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1 分式$\frac{4y+3x}{4a}$，$\frac{x^2 -1}{x^4 -1}$，$\frac{x^2 -xy + y^2}{x+y}$，$\frac{a^2 +2ab}{ab -2b^2}$中，最简分式有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
【解析】分式$\frac{x^2 -1}{x^4 -1}$的分子与分母有公因式$x^2 -1$，分式$\frac{4y+3x}{4a}$，$\frac{x^2 -xy + y^2}{x+y}$，$\frac{a^2 +2ab}{ab -2b^2}$是最简分式. 故选C.
2[2026河南漯河期末]下列约分正确的有(
(1)$\frac{a^2 - 2a - 3}{a^2 + 2a + 1} = \frac{a - 3}{a + 1}$；(2)$\frac{a(m - n)^3}{b(n - m)^3} = 1$；(3)$\frac{2 + xy}{xy + 2} = 0$；(4)$\frac{a + m}{b + m} = \frac{a}{b}$
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
)(1)$\frac{a^2 - 2a - 3}{a^2 + 2a + 1} = \frac{a - 3}{a + 1}$；(2)$\frac{a(m - n)^3}{b(n - m)^3} = 1$；(3)$\frac{2 + xy}{xy + 2} = 0$；(4)$\frac{a + m}{b + m} = \frac{a}{b}$
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案
【解析】(1) 原式$=\frac{(a-3)(a+1)}{(a+1)^2}=\frac{a-3}{a+1}$，符合题意；(2) 原式$=\frac{a(m-n)^3}{-b(m-n)^3}=-\frac{a}{b}$，不符合题意；(3) 原式$=\frac{xy+2}{xy+2}=1$，不符合题意；(4) 原式为最简分式，不符合题意. 故选A.
3[2025 陕西延安期末]如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”。下列分式中，是“和谐分式”的是（
A.$\frac{x-1}{x^2+1}$
B.$\frac{a-2b}{a^2 - b^2}$
C.$\frac{x+y}{x^2 - y^2}$
D.$\frac{a^2 - b^2}{(a+b)^2}$
B
）A.$\frac{x-1}{x^2+1}$
B.$\frac{a-2b}{a^2 - b^2}$
C.$\frac{x+y}{x^2 - y^2}$
D.$\frac{a^2 - b^2}{(a+b)^2}$
答案
【解析】A选项，$\frac{x-1}{x^2+1}$，分子、分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意；B选项，$\frac{a-2b}{a^2 - b^2}=\frac{a-2b}{(a+b)(a-b)}$，分母可以因式分解，且是最简分式，是“和谐分式”，符合题意；C选项，$\frac{x+y}{x^2 - y^2}=\frac{x+y}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x-y}$，分母可以因式分解，但不是最简分式，不是“和谐分式”，不符合题意；D选项，$\frac{a^2 - b^2}{(a+b)^2}=\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^2}=\frac{a-b}{a+b}$，分子可以因式分解，但不是最简分式，不是“和谐分式”，不符合题意. 故选B.
4 若$m$为实数，分式$\dfrac{x(x+2)}{x^2 + m}$不是最简分式，则$m=$
0或-4
.答案
【解析】
∵ 分式$\frac{x(x+2)}{x^2 + m}$不是最简分式，且$m$为实数，
∴ $m=0$或$-4$.
∵ 分式$\frac{x(x+2)}{x^2 + m}$不是最简分式，且$m$为实数，
∴ $m=0$或$-4$.
5[2026 四川成都期末]已知$a - b - 1 = 0$，则代数式$\frac{3a - 3b}{a^2 - 2ab + b^2}$的值是
3
.答案
【解析】
∵ $a-b-1=0$,
∴ $a-b=1$,
∴ $\frac{3a-3b}{a^2-2ab+b^2}=\frac{3(a-b)}{(a-b)^2}=\frac{3}{a-b}=\frac{3}{1}=3$,故答案为3.
∵ $a-b-1=0$,
∴ $a-b=1$,
∴ $\frac{3a-3b}{a^2-2ab+b^2}=\frac{3(a-b)}{(a-b)^2}=\frac{3}{a-b}=\frac{3}{1}=3$,故答案为3.
6 约分：
(1) $\dfrac{2a(a-1)}{8ab^2(1-a)}$
(2) $\dfrac{a^2 - 4ab + 4b^2}{a^2 - 4b^2}$
(1) $\dfrac{2a(a-1)}{8ab^2(1-a)}$
(2) $\dfrac{a^2 - 4ab + 4b^2}{a^2 - 4b^2}$
答案
6.【解】(1)$\frac{2a(a-1)}{8ab^2(1-a)}=\frac{2a(a-1)}{-8ab^2(a-1)}=-\frac{1}{4b^2}$.
(2)$\frac{a^2 -4ab +4b^2}{a^2 -4b^2}=\frac{(a-2b)^2}{(a+2b)(a-2b)}=\frac{a-2b}{a+2b}$.
(2)$\frac{a^2 -4ab +4b^2}{a^2 -4b^2}=\frac{(a-2b)^2}{(a+2b)(a-2b)}=\frac{a-2b}{a+2b}$.
7 先化简，再求值：$\frac{x^2 -4xy +4y^2}{(x-2y)^3}$，其中$x=-2,y=3$。
答案
7.【解】$\frac{x^2 -4xy +4y^2}{(x-2y)^3}=\frac{(x-2y)^2}{(x-2y)^3}=\frac{1}{x-2y}$.
把$x=-2,y=3$代入，
得原式$=\frac{1}{-2-2×3}=-\frac{1}{8}$.
把$x=-2,y=3$代入，
得原式$=\frac{1}{-2-2×3}=-\frac{1}{8}$.
8[2025 河南许昌期中]将分式$\frac{1}{1-a^2}$与分式$\frac{a+1}{a^2-2a+1}$通分后，$\frac{a+1}{a^2-2a+1}$的分母变为$(1+a)·(1-a)^2$，则$\frac{1}{1-a^2}$的分子变为（
A.$1-a$
B.$1+a$
C.$-1-a$
D.$-1+a$
A
）A.$1-a$
B.$1+a$
C.$-1-a$
D.$-1+a$
答案
【解析】
∵ 两分式的最简公分母为$(1+a)(1-a)^2$,
∴ $\frac{1}{1-a^2}=\frac{1}{(1+a)(1-a)}=\frac{1-a}{(1+a)(1-a)^2}$,
∴ $\frac{1}{1-a^2}$的分子变为$1-a$,故选A.
∵ 两分式的最简公分母为$(1+a)(1-a)^2$,
∴ $\frac{1}{1-a^2}=\frac{1}{(1+a)(1-a)}=\frac{1-a}{(1+a)(1-a)^2}$,
∴ $\frac{1}{1-a^2}$的分子变为$1-a$,故选A.
9[2026河南周口期末]分式$\frac{1}{x-2}$，$\frac{2}{3x+6}$，$\frac{3}{x^3 -4x}$的最简公分母是
3x(x+2)(x-2)
。答案
【解析】$\frac{2}{3x+6}=\frac{2}{3(x+2)}$，$\frac{3}{x^3 -4x}=\frac{3}{x(x^2-4)}=\frac{3}{x(x+2)(x-2)}$，所以分式$\frac{1}{x-2}$，$\frac{2}{3x+6}$，$\frac{3}{x^3 -4x}$的最简公分母是$3x(x+2)(x-2)$,故答案为$3x(x+2)(x-2)$.
10 $\frac{a-1}{a^2 + 2a + 1}$与$\frac{5}{1 - a^2}$通分的结果是
$\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)},\frac{-5(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$
。答案
【解析】
∵ $\frac{a-1}{a^2+2a+1}=\frac{a-1}{(a+1)^2}$，$\frac{5}{1-a^2}=\frac{-5}{a^2-1}=\frac{-5}{(a+1)(a-1)}$,
∴ 最简公分母为$(a+1)^2(a-1)$,
∴ 通分后分别为$\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)}$，$\frac{-5(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$.
∵ $\frac{a-1}{a^2+2a+1}=\frac{a-1}{(a+1)^2}$，$\frac{5}{1-a^2}=\frac{-5}{a^2-1}=\frac{-5}{(a+1)(a-1)}$,
∴ 最简公分母为$(a+1)^2(a-1)$,
∴ 通分后分别为$\frac{(a-1)^2}{(a+1)^2(a-1)}$，$\frac{-5(a+1)}{(a+1)^2(a-1)}$.
11 填写下面的表格：
答案
11.【解】填写表格如下：
| 通分前的分式 | | 最简公分母 | 通分后的分式 | |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $\frac{3}{4xy}$ | $\frac{5}{2x^2y}$ | $4x^2y$ | $\frac{3x}{4x^2y}$ | $\frac{10}{4x^2y}$ |
| $\frac{1}{2x-1}$ | $\frac{1}{2x+1}$ | $4x^2-1$ | $\frac{2x+1}{4x^2-1}$ | $\frac{2x-1}{4x^2-1}$ |
| $\frac{x}{2x-1}$ | $\frac{x+1}{4x^2-1}$ | $4x^2-1$ | $\frac{2x^2+x}{4x^2-1}$ | $\frac{x+1}{4x^2-1}$ |
| 通分前的分式 | | 最简公分母 | 通分后的分式 | |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $\frac{3}{4xy}$ | $\frac{5}{2x^2y}$ | $4x^2y$ | $\frac{3x}{4x^2y}$ | $\frac{10}{4x^2y}$ |
| $\frac{1}{2x-1}$ | $\frac{1}{2x+1}$ | $4x^2-1$ | $\frac{2x+1}{4x^2-1}$ | $\frac{2x-1}{4x^2-1}$ |
| $\frac{x}{2x-1}$ | $\frac{x+1}{4x^2-1}$ | $4x^2-1$ | $\frac{2x^2+x}{4x^2-1}$ | $\frac{x+1}{4x^2-1}$ |
