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4. 先化简$\frac{x^2 + 2x + 1}{x - 2} · \frac{x - 1}{x^2 - 1}$，再选择一个合适的数代入求值。
答案
解：原式$=\dfrac{(x+1)^2}{x-2} · \dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)} =\dfrac{x+1}{x-2}.$
答案不唯一，如当$x=0$时，原式$=-\dfrac{1}{2}.$
答案不唯一，如当$x=0$时，原式$=-\dfrac{1}{2}.$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：首先对两个分式的分子、分母中可因式分解的多项式进行因式分解；其次根据分式乘法的运算规则，约去分子与分母的公因式，得到最简分式；最后选取合适的数代入计算，注意选取的数必须保证原式中所有分母不为0，即x不能取2、1、-1，避免原分式无意义。
【解析】
第一步：对分子分母因式分解，
原式$=\dfrac{(x+1)^2}{x-2} · \dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}$
第二步：约去分子分母的公因式$(x+1)$和$(x-1)$，注意此时$x≠\pm1$且$x≠2$，原分式才有意义，
化简得：原式$=\dfrac{x+1}{x-2}$
第三步：选取符合条件的数代入，例如取$x=0$，
代入得：$\dfrac{0+1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}$（取值不唯一，只要x不取2、1、-1均可）
【答案】
化简结果为$\dfrac{x+1}{x-2}$，示例：当$x=0$时，原式的值为$-\dfrac{1}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查因式分解能力和分式乘除的运算规则，易错点是代入求值时忽略原分式的分母不能为0的要求，选取无效的数值代入导致错误。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：首先对两个分式的分子、分母中可因式分解的多项式进行因式分解；其次根据分式乘法的运算规则，约去分子与分母的公因式，得到最简分式；最后选取合适的数代入计算，注意选取的数必须保证原式中所有分母不为0，即x不能取2、1、-1，避免原分式无意义。
【解析】
第一步：对分子分母因式分解，
原式$=\dfrac{(x+1)^2}{x-2} · \dfrac{x-1}{(x+1)(x-1)}$
第二步：约去分子分母的公因式$(x+1)$和$(x-1)$，注意此时$x≠\pm1$且$x≠2$，原分式才有意义，
化简得：原式$=\dfrac{x+1}{x-2}$
第三步：选取符合条件的数代入，例如取$x=0$，
代入得：$\dfrac{0+1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}$（取值不唯一，只要x不取2、1、-1均可）
【答案】
化简结果为$\dfrac{x+1}{x-2}$，示例：当$x=0$时，原式的值为$-\dfrac{1}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式运算的基础题，核心考查因式分解能力和分式乘除的运算规则，易错点是代入求值时忽略原分式的分母不能为0的要求，选取无效的数值代入导致错误。
【难度系数】
0.7
5. 如图，作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了。已知该题的计算结果是$\frac{1}{x+3}$。
(1)求被墨水污染的部分。
(2)原式的值能等于$\frac{1}{7}$吗？为什么？
(1)求被墨水污染的部分。
(2)原式的值能等于$\frac{1}{7}$吗？为什么？
答案
解：(1)$x-4.$
(2)不能. 因为当原式的值为$\dfrac{1}{7}$时，$x$的值为4，由题意可知，当$x=4$时，原式无意义，所以原式的值不能等于$\dfrac{1}{7}.$
(2)不能. 因为当原式的值为$\dfrac{1}{7}$时，$x$的值为4，由题意可知，当$x=4$时，原式无意义，所以原式的值不能等于$\dfrac{1}{7}.$
解析
【分析】
(1) 设被墨水污染的部分为整式A，先利用平方差公式对$x^2-9$因式分解，再根据分式除法“除以一个分式等于乘这个分式的倒数”的法则将除法转化为乘法，结合已知的运算结果列等式，化简后即可求出A的值。
(2) 先假设原式的值等于$\frac{1}{7}$，列方程求解x，再结合分式有意义的条件（分母、除式均不能为0）检验求出的x值，若x使原式无意义，则原式的值不能等于$\frac{1}{7}$，反之则可以。
【解析】
(1) 设被墨水污染的部分为$A$。
先对分母因式分解：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，根据题意可得：
$\frac{x-4}{x^2-9} ÷ \frac{A}{x-3} = \frac{1}{x+3}$
将除法转化为乘法：
$\frac{x-4}{(x+3)(x-3)} × \frac{x-3}{A} = \frac{1}{x+3}$
约分化简得：
$\frac{x-4}{A(x+3)} = \frac{1}{x+3}$
$x+3≠0$，两边同时乘$x+3$得$\frac{x-4}{A}=1$，解得$A=x-4$。
(2) 不能，理由如下：
假设原式的值等于$\frac{1}{7}$，则$\frac{1}{x+3}=\frac{1}{7}$，解得$x=4$。
要使原式有意义，需满足：$x^2-9≠0$，$x-3≠0$，且除式的分子$x-4≠0$，即$x≠\pm3$且$x≠4$。
当$x=4$时，除式的分子为0，除式值为0，除数不能为0，原式无意义，因此原式的值不能等于$\frac{1}{7}$。
【答案】
(1) $\boxed{x-4}$
(2) 不能，当原式的值为$\frac{1}{7}$时$x=4$，此时原式无意义。
【知识点】
分式的乘除运算；分式有意义的条件；解分式方程
【点评】
本题重点考查分式运算的规则和分式有意义的隐含限制条件，解题时要注意，无论是分式化简还是解分式方程，都要检验自变量的取值是否让原式的分母或除式为0，避免出现增根或无意义的情况。
【难度系数】
0.7
(1) 设被墨水污染的部分为整式A，先利用平方差公式对$x^2-9$因式分解，再根据分式除法“除以一个分式等于乘这个分式的倒数”的法则将除法转化为乘法，结合已知的运算结果列等式，化简后即可求出A的值。
(2) 先假设原式的值等于$\frac{1}{7}$，列方程求解x，再结合分式有意义的条件（分母、除式均不能为0）检验求出的x值，若x使原式无意义，则原式的值不能等于$\frac{1}{7}$，反之则可以。
【解析】
(1) 设被墨水污染的部分为$A$。
先对分母因式分解：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，根据题意可得：
$\frac{x-4}{x^2-9} ÷ \frac{A}{x-3} = \frac{1}{x+3}$
将除法转化为乘法：
$\frac{x-4}{(x+3)(x-3)} × \frac{x-3}{A} = \frac{1}{x+3}$
约分化简得：
$\frac{x-4}{A(x+3)} = \frac{1}{x+3}$
$x+3≠0$，两边同时乘$x+3$得$\frac{x-4}{A}=1$，解得$A=x-4$。
(2) 不能，理由如下：
假设原式的值等于$\frac{1}{7}$，则$\frac{1}{x+3}=\frac{1}{7}$，解得$x=4$。
要使原式有意义，需满足：$x^2-9≠0$，$x-3≠0$，且除式的分子$x-4≠0$，即$x≠\pm3$且$x≠4$。
当$x=4$时，除式的分子为0，除式值为0，除数不能为0，原式无意义，因此原式的值不能等于$\frac{1}{7}$。
【答案】
(1) $\boxed{x-4}$
(2) 不能，当原式的值为$\frac{1}{7}$时$x=4$，此时原式无意义。
【知识点】
分式的乘除运算；分式有意义的条件；解分式方程
【点评】
本题重点考查分式运算的规则和分式有意义的隐含限制条件，解题时要注意，无论是分式化简还是解分式方程，都要检验自变量的取值是否让原式的分母或除式为0，避免出现增根或无意义的情况。
【难度系数】
0.7
6. “丰收1号”小麦试验田是一块边长为$a\ \mathrm{m}(a＞1)$的正方形田地去掉一块边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分，如图①所示；“丰收2号”小麦试验田是一块边长为$(a-1)\ \mathrm{m}$的正方形田地，如图②所示.已知两块试验田的小麦产量都为500 kg.
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)单位面积产量高的小麦$1\ \mathrm{m}^2$的产量是单位面积产量低的小麦$1\ \mathrm{m}^2$产量的多少倍？
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)单位面积产量高的小麦$1\ \mathrm{m}^2$的产量是单位面积产量低的小麦$1\ \mathrm{m}^2$产量的多少倍？
答案
(1) “丰收1号”小麦试验田的面积为$(a^2-1)\mathrm{m}^2$，单位面积产量为$\dfrac{500}{a^2-1}\mathrm{kg}$；“丰收2号”小麦试验田的面积为$(a-1)^2\mathrm{m}^2$，单位面积产量为$\dfrac{500}{(a-1)^2}\mathrm{kg}.$
$\because a^2-1-(a-1)^2=2(a-1)$，且$a＞1$，
$\therefore 2(a-1)＞0.$
$\therefore a^2-1＞(a-1)^2.$
$\therefore \dfrac{500}{a^2-1}＜\dfrac{500}{(a-1)^2}.$
$\therefore$ “丰收2号”小麦的单位面积产量高.
(2) $\because \dfrac{500}{(a-1)^2} ÷ \dfrac{500}{a^2-1} = \dfrac{500}{(a-1)^2} · \dfrac{a^2-1}{500} =\dfrac{a+1}{a-1},$
$\therefore$ “丰收2号”小麦$1\ \mathrm{m}^2$的产量是“丰收1号”小麦$1\ \mathrm{m}^2$产量的$\dfrac{a+1}{a-1}$倍.
$\because a^2-1-(a-1)^2=2(a-1)$，且$a＞1$，
$\therefore 2(a-1)＞0.$
$\therefore a^2-1＞(a-1)^2.$
$\therefore \dfrac{500}{a^2-1}＜\dfrac{500}{(a-1)^2}.$
$\therefore$ “丰收2号”小麦的单位面积产量高.
(2) $\because \dfrac{500}{(a-1)^2} ÷ \dfrac{500}{a^2-1} = \dfrac{500}{(a-1)^2} · \dfrac{a^2-1}{500} =\dfrac{a+1}{a-1},$
$\therefore$ “丰收2号”小麦$1\ \mathrm{m}^2$的产量是“丰收1号”小麦$1\ \mathrm{m}^2$产量的$\dfrac{a+1}{a-1}$倍.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。对于第一问，先分别求出两块试验田的种植面积，再写出各自的单位面积产量，由于两块试验田总产量相同，因此只需通过作差法比较种植面积的大小，即可判断单位面积产量的高低（分子相同时，分母越小分数值越大）。对于第二问，求倍数关系直接用单位面积产量高的除以低的，按照分式除法的运算法则，结合因式分解约分即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算两块试验田的面积和单位面积产量：
“丰收1号”小麦试验田的面积为边长为$a$的正方形面积减去边长为$1\ \mathrm{m}$的正方形面积，即$S_1=a^2-1\ \mathrm{m}^2$，单位面积产量为$\dfrac{500}{a^2-1}\ \mathrm{kg/m^2}$；
“丰收2号”小麦试验田是边长为$(a-1)\ \mathrm{m}$的正方形，面积为$S_2=(a-1)^2\ \mathrm{m}^2$，单位面积产量为$\dfrac{500}{(a-1)^2}\ \mathrm{kg/m^2}$。
用作差法比较两个面积的大小：
$a^2-1-(a-1)^2=a^2-1-(a^2-2a+1)=2(a-1)$，
已知$a＞1$，因此$a-1＞0$，即$2(a-1)＞0$，可得$a^2-1＞(a-1)^2$。
由于总产量均为500kg，分子相同，分母越大分数值越小，因此$\dfrac{500}{a^2-1}＜\dfrac{500}{(a-1)^2}$，即“丰收2号”小麦的单位面积产量更高。
(2) 用高单位面积产量除以低单位面积产量求倍数：
$\dfrac{500}{(a-1)^2} ÷ \dfrac{500}{a^2-1} = \dfrac{500}{(a-1)^2} · \dfrac{a^2-1}{500}$，
对$a^2-1$因式分解为$(a+1)(a-1)$，代入约分可得：
$\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}=\dfrac{a+1}{a-1}$。
【答案】
(1) “丰收2号”小麦的单位面积产量高；
(2) 单位面积产量高的小麦$1\ \mathrm{m}^2$的产量是单位面积产量低的小麦$1\ \mathrm{m}^2$产量的$\dfrac{a+1}{a-1}$倍。
【知识点】
分式大小比较；分式乘除运算；平方差公式
【点评】
本题结合实际应用场景考察分式相关知识，解题的核心是正确表达出两块试验田的单位面积产量，再利用分式的性质和运算法则求解，既锻炼了代数运算能力，也考察了结合实际分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。对于第一问，先分别求出两块试验田的种植面积，再写出各自的单位面积产量，由于两块试验田总产量相同，因此只需通过作差法比较种植面积的大小，即可判断单位面积产量的高低（分子相同时，分母越小分数值越大）。对于第二问，求倍数关系直接用单位面积产量高的除以低的，按照分式除法的运算法则，结合因式分解约分即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算两块试验田的面积和单位面积产量：
“丰收1号”小麦试验田的面积为边长为$a$的正方形面积减去边长为$1\ \mathrm{m}$的正方形面积，即$S_1=a^2-1\ \mathrm{m}^2$，单位面积产量为$\dfrac{500}{a^2-1}\ \mathrm{kg/m^2}$；
“丰收2号”小麦试验田是边长为$(a-1)\ \mathrm{m}$的正方形，面积为$S_2=(a-1)^2\ \mathrm{m}^2$，单位面积产量为$\dfrac{500}{(a-1)^2}\ \mathrm{kg/m^2}$。
用作差法比较两个面积的大小：
$a^2-1-(a-1)^2=a^2-1-(a^2-2a+1)=2(a-1)$，
已知$a＞1$，因此$a-1＞0$，即$2(a-1)＞0$，可得$a^2-1＞(a-1)^2$。
由于总产量均为500kg，分子相同，分母越大分数值越小，因此$\dfrac{500}{a^2-1}＜\dfrac{500}{(a-1)^2}$，即“丰收2号”小麦的单位面积产量更高。
(2) 用高单位面积产量除以低单位面积产量求倍数：
$\dfrac{500}{(a-1)^2} ÷ \dfrac{500}{a^2-1} = \dfrac{500}{(a-1)^2} · \dfrac{a^2-1}{500}$，
对$a^2-1$因式分解为$(a+1)(a-1)$，代入约分可得：
$\dfrac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}=\dfrac{a+1}{a-1}$。
【答案】
(1) “丰收2号”小麦的单位面积产量高；
(2) 单位面积产量高的小麦$1\ \mathrm{m}^2$的产量是单位面积产量低的小麦$1\ \mathrm{m}^2$产量的$\dfrac{a+1}{a-1}$倍。
【知识点】
分式大小比较；分式乘除运算；平方差公式
【点评】
本题结合实际应用场景考察分式相关知识，解题的核心是正确表达出两块试验田的单位面积产量，再利用分式的性质和运算法则求解，既锻炼了代数运算能力，也考察了结合实际分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
