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1. (2024·重庆中考)一个各数位均不为0的四位自然数$ M=\overline{abcd} $，若满足$ a+d=b+c=9 $，则称这个四位数为“友谊数”.例如：四位数1 278，因为$ 1+8=2+7=9 $，所以1 278是“友谊数”.若$ \overline{abcd} $是一个“友谊数”，且$ b-a=c-b=1 $，则这个数为
3456
；若$ M=\overline{abcd} $是一个“友谊数”，设$ F(M)=\frac{M}{9} $，且$ \frac{F(M)+\overline{ab}+\overline{cd}}{13} $是整数，则满足条件的M的最大值是6273
.答案
可能出现5种情况：
1. 2个黄色果冻
2. 2个红色果冻
3. 1个黄色果冻和1个红色果冻
4. 1个黄色果冻和1个白色果冻
5. 1个红色果冻和1个白色果冻
答：随意摸出2个果冻可能出现5种情况，分别是2个黄色果冻、2个红色果冻、1个黄色和1个红色果冻、1个黄色和1个白色果冻、1个红色和1个白色果冻。
1. 2个黄色果冻
2. 2个红色果冻
3. 1个黄色果冻和1个红色果冻
4. 1个黄色果冻和1个白色果冻
5. 1个红色果冻和1个白色果冻
答：随意摸出2个果冻可能出现5种情况，分别是2个黄色果冻、2个红色果冻、1个黄色和1个红色果冻、1个黄色和1个白色果冻、1个红色和1个白色果冻。
2. (2026·上海月考)黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象:任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325,则用$532-235=297$),再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.
(1)该“卡普雷卡尔黑洞数”为
(2)设任选的三位数为$\overline{abc}$,不妨设$a＞b＞c$,试说明其均可产生该黑洞数.
(1)该“卡普雷卡尔黑洞数”为
495
;(2)设任选的三位数为$\overline{abc}$,不妨设$a＞b＞c$,试说明其均可产生该黑洞数.
答案
(1) 进阶
(2)
4.3×708≈3044
4.6×2065=9499
4.8×1220=5856
3044 ＜ 5856 ＜ 9499
答：推荐进阶课。
(2)
4.3×708≈3044
4.6×2065=9499
4.8×1220=5856
3044 ＜ 5856 ＜ 9499
答：推荐进阶课。
3. 规定一种新运算：$a\otimes b=a^2 - 2b$，则$2\otimes [1\otimes (-2)]$的值是（
A.6
B.-2
C.-6
D.10
C
）A.6
B.-2
C.-6
D.10
答案
(1)
第一组:52×69×95=340860
第二组:57×65×92=340860
(分组方式不唯一，乘积相等即可)
(2)
3
第一组:52×69×95=340860
第二组:57×65×92=340860
(分组方式不唯一，乘积相等即可)
(2)
3
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解新运算的规则：符号⊗前面的数对应公式里的a，后面的数对应公式里的b，运算逻辑为a的平方减去2倍的b。运算时遵循有理数混合运算顺序，有括号先算括号内的部分，先算出中括号里1⊗(-2)的结果，再用该结果和2做新运算即可，计算时注意负号的处理。
【解析】
首先计算中括号内的$1\otimes (-2)$，此时$a=1$，$b=-2$，代入新运算公式：
$\begin{aligned}1\otimes (-2)&=1^2 - 2×(-2)\\&=1 + 4\\&=5\end{aligned}$
再计算$2\otimes 5$，此时$a=2$，$b=5$，代入新运算公式：
$\begin{aligned}2\otimes 5&=2^2 - 2×5\\&=4 - 10\\&=-6\end{aligned}$
所以原式结果为-6，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和应用，属于基础类运算题，只要严格按照给定规则、遵循运算顺序计算，注意符号不要出错就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解新运算的规则：符号⊗前面的数对应公式里的a，后面的数对应公式里的b，运算逻辑为a的平方减去2倍的b。运算时遵循有理数混合运算顺序，有括号先算括号内的部分，先算出中括号里1⊗(-2)的结果，再用该结果和2做新运算即可，计算时注意负号的处理。
【解析】
首先计算中括号内的$1\otimes (-2)$，此时$a=1$，$b=-2$，代入新运算公式：
$\begin{aligned}1\otimes (-2)&=1^2 - 2×(-2)\\&=1 + 4\\&=5\end{aligned}$
再计算$2\otimes 5$，此时$a=2$，$b=5$，代入新运算公式：
$\begin{aligned}2\otimes 5&=2^2 - 2×5\\&=4 - 10\\&=-6\end{aligned}$
所以原式结果为-6，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题重点考查对新运算规则的理解和应用，属于基础类运算题，只要严格按照给定规则、遵循运算顺序计算，注意符号不要出错就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
4. 定义一种新运算:对于任意数$a,b$,满足$⟨ a,b\rangle =\begin{cases}a-2b&(a≤ b),\\b-2a&(a＞b),\end{cases}$当$|a|=1,|b|=2$时,$⟨ a,b\rangle$的最大值为 ______ 。
答案
(1) $\boldsymbol{12}$
(2)
所有可能的总金额列式：
$5p+x$、$5p+y$、$5p+z$
$5q+x$、$5q+y$、$5q+z$
$5r+x$、$5r+y$、$5r+z$
$5s+x$、$5s+y$、$5s+z$
答：可能要用的钱数为5p+x元、5p+y元、5p+z元、5q+x元、5q+y元、5q+z元、5r+x元、5r+y元、5r+z元、5s+x元、5s+y元、5s+z元。
(3)
答：他购买的文具组合是3本特大尺寸的笔记本和4个中尺寸的笔袋。
(2)
所有可能的总金额列式：
$5p+x$、$5p+y$、$5p+z$
$5q+x$、$5q+y$、$5q+z$
$5r+x$、$5r+y$、$5r+z$
$5s+x$、$5s+y$、$5s+z$
答：可能要用的钱数为5p+x元、5p+y元、5p+z元、5q+x元、5q+y元、5q+z元、5r+x元、5r+y元、5r+z元、5s+x元、5s+y元、5s+z元。
(3)
答：他购买的文具组合是3本特大尺寸的笔记本和4个中尺寸的笔袋。
5. 餐厅摆放桌椅,照这样的方式继续排列餐桌,摆$n$张餐桌可坐人数为$K_n$.
(1)$K_n=$
(2)我们用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数$a$和正整数$n$.规定:$a☆n=\dfrac{a-K_n + |a+K_n|}{2}$,如:
$(-3)☆2=\dfrac{-3-K_2 + |-3+K_2|}{2}=\dfrac{-3-6 + |-3+6|}{2}=-3$.
①计算:$(-16)☆9$的值.
②$3☆n$与$(-3)☆n$互为相反数吗?请说明理由.
(1)$K_n=$
2n+2
(用$n$表示);$K_9=$20
.(2)我们用“☆”定义一种新运算:对于任意有理数$a$和正整数$n$.规定:$a☆n=\dfrac{a-K_n + |a+K_n|}{2}$,如:
$(-3)☆2=\dfrac{-3-K_2 + |-3+K_2|}{2}=\dfrac{-3-6 + |-3+6|}{2}=-3$.
①计算:$(-16)☆9$的值.
②$3☆n$与$(-3)☆n$互为相反数吗?请说明理由.
答案
第3题
拼法示例：
1. 1条对称轴：将2个三角形的长直角边重合拼成1个长方形，剩余2个三角形以竖直线为对称轴，对称拼接在该长方形的上方，仅存在1条竖直对称轴。
2. 2条对称轴：将4个三角形两两直角边朝外拼接，组成长4格、宽2格的长方形，共有水平、竖直2条对称轴。
3. 4条对称轴：将4个三角形的直角顶点都指向图形中心，4条斜边依次首尾相连作为大正方形的四条边，拼成大正方形，共有4条对称轴。
第4题(1)
图形变化规律为：图①到图②、图②到图③，整体每次绕自身中心逆时针旋转90°。将图③绕中心逆时针旋转90°，得到图④的图形：外层大正方形不变，内部小正方形向外伸出的短线位于大正方形底边中点，内部的折线、三角形图案同步旋转90°。
第4题(2)
设计示例：设定规律为涂色区域每次绕正方形中心顺时针旋转90°，依次在图⑤涂左上区域、图⑥涂右上区域、图⑦涂右下区域、图⑧涂左下区域，四幅图的涂色部分依次顺时针转动，符合从左到右的变化规律。
答：按上述示例完成绘制即可满足题目要求。
拼法示例：
1. 1条对称轴：将2个三角形的长直角边重合拼成1个长方形，剩余2个三角形以竖直线为对称轴，对称拼接在该长方形的上方，仅存在1条竖直对称轴。
2. 2条对称轴：将4个三角形两两直角边朝外拼接，组成长4格、宽2格的长方形，共有水平、竖直2条对称轴。
3. 4条对称轴：将4个三角形的直角顶点都指向图形中心，4条斜边依次首尾相连作为大正方形的四条边，拼成大正方形，共有4条对称轴。
第4题(1)
图形变化规律为：图①到图②、图②到图③，整体每次绕自身中心逆时针旋转90°。将图③绕中心逆时针旋转90°，得到图④的图形：外层大正方形不变，内部小正方形向外伸出的短线位于大正方形底边中点，内部的折线、三角形图案同步旋转90°。
第4题(2)
设计示例：设定规律为涂色区域每次绕正方形中心顺时针旋转90°，依次在图⑤涂左上区域、图⑥涂右上区域、图⑦涂右下区域、图⑧涂左下区域，四幅图的涂色部分依次顺时针转动，符合从左到右的变化规律。
答：按上述示例完成绘制即可满足题目要求。
解析
【分析】
(1) 先观察图形找规律：1张餐桌可坐4人，每多摆1张餐桌，可坐人数增加2人，由此推导n张餐桌可坐人数的表达式，再代入n=9计算即可。
(2) 新定义运算严格按照给定公式计算：①先代入$K_9$的数值，再结合绝对值的性质化简计算；②分别计算$3☆n$和$(-3)☆n$的结果，再根据相反数的定义判断二者是否互为相反数。
【解析】
(1) 观察图形：
摆1张餐桌可坐人数：$4=2×1+2$；
摆2张餐桌可坐人数：$6=2×2+2$；
摆3张餐桌可坐人数：$8=2×3+2$；
……
由此可得摆n张餐桌可坐人数$K_n=2n+2$；
当$n=9$时，$K_9=2×9+2=20$。
(2) ① 已知$K_9=20$，代入新运算公式：
$\begin{aligned}(-16)☆9&=\frac{-16-K_9 + |-16+K_9|}{2}\\&=\frac{-16-20 + |-16+20|}{2}\\&=\frac{-36 + 4}{2}\\&=-16\end{aligned}$
② $3☆n$与$(-3)☆n$互为相反数，理由如下：
∵n是正整数，
∴$K_n=2n+2≥4＞0$，
计算$3☆n$：
$\begin{aligned}3☆n&=\frac{3-K_n + |3+K_n|}{2}\\&=\frac{3-K_n + 3+K_n}{2}&(\mathrm{∵}3+K_n＞0,|3+K_n|=3+K_n)\\&=\frac{6}{2}=3\end{aligned}$
计算$(-3)☆n$：
$\begin{aligned}(-3)☆n&=\frac{-3-K_n + |-3+K_n|}{2}\\&=\frac{-3-K_n + K_n-3}{2}&(\mathrm{∵}K_n≥4,-3+K_n≥1＞0,|-3+K_n|=K_n-3)\\&=\frac{-6}{2}=-3\end{aligned}$
∵3和-3互为相反数，
∴$3☆n$与$(-3)☆n$互为相反数。
【答案】
(1) $2n+2$；$20$
(2) ① $\boxed{-16}$；② 是互为相反数，理由见解析。
【知识点】
图形规律探究，新定义运算，绝对值化简
【点评】
本题结合生活场景的图形规律和新定义运算，既考查观察归纳能力，又考查对绝对值、相反数基础概念的应用，解题时注意先验证规律的正确性，新运算严格遵循给定规则计算即可。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察图形找规律：1张餐桌可坐4人，每多摆1张餐桌，可坐人数增加2人，由此推导n张餐桌可坐人数的表达式，再代入n=9计算即可。
(2) 新定义运算严格按照给定公式计算：①先代入$K_9$的数值，再结合绝对值的性质化简计算；②分别计算$3☆n$和$(-3)☆n$的结果，再根据相反数的定义判断二者是否互为相反数。
【解析】
(1) 观察图形：
摆1张餐桌可坐人数：$4=2×1+2$；
摆2张餐桌可坐人数：$6=2×2+2$；
摆3张餐桌可坐人数：$8=2×3+2$；
……
由此可得摆n张餐桌可坐人数$K_n=2n+2$；
当$n=9$时，$K_9=2×9+2=20$。
(2) ① 已知$K_9=20$，代入新运算公式：
$\begin{aligned}(-16)☆9&=\frac{-16-K_9 + |-16+K_9|}{2}\\&=\frac{-16-20 + |-16+20|}{2}\\&=\frac{-36 + 4}{2}\\&=-16\end{aligned}$
② $3☆n$与$(-3)☆n$互为相反数，理由如下：
∵n是正整数，
∴$K_n=2n+2≥4＞0$，
计算$3☆n$：
$\begin{aligned}3☆n&=\frac{3-K_n + |3+K_n|}{2}\\&=\frac{3-K_n + 3+K_n}{2}&(\mathrm{∵}3+K_n＞0,|3+K_n|=3+K_n)\\&=\frac{6}{2}=3\end{aligned}$
计算$(-3)☆n$：
$\begin{aligned}(-3)☆n&=\frac{-3-K_n + |-3+K_n|}{2}\\&=\frac{-3-K_n + K_n-3}{2}&(\mathrm{∵}K_n≥4,-3+K_n≥1＞0,|-3+K_n|=K_n-3)\\&=\frac{-6}{2}=-3\end{aligned}$
∵3和-3互为相反数，
∴$3☆n$与$(-3)☆n$互为相反数。
【答案】
(1) $2n+2$；$20$
(2) ① $\boxed{-16}$；② 是互为相反数，理由见解析。
【知识点】
图形规律探究，新定义运算，绝对值化简
【点评】
本题结合生活场景的图形规律和新定义运算，既考查观察归纳能力，又考查对绝对值、相反数基础概念的应用，解题时注意先验证规律的正确性，新运算严格遵循给定规则计算即可。
【难度系数】
0.7
