(1)若$\frac{3-2x}{x-1} =\_\_\_\_\_\_+\frac{1}{x-1}$，则横线上应填的数是（）

A.$-1$
B.$-2$
C.$-3$
D.任意有理数

(1) B

【分析】
我们可以根据加法运算中“一个加数=和-另一个加数”的关系，把求横线上的数转化为两个同分母分式的减法运算。两个分式分母相同，按照同分母分式减法规则计算，再化简分子、约分就能得到结果。
【解析】
设横线上的数为$A$，根据题意可得：
$A=\frac{3-2x}{x-1}-\frac{1}{x-1}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$A=\frac{(3-2x)-1}{x-1}$
化简分子得：
$A=\frac{2-2x}{x-1}$
对分子因式分解：
$A=\frac{-2(x-1)}{x-1}$
由分式有意义的条件可知$x≠1$，约去分子分母的公因式$x-1$，可得$A=-2$。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，解题核心是利用加减法的互逆关系列出运算式，掌握同分母分式运算规则和约分方法就能快速解答，计算时要注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.8

(2)计算$\frac{a^2 + b^2}{a - b} + \frac{2ab}{b - a}$的结果是（）

A.$a + b$
B.$a - b$
C.$\frac{(a + b)^2}{a - b}$
D.$\frac{(a - b)^2}{a + b}$

(2) B

【分析】
本题属于分式加减运算题，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，发现$a-b$和$b-a$互为相反数，可通过变形将两个分式化为同分母分式；第二步根据同分母分式加减法法则，分母不变，分子相加减得到新的分式；第三步对分子利用完全平方公式因式分解，再约分即可得到最终化简结果。
【解析】
先将第二个分式的分母转化为和第一个分式相同的形式：
$\frac{2ab}{b - a} = \frac{2ab}{-(a - b)} = -\frac{2ab}{a - b}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a^2 + b^2}{a - b} - \frac{2ab}{a - b}\\&=\frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a - b}\\&=\frac{(a - b)^2}{a - b}\\&=a - b\end{aligned}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.分式的加减运算 2.完全平方公式 3.分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础题型，核心考点是互为相反数的分母的统一方法，易错点是变形第二个分式时符号处理错误，解题时需熟练掌握完全平方公式，化简时分式约分要注意分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8

(3)计算$\frac{a^2}{a-1} - a -1$的结果是（）

A.$-\frac{1}{a-1}$
B.$\frac{1}{a-1}$
C.$-\frac{2a -1}{a-1}$
D.$\frac{2a -1}{a-1}$

(3) B

【分析】
本题属于分式与整式的减法运算，解题思路如下：首先将整式部分看作分母为1的分式，再对两个分式进行通分，转化为同分母分式的减法运算，然后按照同分母分式减法法则：分母不变，分子相减，最后化简分子即可得到结果。注意通分时要利用平方差公式展开，去括号时注意符号变化。
【解析】
解：$\frac{a^2}{a-1} - a -1$
$=\frac{a^2}{a-1} - (a+1)$
$=\frac{a^2}{a-1} - \frac{(a+1)(a-1)}{a-1}$
$=\frac{a^2 - (a^2 -1)}{a-1}$
$=\frac{a^2 - a^2 +1}{a-1}$
$=\frac{1}{a-1}$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
分式的加减法；通分；平方差公式
【点评】
本题是分式加减的基础题型，核心考点是异分母分式的加减运算规则，解题的易错点是将整式通分时变形错误、去括号时符号出错，熟练掌握分式运算的基本法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

(4)若$a+b=3$，$ab=4$，则$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值为（）

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{9}{4}$
D.$\frac{17}{4}$

(4) A

【分析】
要求$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值，首先观察这个式子是两个异分母分式相加，第一步先通分化为同分母分式，通分后可得到分子为$a^2+b^2$，分母为$ab$。已知$a+b$和$ab$的值，我们可以通过完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$求出$a^2+b^2$的值，最后整体代入化简后的式子计算即可，不需要单独求出a、b的具体值。
【解析】
首先对$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分化简：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2}{ab}+\frac{a^2}{ab}=\frac{a^2+b^2}{ab}$
根据完全平方公式变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
将$a+b=3$，$ab=4$代入上式：
$a^2+b^2=3^2 - 2×4=9-8=1$
再将$a^2+b^2=1$，$ab=4$代入$\frac{a^2+b^2}{ab}$得：
$\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{1}{4}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值类基础题，解题的关键是掌握通分法则以及完全平方公式的变形，利用整体代入的思想计算，避免了求解a、b具体值的复杂过程。
【难度系数】
0.7

(5)分式$\frac{1}{x+y}$，$\frac{1}{x^2 - y^2}$，$\frac{1}{x - y}$的最简公分母是（）

A.$(x-y)(x^2 - y^2)$
B.$(x^2 - y^2)^2$
C.$(x-y)(x-y)^2$
D.$x^2 - y^2$

(5) D

【分析】
找几个分式的最简公分母的思路是：首先将每个分母因式分解，再取各分母所有不同因式的最高次幂的乘积，即为最简公分母。我们先处理题中三个分式的分母：第一个分母$x+y$无法再分解，第二个分母$x^2-y^2$可通过平方差公式分解，第三个分母$x-y$无法再分解，再提取所有不同因式的最高次幂相乘即可。
【解析】
解：先对三个分式的分母分别因式分解：
1. $\frac{1}{x+y}$的分母为$x+y$，属于最简因式，不能再分解；
2. $\frac{1}{x^2-y^2}$的分母$x^2-y^2$，由平方差公式分解可得：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$；
3. $\frac{1}{x-y}$的分母为$x-y$，属于最简因式，不能再分解。
观察可得所有不同的因式为$x+y$、$x-y$，两个因式的最高次数均为1次，因此最简公分母为$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
最简公分母的确定，平方差公式因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题关键是先对各分母完成因式分解，再提取所有不同因式的最高次幂相乘，注意不要重复乘以相同的低次因式。
【难度系数】
0.8

(1)$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=$.

(1) $\frac{a+c}{b}$

【分析】
本题考查同分母分式的加法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，发现均为$b$，属于同分母分式相加；再回忆同分母分式的加法法则：同分母分式相加，分母不变，分子相加；最后把分子部分相加后检查结果是否为最简分式即可。
【解析】
两个分式的分母均为$b$，属于同分母分式相加，根据同分母分式加法法则：
$\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$
所得结果$\frac{a+c}{b}$没有公因式，为最简分式。
【答案】
$\frac{a+c}{b}$
【知识点】
同分母分式加减法法则
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，核心考查对同分母分式加减运算法则的记忆与应用，计算时注意不要混淆分子分母的运算规则，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

(2)$\frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{x-1} =$

(2) $x$

【分析】
首先观察算式中两个分式的分母，均为$x-1$，属于同分母分式的减法运算。解题时先回忆同分母分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。按照法则先合并分子，再对分子进行因式分解，找到分子与分母的公因式后约分，即可得到最简结果。
【解析】
根据同分母分式减法法则计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x^2 - x}{x-1}\\&=\frac{x(x-1)}{x-1} \quad \mathrm{（对分子提取公因式}x\mathrm{因式分解）}\\&=x \quad \mathrm{（约去分子分母的公因式}x-1\mathrm{，此时}x≠1\mathrm{，分式有意义）}\end{aligned}$
【答案】
$x$
【知识点】
1. 同分母分式加减法则
2. 提公因式法因式分解
3. 分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查同分母分式的减法运算规则，计算过程中要注意先正确合并分子，再对分子因式分解后约分，熟练掌握基础运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.9

(3)$\frac{1}{1-a} - \frac{1}{a-1} =$

(3) $\frac{2}{1-a}$

【分析】
本题考查分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母，可发现1-a与a-1互为相反数，先利用符号变形将两个分式化为同分母分式，再根据同分母分式的加减法法则（分母不变，分子相加减）进行计算，最后化简得到结果即可。
【解析】
解：
∵ $a-1=-(1-a)$
∴ 原式可变形为：
$\frac{1}{1-a} - \frac{1}{-(1-a)}$
$=\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-a}$
根据同分母分式加法法则，分母不变，分子相加：
$=\frac{1+1}{1-a}$
$=\frac{2}{1-a}$
【答案】
$\frac{2}{1-a}$
【知识点】
分式的加减运算、同分母分式加减法法则、分式符号变形
【点评】
本题是分式加减的基础题型，解题的核心是准确识别互为相反数的分母，通过符号调整转化为同分母分式再计算，需注意符号变形时不要出错。
【难度系数】
0.8

(4)$\frac{4}{x^2 -4} + \frac{1}{x+2} =$

(4) $\frac{1}{x-2}$

【分析】
这是异分母分式的加法运算，解题思路如下：第一步先对各分母因式分解，找到最简公分母；第二步将各分式通分为同分母分式；第三步按照同分母分式加法法则，分母不变，分子相加；第四步对得到的分式约分，化为最简分式即可。
【解析】
解：首先对第一个分式的分母因式分解：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，因此两个分式的最简公分母为$(x+2)(x-2)$。
将第二个分式通分：$\frac{1}{x+2}=\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{4}{(x+2)(x-2)}+\frac{x-2}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{4 + x - 2}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{1}{x-2} \quad (x≠\pm2)\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{x-2}$
【知识点】
平方差因式分解、分式通分、异分母分式加减
【点评】
本题属于异分母分式加减的基础题型，解题核心是先通过因式分解确定最简公分母，通分后按同分母分式加减规则运算，最后约分得到最简结果，熟练掌握通分、约分的方法以及因式分解的技巧是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8

(5)分式$\frac{1}{2xy}$，$\frac{4}{3xy^2}$，$\frac{x}{4y^2}$的最简公分母是。

(5) $12xy^2$

【分析】
要确定几个分式的最简公分母，可按固定思路逐步推导：第一步先提取各分母的系数，计算它们的最小公倍数；第二步找出各分母中包含的所有字母因式，对相同的字母因式取次数最高的；第三步将系数的最小公倍数和所有最高次的字母因式相乘，得到的结果就是最简公分母。
【解析】
首先列出三个分式的分母分别为$2xy$、$3xy^2$、$4y^2$，按步骤计算：
1. 求系数的最小公倍数：2、3、4的最小公倍数是12；
2. 确定字母因式的最高次幂：分母中出现的字母为x和y，其中x的最高次数是1，y的最高次数是2，对应最高次幂为$x$、$y^2$；
3. 合并得到最简公分母：将系数最小公倍数与各字母最高次幂相乘，即$12× x× y^2=12xy^2$。
【答案】
$12xy^2$
【知识点】
1. 最简公分母的确定
2. 最小公倍数的计算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查最简公分母的确定规则，熟练掌握“系数取最小公倍数、相同字母取最高次幂”的方法即可快速求解，是学习分式加减运算的必备基础。
【难度系数】
0.9

3. 计算.
(1)$\frac{a}{a-5}-\frac{3+a}{a-5}$；
(2)$\frac{x^2+x}{x-1}+\frac{x+1}{1-x}$；
(3)$x+1+\frac{x^2}{1-x}$；
(4)$\frac{1}{a+b}-\frac{b^2-ab}{a^2-b^2}$

(1) $-\frac{3}{a-5}$
(2) $x+1$
(3) $\frac{1}{1-x}$
(4) $\frac{1+b}{a+b}$

【分析】
这四道题均为分式加减运算，解题遵循分式加减的核心规则：①同分母分式相加减，分母不变，分子直接相加减，最终结果化为最简分式；②异分母分式相加减，先通分转化为同分母分式再计算。遇到分母互为相反数的情况（如$x-1$和$1-x$），可通过提取负号转化为同分母；遇到整式可将其看作分母为1的分式再通分，计算过程中要重点注意分子加减的符号变化，最后约分得到最简结果即可。
【解析】
(1) 本题为同分母分式减法，直接按法则计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{a-(3+a)}{a-5}\\&=\frac{a-3-a}{a-5}\\&=\frac{-3}{a-5}\\&=-\frac{3}{a-5}\end{aligned}$
(2) 先将第二个分式的分母转化为$x-1$，再按同分母分式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{x^2+x}{x-1}-\frac{x+1}{x-1}\\&=\frac{x^2+x-(x+1)}{x-1}\\&=\frac{x^2-1}{x-1}\\&=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}\\&=x+1\end{aligned}$
(3) 将$x+1$看作分母为1的分式，通分后计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x+1)(1-x)}{1-x}+\frac{x^2}{1-x}\\&=\frac{1-x^2+x^2}{1-x}\\&=\frac{1}{1-x}\end{aligned}$
(4) 先对分母因式分解，化简后转化为同分母分式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{a+b}-\frac{b^2-ab}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{1}{a+b}-\frac{-b(a-b)}{(a+b)(a-b)}\\&=\frac{1}{a+b}+\frac{b}{a+b}\\&=\frac{1+b}{a+b}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{3}{a-5}$；(2) $x+1$；(3) $\frac{1}{1-x}$；(4) $\frac{1+b}{a+b}$
【知识点】
分式的加减，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础训练题，重点考查对分式加减运算法则的掌握，易错点为分母互为相反数时的符号转化、整式通分的处理，以及分子加减时的符号错误，熟练掌握规则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75