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1[2026河北石家庄质检,中]如图,若x为大于1的正整数,则表示分式$\frac{2x^2 + 2x}{x^2 + 2x + 1}$的值的点落在（
A.段①处
B.段②处
C.段③处
D.段④处
C
）A.段①处
B.段②处
C.段③处
D.段④处
答案
【解析】原式$=\frac{2x(x+1)}{(x+1)^2}=\frac{2x}{x+1}=\frac{x+x}{x+1}$,已知$x$为大于1的正整数，则$\frac{x+1}{x+1}＜\frac{x+x}{x+1}＜\frac{x+x}{x}$，那么$1＜\frac{2x}{x+1}＜2$,即表示原分式的值的点落在段③处,故选C.
2[较难]已知$4x - y = 4a^2 - 8a + 16$，$x + y = a^2 + 8a - 16$，若$x ≤ y$，则$\frac{a^2 -1}{a -1}$的值为
5
。答案
【解析】$4x-y=4a^2-8a+16$, ① $x+y=a^2+8a-16$, ② ①+②得$5x=5a^2$,解得$x=a^2$. 把$x=a^2$代入②,得$y=8a-16$.
∵ $x ≤ y$,
∴ $a^2 ≤ 8a-16$,即$a^2-8a+16 ≤ 0$,
∴ $(a-4)^2 ≤ 0$,
∴ $a-4=0$,解得$a=4$,
∴ $\frac{a^2-1}{a-1}=\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}=a+1=4+1=5$,故答案为5.
∵ $x ≤ y$,
∴ $a^2 ≤ 8a-16$,即$a^2-8a+16 ≤ 0$,
∴ $(a-4)^2 ≤ 0$,
∴ $a-4=0$,解得$a=4$,
∴ $\frac{a^2-1}{a-1}=\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}=a+1=4+1=5$,故答案为5.
3[中]已知$abc=1$，不改变分式的值使分式$\frac{1}{ab+b+1},\frac{1}{bc+c+1}$的分母与$\frac{1}{ac+a+1}$的分母相同。
答案
3.【解】
∵ $abc=1$,
∴ $\frac{1}{ab+b+1}=\frac{abc}{ab+b+abc}=\frac{ac}{a+1+ac}$, $\frac{1}{bc+c+1}=\frac{abc}{bc+c+abc}=\frac{ab}{b+1+ab}=\frac{ab}{b+abc+ab}=\frac{a}{1+ac+a}$.
∵ $abc=1$,
∴ $\frac{1}{ab+b+1}=\frac{abc}{ab+b+abc}=\frac{ac}{a+1+ac}$, $\frac{1}{bc+c+1}=\frac{abc}{bc+c+abc}=\frac{ab}{b+1+ab}=\frac{ab}{b+abc+ab}=\frac{a}{1+ac+a}$.
4[2025 浙江杭州期末,中]已知三个整式$x^2+4x$，$4x+4,x^2$。
(1)从中选出两个进行加法运算,使所得整式可以因式分解,并对这个整式进行因式分解；
(2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母,要求这个分式不是最简分式,并对这个分式进行约分。
刷素养走向重高
(1)从中选出两个进行加法运算,使所得整式可以因式分解,并对这个整式进行因式分解；
(2)从中选出两个分别作为分式的分子与分母,要求这个分式不是最简分式,并对这个分式进行约分。
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答案
4.【解】(答案不唯一)(1) 选择$x^2$和$4x+4$,则$x^2+(4x+4)=(x+2)^2$.
(2) 选择$x^2+4x$作为分子,$x^2$作为分母,则$\frac{x^2+4x}{x^2}=\frac{x(x+4)}{x^2}=\frac{x+4}{x}$.
(2) 选择$x^2+4x$作为分子,$x^2$作为分母,则$\frac{x^2+4x}{x^2}=\frac{x(x+4)}{x^2}=\frac{x+4}{x}$.
5 核心素养运算能力[2025江苏宿迁期末,较难]我们给出定义:若一个分式约分后是一个整式,则称这个分式为“巧分式”,约分后的整式称为这个分式的“巧整式”.例如:$\frac{4x^2 -8x}{x-2}=\frac{4x(x-2)}{x-2}=4x$,则称分式$\frac{4x^2 -8x}{x-2}$是“巧分式”,4x为它的“巧整式”.根据上述定义,解决下列问题.
(1)下列分式中是“巧分式”的有
①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$;②$\frac{2x+5}{x+3}$;③$\frac{x^2 - y^2}{x+y}$.
(2)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$(m,n为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求m,n的值.
(3)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,请判断$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是不是“巧分式”,并说明理由.
(1)下列分式中是“巧分式”的有
①③
(填序号).①$\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}$;②$\frac{2x+5}{x+3}$;③$\frac{x^2 - y^2}{x+y}$.
(2)若分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$(m,n为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,求m,n的值.
(3)若分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,请判断$\frac{2x^3 +4x^2 +2x}{A}$是不是“巧分式”,并说明理由.
答案
5.【解】(1)
∵ $\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=2x-3$,$2x-3$是整式,
∴ ①是“巧分式”.
∵ $\frac{2x+5}{x+3}=\frac{2x+6-1}{x+3}=\frac{2(x+3)-1}{x+3}=2-\frac{1}{x+3}$,$2-\frac{1}{x+3}$不是整式,
∴ ②不是“巧分式”.
∵ $\frac{x^2 - y^2}{x+y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=x-y$,$x-y$是整式,
∴ ③是“巧分式”. 故答案为①③.
(2)
∵ 分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$(m,n为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,
∴ $(x+n)(x-7)=x^2-4x+m$,
∴ $x^2+(n-7)x-7n=x^2-4x+m$,
∴ $\begin{cases}n-7=-4,\\-7n=m,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-21,\\n=3.\end{cases}$
(3)是. 理由:
∵ 分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,
∴ $A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}=\frac{2x(1-x^2)}{1-x}=\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)=2x^2+2x$.
∵ $\frac{2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}=\frac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$,$x+1$是整式,
∴ $\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”.
∵ $\frac{(x-1)(2x-3)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=2x-3$,$2x-3$是整式,
∴ ①是“巧分式”.
∵ $\frac{2x+5}{x+3}=\frac{2x+6-1}{x+3}=\frac{2(x+3)-1}{x+3}=2-\frac{1}{x+3}$,$2-\frac{1}{x+3}$不是整式,
∴ ②不是“巧分式”.
∵ $\frac{x^2 - y^2}{x+y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=x-y$,$x-y$是整式,
∴ ③是“巧分式”. 故答案为①③.
(2)
∵ 分式$\frac{x^2 -4x +m}{x+n}$(m,n为常数)是一个“巧分式”,它的“巧整式”为$x-7$,
∴ $(x+n)(x-7)=x^2-4x+m$,
∴ $x^2+(n-7)x-7n=x^2-4x+m$,
∴ $\begin{cases}n-7=-4,\\-7n=m,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-21,\\n=3.\end{cases}$
(3)是. 理由:
∵ 分式$\frac{-2x^3 +2x}{A}$的“巧整式”为$1-x$,
∴ $A=\frac{-2x^3+2x}{1-x}=\frac{2x(1-x^2)}{1-x}=\frac{2x(1-x)(1+x)}{1-x}=2x(1+x)=2x^2+2x$.
∵ $\frac{2x^3+4x^2+2x}{2x^2+2x}=\frac{2x(x^2+2x+1)}{2x(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$,$x+1$是整式,
∴ $\frac{2x^3+4x^2+2x}{A}$是“巧分式”.
