
② 较小数为2时，另一个数需满足和＞5，可选4、5，共2种取法；
③ 较小数为3时，另一个数需大于3（避免重复计数）且和＞5，可选4、5，共2种取法；
④ 较小数为4时，另一个数只能是5，共1种取法；
总取法：$1+2+2+1=6$种。
第二空求解：
设三角形三边长为$a、b、c$，其中$c=51$为最大边，因此$a≤ b≤ 51$。
根据三角形三边关系，只需满足$a+b＞51$即可（因$a≤ b≤51$，故$a+51＞b$、$b+51＞a$必然成立）：
当$b≤25$时，$a≤ b≤25$，$a+b≤25+25=50＜51$，无符合条件的$a$；
当$b≥26$时，$a＞51-b$，结合$a≤ b$，$a$的取值个数为$b-(51-b)+1=2b-51$。
$b$的取值从26到51，共$51-26+1=26$个值，对应的个数是首项为1、末项为51、公差为2的等差数列，求和得：
$\frac{(1+51)×26}{2}=676$个。
【答案】
$\boxed{6}$；$\boxed{676}$
【知识点】
分类枚举计数；三角形三边关系；等差数列求和
【点评】
本题考查计数方法与三角形性质的结合，解题时有序分类是避免重复、遗漏的关键，第二问通过固定次大边简化了范围推导，降低了计数难度。
【难度系数】
0.6
第一问可采用分类枚举的方法，固定较小的加数，逐一找出符合“两数之和大于5”的另一个数，避免重复计数；第二问根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，结合最大边长为51的条件，固定次大边的长度，推导最小边的取值范围，再通过求和计算总个数即可。
【解析】
第一空求解：
从1~5中任取两个不同的数，按较小数分类枚举：
① 较小数为1时，两数和大于5，另一个数只能是5，共1种取法；
② 较小数为2时，另一个数需满足和＞5，可选4、5，共2种取法；
③ 较小数为3时，另一个数需大于3（避免重复计数）且和＞5，可选4、5，共2种取法；
④ 较小数为4时，另一个数只能是5，共1种取法；
总取法：$1+2+2+1=6$种。
第二空求解：
设三角形三边长为$a、b、c$，其中$c=51$为最大边，因此$a≤ b≤ 51$。
根据三角形三边关系，只需满足$a+b＞51$即可（因$a≤ b≤51$，故$a+51＞b$、$b+51＞a$必然成立）：
当$b≤25$时，$a≤ b≤25$，$a+b≤25+25=50＜51$，无符合条件的$a$；
当$b≥26$时，$a＞51-b$，结合$a≤ b$，$a$的取值个数为$b-(51-b)+1=2b-51$。
$b$的取值从26到51，共$51-26+1=26$个值，对应的个数是首项为1、末项为51、公差为2的等差数列，求和得：
$\frac{(1+51)×26}{2}=676$个。
【答案】
$\boxed{6}$；$\boxed{676}$
【知识点】
分类枚举计数；三角形三边关系；等差数列求和
【点评】
本题考查计数方法与三角形性质的结合，解题时有序分类是避免重复、遗漏的关键，第二问通过固定次大边简化了范围推导，降低了计数难度。
【难度系数】
0.6
2. [2026仙桃期中]定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若$△ ABC$是“倍长三角形”,有两条边的长分别为4和6,则第三条边的长可能为 (
A.2
B.3
C.10
D.12
B
)A.2
B.3
C.10
D.12
答案
【点拨】设三角形第三边的长是x,由三角形三边关系定理得到6-4＜x＜6+4,所以2＜x＜10.若2x=4,则x=2;若2x=6,则x=3;若x=2×4,则x=8;若x=2×6,则x=12.因为2＜x＜10,所以三角形第三条边的长是3或8.观察四个选项,第三条边的长可能是3.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确两个核心依据：一是三角形三边关系定理，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，我们可以先通过这个定理确定第三条边的取值范围，避免后续选到不符合三角形构成条件的结果；二是“倍长三角形”的新定义，我们需要分情况讨论第三条边与已知两边的倍长关系，将所有符合倍长要求的边长找出来，再和之前得到的取值范围比对筛选，最后对应选项得到答案。
【解析】
设△ABC的第三条边长为$ x $。
第一步：根据三角形三边关系确定$ x $的取值范围
已知三角形两边长为4和6，因此有：
$ 6 - 4 ＜ x ＜ 6 + 4 $，即$ 2 ＜ x ＜ 10 $。
第二步：结合“倍长三角形”的定义分情况讨论
① 若4是$ x $的2倍：则$ 2x = 4 $，解得$ x = 2 $，不在$ 2 ＜ x ＜ 10 $范围内，排除；
② 若6是$ x $的2倍：则$ 2x = 6 $，解得$ x = 3 $，在$ 2 ＜ x ＜ 10 $范围内，符合要求；
③ 若$ x $是4的2倍：则$ x = 2×4 = 8 $，在$ 2 ＜ x ＜ 10 $范围内，符合要求；
④ 若$ x $是6的2倍：则$ x = 2×6 = 12 $，不在$ 2 ＜ x ＜ 10 $范围内，排除。
综上，第三条边长可能为3或8，结合选项，只有B选项3符合要求。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；新定义理解；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查三角形三边关系的应用，解题时要先确定未知边的取值范围，再分类讨论所有可能的倍长情况，筛选时既不能漏算倍长的可能性，也不能忽略三角形三边的限制条件，避免选出无法构成三角形的结果。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确两个核心依据：一是三角形三边关系定理，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，我们可以先通过这个定理确定第三条边的取值范围，避免后续选到不符合三角形构成条件的结果；二是“倍长三角形”的新定义，我们需要分情况讨论第三条边与已知两边的倍长关系，将所有符合倍长要求的边长找出来，再和之前得到的取值范围比对筛选，最后对应选项得到答案。
【解析】
设△ABC的第三条边长为$ x $。
第一步：根据三角形三边关系确定$ x $的取值范围
已知三角形两边长为4和6，因此有：
$ 6 - 4 ＜ x ＜ 6 + 4 $，即$ 2 ＜ x ＜ 10 $。
第二步：结合“倍长三角形”的定义分情况讨论
① 若4是$ x $的2倍：则$ 2x = 4 $，解得$ x = 2 $，不在$ 2 ＜ x ＜ 10 $范围内，排除；
② 若6是$ x $的2倍：则$ 2x = 6 $，解得$ x = 3 $，在$ 2 ＜ x ＜ 10 $范围内，符合要求；
③ 若$ x $是4的2倍：则$ x = 2×4 = 8 $，在$ 2 ＜ x ＜ 10 $范围内，符合要求；
④ 若$ x $是6的2倍：则$ x = 2×6 = 12 $，不在$ 2 ＜ x ＜ 10 $范围内，排除。
综上，第三条边长可能为3或8，结合选项，只有B选项3符合要求。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；新定义理解；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查三角形三边关系的应用，解题时要先确定未知边的取值范围，再分类讨论所有可能的倍长情况，筛选时既不能漏算倍长的可能性，也不能忽略三角形三边的限制条件，避免选出无法构成三角形的结果。
【难度系数】
0.7
3. 等腰三角形的周长为21 cm.
(1)若已知腰长是底边长的3倍,求各边长;
(2)若已知一边长为5 cm,求其他两边长.
(1)若已知腰长是底边长的3倍,求各边长;
(2)若已知一边长为5 cm,求其他两边长.
答案
(1)设底边长为x cm,则腰长为3x cm.
由题意列方程,得x+3x+3x=21,解得x=3,所以3x=9.
因为3+9=12(cm)＞9 cm,所以能构成三角形.
所以三角形的三边长分别是3 cm,9 cm,9 cm.
(2)①当5 cm为腰长时,
则底边长为21-5-5=11(cm).
又因为5+5=10(cm)＜11 cm,所以不能构成三角形.
②当5 cm为底边长时,则腰长是$\frac{21-5}{2}=8$(cm).
因为5+8=13(cm)＞8 cm,所以能构成三角形.
所以其他两边长分别是8 cm,8 cm.
综上所述,其他两边长分别是8 cm,8 cm.
由题意列方程,得x+3x+3x=21,解得x=3,所以3x=9.
因为3+9=12(cm)＞9 cm,所以能构成三角形.
所以三角形的三边长分别是3 cm,9 cm,9 cm.
(2)①当5 cm为腰长时,
则底边长为21-5-5=11(cm).
又因为5+5=10(cm)＜11 cm,所以不能构成三角形.
②当5 cm为底边长时,则腰长是$\frac{21-5}{2}=8$(cm).
因为5+8=13(cm)＞8 cm,所以能构成三角形.
所以其他两边长分别是8 cm,8 cm.
综上所述,其他两边长分别是8 cm,8 cm.
解析
【分析】
(1) 第一问给出腰长与底边长的倍数关系，我们可以通过设未知数表示各边长，再根据“等腰三角形周长=2×腰长+底边长”列方程求解，最后验证所得三边是否满足三角形三边关系，确认可构成三角形后得到最终边长。
(2) 第二问仅给出一边长为5cm，未说明该边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①5cm为腰长；②5cm为底边长。分别计算另外两边长度后，同样要验证三边是否符合三角形三边关系，不符合的情况要舍去，最终得到正确结果。
【解析】
(1) 设底边长为$x$ cm，则腰长为$3x$ cm。
由题意列方程：$x+3x+3x=21$
解得$x=3$，因此腰长$3x=9$。
验证三边关系：$3+9=12\ \mathrm{cm}＞9\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边要求，可构成三角形。
(2) 分两种情况讨论：
① 当5 cm为腰长时：
底边长为$21-5-5=11\ \mathrm{cm}$
验证三边关系：$5+5=10\ \mathrm{cm}＜11\ \mathrm{cm}$，不满足三角形三边要求，此情况舍去。
② 当5 cm为底边长时：
腰长为$\frac{21-5}{2}=8\ \mathrm{cm}$
验证三边关系：$5+8=13\ \mathrm{cm}＞8\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边要求，可构成三角形。
【答案】
(1) 三角形的三边长分别是3 cm，9 cm，9 cm；
(2) 其他两边长分别是8 cm，8 cm。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型题，易错点有两个：一是遇到未明确已知边类型的等腰三角形问题时，忘记分类讨论；二是计算出边长后忽略验证三角形三边关系，导致得到不符合要求的结果，解题时要避开这两个误区。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问给出腰长与底边长的倍数关系，我们可以通过设未知数表示各边长，再根据“等腰三角形周长=2×腰长+底边长”列方程求解，最后验证所得三边是否满足三角形三边关系，确认可构成三角形后得到最终边长。
(2) 第二问仅给出一边长为5cm，未说明该边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①5cm为腰长；②5cm为底边长。分别计算另外两边长度后，同样要验证三边是否符合三角形三边关系，不符合的情况要舍去，最终得到正确结果。
【解析】
(1) 设底边长为$x$ cm，则腰长为$3x$ cm。
由题意列方程：$x+3x+3x=21$
解得$x=3$，因此腰长$3x=9$。
验证三边关系：$3+9=12\ \mathrm{cm}＞9\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边要求，可构成三角形。
(2) 分两种情况讨论：
① 当5 cm为腰长时：
底边长为$21-5-5=11\ \mathrm{cm}$
验证三边关系：$5+5=10\ \mathrm{cm}＜11\ \mathrm{cm}$，不满足三角形三边要求，此情况舍去。
② 当5 cm为底边长时：
腰长为$\frac{21-5}{2}=8\ \mathrm{cm}$
验证三边关系：$5+8=13\ \mathrm{cm}＞8\ \mathrm{cm}$，满足三角形三边要求，可构成三角形。
【答案】
(1) 三角形的三边长分别是3 cm，9 cm，9 cm；
(2) 其他两边长分别是8 cm，8 cm。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的典型题，易错点有两个：一是遇到未明确已知边类型的等腰三角形问题时，忘记分类讨论；二是计算出边长后忽略验证三角形三边关系，导致得到不符合要求的结果，解题时要避开这两个误区。
【难度系数】
0.7
4. 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，$b,c$满足$(b-2)^2 + |c-3|=0$，且$a$为方程$|x-4|=2$的解，则$△ ABC$的周长为
7
。答案
7
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据非负数的性质，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，据此求出b、c的值；第二步，解含绝对值的方程，得到a的两个可能取值；第三步，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”对a的取值进行验证，舍去不符合条件的解，最后计算三角形周长。
【解析】
1. 求b、c的值：
∵ 平方和绝对值均为非负数，即$(b-2)^2≥0$，$|c-3|≥0$，且$(b-2)^2 + |c-3|=0$
∴ $b-2=0$，$c-3=0$，解得$b=2$，$c=3$
2. 求a的可能值：
解方程$|x-4|=2$，根据绝对值的性质得：
$x-4=2$ 或 $x-4=-2$
解得$x=6$或$x=2$，即a的取值为2或6
3. 验证a的取值，计算周长：
当$a=6$时，三角形三边长为2、3、6，
∵ $2+3=5＜6$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去；
当$a=2$时，三角形三边长为2、2、3，
∵ $2+2＞3$，$2+3＞2$，满足三边关系，可构成三角形；
此时周长为$2+2+3=7$
【答案】
7
【知识点】
非负数的性质，绝对值方程求解，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用类题目，易错点在于求出a的两个解后，容易忽略用三角形三边关系进行取舍，直接代入计算得到错误周长，解题时要牢记构成三角形的前提条件，对边长的可能取值逐一验证。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据非负数的性质，两个非负数相加和为0，则每个非负数都为0，据此求出b、c的值；第二步，解含绝对值的方程，得到a的两个可能取值；第三步，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”对a的取值进行验证，舍去不符合条件的解，最后计算三角形周长。
【解析】
1. 求b、c的值：
∵ 平方和绝对值均为非负数，即$(b-2)^2≥0$，$|c-3|≥0$，且$(b-2)^2 + |c-3|=0$
∴ $b-2=0$，$c-3=0$，解得$b=2$，$c=3$
2. 求a的可能值：
解方程$|x-4|=2$，根据绝对值的性质得：
$x-4=2$ 或 $x-4=-2$
解得$x=6$或$x=2$，即a的取值为2或6
3. 验证a的取值，计算周长：
当$a=6$时，三角形三边长为2、3、6，
∵ $2+3=5＜6$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，舍去；
当$a=2$时，三角形三边长为2、2、3，
∵ $2+2＞3$，$2+3＞2$，满足三边关系，可构成三角形；
此时周长为$2+2+3=7$
【答案】
7
【知识点】
非负数的性质，绝对值方程求解，三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用类题目，易错点在于求出a的两个解后，容易忽略用三角形三边关系进行取舍，直接代入计算得到错误周长，解题时要牢记构成三角形的前提条件，对边长的可能取值逐一验证。
【难度系数】
0.7
5. 在平面内，分别用3根、5根、6根…火柴棒首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过
尝试，列表如下：
(1)用4根火柴棒能搭成三角形吗？
(2)用8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图。
尝试，列表如下：
(1)用4根火柴棒能搭成三角形吗？
(2)用8根、12根火柴棒分别能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图。
答案
(1)用4根火柴棒不能搭成三角形.
(2)用8根火柴棒能搭成一种形状的三角形,示意图如图①所示.
用12根火柴棒能搭成三种不同形状的三角形,示意图分别如图②③④所示.
解析
【分析】
解决本题的核心依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。解题时，我们把每根火柴的长度看作1，火柴总根数即为三角形的周长，先将周长拆成三个正整数的和代表三边长，再结合三边关系判断能否构成三角形，枚举三边时按最长边的取值有序枚举，可避免重复或遗漏。
(1)判断4根火柴能否搭三角形，只需将4拆为三个正整数的和，再验证是否满足三边关系即可；
(2)判断8根、12根火柴的情况，先根据周长和三边关系确定最长边的取值范围，再依次枚举其余两边的可能值，筛选出符合条件的组合即可。
【解析】
(1)将4根火柴的总长度看作4，拆分为三个正整数的和，仅能得到1、1、2这一组数。根据三角形三边关系，1+1=2，不满足“任意两边之和大于第三边”的要求，因此4根火柴棒不能搭成三角形。
(2)我们把每根火柴长度记为1，设三角形三边长为a、b、c，且规定a≤b≤c：
① 用8根火柴时，三角形周长为8，即a+b+c=8。
根据三边关系可得a+b＞c，代入得8 - c ＞ c，解得c＜4；又因为c是最长边，因此c≥$\frac{8}{3}$≈2.7，结合边长为正整数，得c=3。
此时a+b=5，结合b≤c=3，可得b=3，a=2，即三边长为2、3、3，仅1种符合条件的三角形。
② 用12根火柴时，三角形周长为12，即a+b+c=12。
根据三边关系可得a+b＞c，代入得12 - c ＞ c，解得c＜6；又因为c是最长边，因此c≥$\frac{12}{3}$=4，结合边长为正整数，c可取4、5：
当c=4时，a+b=8，结合b≤4，得a=b=4，三边长为4、4、4，是等边三角形；
当c=5时，a+b=7，结合b≤5：
若b=5，则a=2，三边长为2、5、5，是等腰三角形；
若b=4，则a=3，三边长为3、4、5，是直角三角形。
综上，12根火柴可搭成3种不同的三角形。
【答案】
(1)用4根火柴棒不能搭成三角形.
(2)用8根火柴棒能搭成一种形状的三角形,示意图如图①所示.
用12根火柴棒能搭成三种不同形状的三角形,示意图分别如图②③④所示.
【知识点】
三角形三边关系；三角形分类；枚举法应用
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，解题时要结合周长限制确定最长边的取值范围，按顺序枚举可以有效避免漏解，熟练掌握三边关系是正确解题的关键。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心依据是三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。解题时，我们把每根火柴的长度看作1，火柴总根数即为三角形的周长，先将周长拆成三个正整数的和代表三边长，再结合三边关系判断能否构成三角形，枚举三边时按最长边的取值有序枚举，可避免重复或遗漏。
(1)判断4根火柴能否搭三角形，只需将4拆为三个正整数的和，再验证是否满足三边关系即可；
(2)判断8根、12根火柴的情况，先根据周长和三边关系确定最长边的取值范围，再依次枚举其余两边的可能值，筛选出符合条件的组合即可。
【解析】
(1)将4根火柴的总长度看作4，拆分为三个正整数的和，仅能得到1、1、2这一组数。根据三角形三边关系，1+1=2，不满足“任意两边之和大于第三边”的要求，因此4根火柴棒不能搭成三角形。
(2)我们把每根火柴长度记为1，设三角形三边长为a、b、c，且规定a≤b≤c：
① 用8根火柴时，三角形周长为8，即a+b+c=8。
根据三边关系可得a+b＞c，代入得8 - c ＞ c，解得c＜4；又因为c是最长边，因此c≥$\frac{8}{3}$≈2.7，结合边长为正整数，得c=3。
此时a+b=5，结合b≤c=3，可得b=3，a=2，即三边长为2、3、3，仅1种符合条件的三角形。
② 用12根火柴时，三角形周长为12，即a+b+c=12。
根据三边关系可得a+b＞c，代入得12 - c ＞ c，解得c＜6；又因为c是最长边，因此c≥$\frac{12}{3}$=4，结合边长为正整数，c可取4、5：
当c=4时，a+b=8，结合b≤4，得a=b=4，三边长为4、4、4，是等边三角形；
当c=5时，a+b=7，结合b≤5：
若b=5，则a=2，三边长为2、5、5，是等腰三角形；
若b=4，则a=3，三边长为3、4、5，是直角三角形。
综上，12根火柴可搭成3种不同的三角形。
【答案】
(1)用4根火柴棒不能搭成三角形.
(2)用8根火柴棒能搭成一种形状的三角形,示意图如图①所示.
用12根火柴棒能搭成三种不同形状的三角形,示意图分别如图②③④所示.
【知识点】
三角形三边关系；三角形分类；枚举法应用
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的实际应用，解题时要结合周长限制确定最长边的取值范围，按顺序枚举可以有效避免漏解，熟练掌握三边关系是正确解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 如图，已知 P 是△ABC 内一点.
试说明：$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$.
试说明：$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$.
答案
因为在△ABP中,PA+PB＞AB,①
在△PBC中,PB+PC＞BC,②
在△PAC中,PA+PC＞AC,③
所以①+②+③,得2(PA+PB+PC)＞AB+BC+AC,
即$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$.
点方法 要说明线段和的大小关系,首先要把分散的线段集中,构造三角形,并运用“三角形任意两边的和大于第三边”这一关系,得出三个同向不等式,然后通过变形得出结论.
在△PBC中,PB+PC＞BC,②
在△PAC中,PA+PC＞AC,③
所以①+②+③,得2(PA+PB+PC)＞AB+BC+AC,
即$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$.
点方法 要说明线段和的大小关系,首先要把分散的线段集中,构造三角形,并运用“三角形任意两边的和大于第三边”这一关系,得出三个同向不等式,然后通过变形得出结论.
解析
【分析】
要证明线段和的不等关系，可利用三角形三边关系推导。观察图形可知，点P在△ABC内部，与三个顶点构成了△ABP、△PBC、△PAC三个小三角形，我们可以先在每个小三角形中运用“三角形任意两边之和大于第三边”得到三个同向不等式，再将三个不等式左右分别相加，最后通过化简变形得到待证结论。
【解析】
证明：
在△ABP中，由三角形三边关系可得：$PA+PB＞AB$ ①；
在△PBC中，由三角形三边关系可得：$PB+PC＞BC$ ②；
在△PAC中，由三角形三边关系可得：$PA+PC＞AC$ ③；
将①②③三个不等式左右两边分别相加，得：
$(PA+PB)+(PB+PC)+(PA+PC)＞AB+BC+AC$，
整理左边得$2(PA+PB+PC)＞AB+BC+AC$，
不等式两边同时除以2，得：
$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$。
【答案】
$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$
【知识点】
三角形三边关系，不等式的基本性质
【点评】
本题属于几何不等式证明的基础题，解题关键是学会将待研究的线段拆分到不同的小三角形中，借助三角形三边关系转化为不等式，再通过不等式变形得到结论，这种方法是解决线段和大小比较问题的常用思路。
【难度系数】
0.8
要证明线段和的不等关系，可利用三角形三边关系推导。观察图形可知，点P在△ABC内部，与三个顶点构成了△ABP、△PBC、△PAC三个小三角形，我们可以先在每个小三角形中运用“三角形任意两边之和大于第三边”得到三个同向不等式，再将三个不等式左右分别相加，最后通过化简变形得到待证结论。
【解析】
证明：
在△ABP中，由三角形三边关系可得：$PA+PB＞AB$ ①；
在△PBC中，由三角形三边关系可得：$PB+PC＞BC$ ②；
在△PAC中，由三角形三边关系可得：$PA+PC＞AC$ ③；
将①②③三个不等式左右两边分别相加，得：
$(PA+PB)+(PB+PC)+(PA+PC)＞AB+BC+AC$，
整理左边得$2(PA+PB+PC)＞AB+BC+AC$，
不等式两边同时除以2，得：
$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$。
【答案】
$PA+PB+PC＞\frac{1}{2}(AB+BC+AC)$
【知识点】
三角形三边关系，不等式的基本性质
【点评】
本题属于几何不等式证明的基础题，解题关键是学会将待研究的线段拆分到不同的小三角形中，借助三角形三边关系转化为不等式，再通过不等式变形得到结论，这种方法是解决线段和大小比较问题的常用思路。
【难度系数】
0.8
