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1. 计算：
(1) $\frac{4a + 4b}{5ab} · \frac{15a^2b}{a^2 - b^2}$；
(2) $\frac{5m^2}{6n} ÷ (-5mn^2)$；
(3) $\frac{a^2 - 4}{a - 3} ÷ \frac{a + 2}{a^2 - 6a + 9}$。
(1) $\frac{4a + 4b}{5ab} · \frac{15a^2b}{a^2 - b^2}$；
(2) $\frac{5m^2}{6n} ÷ (-5mn^2)$；
(3) $\frac{a^2 - 4}{a - 3} ÷ \frac{a + 2}{a^2 - 6a + 9}$。
答案
(1) 原式$=\frac{4(a + b)}{5ab} · \frac{15a^2b}{(a + b)(a - b)}=\frac{12a}{a - b}$。
(2) 原式$=\frac{5m^2}{6n} ÷ \frac{-5mn^2}{1} = \frac{5m^2}{6n} · \frac{1}{-5mn^2}=-\frac{m}{6n^3}$。
(3) 原式$=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 3} · \frac{(a - 3)^2}{a + 2} = (a - 2)(a - 3)=a^2 -5a +6$。
(2) 原式$=\frac{5m^2}{6n} ÷ \frac{-5mn^2}{1} = \frac{5m^2}{6n} · \frac{1}{-5mn^2}=-\frac{m}{6n^3}$。
(3) 原式$=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 3} · \frac{(a - 3)^2}{a + 2} = (a - 2)(a - 3)=a^2 -5a +6$。
解析
【分析】
这三道题均为分式乘除基础运算，解题可按固定思路逐步推进：1. 转换运算形式：遇到除法时，先依据“除以一个非零整式等于乘它的倒数”，把除法统一为乘法运算；2. 因式分解：将分子、分母中可分解的多项式，通过提公因式、平方差公式、完全平方公式完成因式分解；3. 约分：约去分子、分母中相同的数字公因式、单项式公因式和多项式公因式，注意负号要提前单独处理；4. 化简剩余部分的乘积，得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先对分子、分母因式分解，再约分计算：
原式$=\frac{4(a + b)}{5ab} · \frac{15a^2b}{(a + b)(a - b)}=\frac{12a}{a - b}$
(2) 先将除法转化为乘法，再约分计算：
原式$=\frac{5m^2}{6n} ÷ \frac{-5mn^2}{1} = \frac{5m^2}{6n} · \frac{1}{-5mn^2}=-\frac{m}{6n^3}$
(3) 先转换为乘法，再因式分解后约分计算：
原式$=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 3} · \frac{(a - 3)^2}{a + 2} = (a - 2)(a - 3)=a^2 -5a +6$
【答案】
(1) $\frac{12a}{a - b}$；(2) $-\frac{m}{6n^3}$；(3) $a^2 -5a +6$
【知识点】
1. 分式乘除运算法则 2. 因式分解 3. 乘法公式
【点评】
本题属于分式乘除的常规基础题，解题关键是熟练掌握除法转乘法的规则、常见因式分解的方法，运算过程中要注意符号的准确性，保证约分彻底即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这三道题均为分式乘除基础运算，解题可按固定思路逐步推进：1. 转换运算形式：遇到除法时，先依据“除以一个非零整式等于乘它的倒数”，把除法统一为乘法运算；2. 因式分解：将分子、分母中可分解的多项式，通过提公因式、平方差公式、完全平方公式完成因式分解；3. 约分：约去分子、分母中相同的数字公因式、单项式公因式和多项式公因式，注意负号要提前单独处理；4. 化简剩余部分的乘积，得到最简结果即可。
【解析】
(1) 先对分子、分母因式分解，再约分计算：
原式$=\frac{4(a + b)}{5ab} · \frac{15a^2b}{(a + b)(a - b)}=\frac{12a}{a - b}$
(2) 先将除法转化为乘法，再约分计算：
原式$=\frac{5m^2}{6n} ÷ \frac{-5mn^2}{1} = \frac{5m^2}{6n} · \frac{1}{-5mn^2}=-\frac{m}{6n^3}$
(3) 先转换为乘法，再因式分解后约分计算：
原式$=\frac{(a + 2)(a - 2)}{a - 3} · \frac{(a - 3)^2}{a + 2} = (a - 2)(a - 3)=a^2 -5a +6$
【答案】
(1) $\frac{12a}{a - b}$；(2) $-\frac{m}{6n^3}$；(3) $a^2 -5a +6$
【知识点】
1. 分式乘除运算法则 2. 因式分解 3. 乘法公式
【点评】
本题属于分式乘除的常规基础题，解题关键是熟练掌握除法转乘法的规则、常见因式分解的方法，运算过程中要注意符号的准确性，保证约分彻底即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
【典型例题 2】某水果超市运来桃子和西瓜这两种水果，已知桃子的质量为$(m-2)^2$kg，西瓜的质量为$(m^2-4)$kg，其中$m＞2$，售完后，两种水果都卖了540元。
(1)请用含$m$的式子分别表示每千克桃子的价格和每千克西瓜的价格。
(2)每千克桃子的价格是每千克西瓜价格的多少倍？
思路导引 先利用数量关系“每千克水果的价格＝总价÷千克数”分别表示出每千克桃子的价格和每千克西瓜的价格(即第一问所求)，再用每千克桃子的价格除以每千克西瓜的价格即可得第二问的结果。
【解】(1)每千克桃子的价格为$\frac{540}{(m-2)^2}$元，每千克西瓜的价格为$\frac{540}{m^2-4}$元。
(2)$\frac{540}{(m-2)^2} ÷ \frac{540}{m^2-4} = \frac{540}{(m-2)^2} · \frac{(m+2)(m-2)}{540} = \frac{m+2}{m-2}$，所以每千克桃子的价格是每千克西瓜价格的$\frac{m+2}{m-2}$倍。
规律方法 利用常见的公式或数量关系将实际问题转化为分式的运算，然后按照运算法则计算出结果。
(1)请用含$m$的式子分别表示每千克桃子的价格和每千克西瓜的价格。
(2)每千克桃子的价格是每千克西瓜价格的多少倍？
思路导引 先利用数量关系“每千克水果的价格＝总价÷千克数”分别表示出每千克桃子的价格和每千克西瓜的价格(即第一问所求)，再用每千克桃子的价格除以每千克西瓜的价格即可得第二问的结果。
【解】(1)每千克桃子的价格为$\frac{540}{(m-2)^2}$元，每千克西瓜的价格为$\frac{540}{m^2-4}$元。
(2)$\frac{540}{(m-2)^2} ÷ \frac{540}{m^2-4} = \frac{540}{(m-2)^2} · \frac{(m+2)(m-2)}{540} = \frac{m+2}{m-2}$，所以每千克桃子的价格是每千克西瓜价格的$\frac{m+2}{m-2}$倍。
规律方法 利用常见的公式或数量关系将实际问题转化为分式的运算，然后按照运算法则计算出结果。
答案
解：
(1) 根据“每千克水果的价格=总价÷水果质量”，可得
每千克桃子的价格为$\frac{540}{(m-2)^2}$元，
每千克西瓜的价格为$\frac{540}{m^2-4}$元。
(2) 计算每千克桃子价格是每千克西瓜价格的倍数：
$\begin{aligned}\frac{540}{(m-2)^2} ÷ \frac{540}{m^2-4} &= \frac{540}{(m-2)^2} · \frac{m^2-4}{540} \\&= \frac{540}{(m-2)^2} · \frac{(m+2)(m-2)}{540} \\&= \frac{m+2}{m-2}\end{aligned}$
答：(1) 每千克桃子的价格为$\frac{540}{(m-2)^2}$元，每千克西瓜的价格为$\frac{540}{m^2-4}$元；(2) 每千克桃子的价格是每千克西瓜价格的$\frac{m+2}{m-2}$倍。
(1) 根据“每千克水果的价格=总价÷水果质量”，可得
每千克桃子的价格为$\frac{540}{(m-2)^2}$元，
每千克西瓜的价格为$\frac{540}{m^2-4}$元。
(2) 计算每千克桃子价格是每千克西瓜价格的倍数：
$\begin{aligned}\frac{540}{(m-2)^2} ÷ \frac{540}{m^2-4} &= \frac{540}{(m-2)^2} · \frac{m^2-4}{540} \\&= \frac{540}{(m-2)^2} · \frac{(m+2)(m-2)}{540} \\&= \frac{m+2}{m-2}\end{aligned}$
答：(1) 每千克桃子的价格为$\frac{540}{(m-2)^2}$元，每千克西瓜的价格为$\frac{540}{m^2-4}$元；(2) 每千克桃子的价格是每千克西瓜价格的$\frac{m+2}{m-2}$倍。
解析
【分析】
解题思路分两步推进：(1)求解两种水果的单价，可直接利用数量关系“单价=总价÷质量”，已知两种水果的总价均为540元，题目已经给出两种水果质量的代数式，代入公式即可得到对应单价的代数式，已知m＞2，因此两个质量的代数式均为正数，所列分式均有意义；(2)求解单价的倍数关系，用桃子的单价除以西瓜的单价即可，分式除法运算需要先转化为乘法运算，再对多项式因式分解后约分，就能得到化简后的结果。
【解析】
(1) 根据“每千克水果的价格=总价÷水果质量”计算单价：
每千克桃子的价格为$\frac{540}{(m-2)^2}$元，
每千克西瓜的价格为$\frac{540}{m^2-4}$元。
(2) 计算每千克桃子价格是每千克西瓜价格的倍数，用桃子单价除以西瓜单价：
$\begin{aligned}\frac{540}{(m-2)^2} ÷ \frac{540}{m^2-4} &= \frac{540}{(m-2)^2} · \frac{m^2-4}{540} \\&= \frac{540}{(m-2)^2} · \frac{(m+2)(m-2)}{540} \\&= \frac{m+2}{m-2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 每千克桃子的价格为$\frac{540}{(m-2)^2}$元，每千克西瓜的价格为$\frac{540}{m^2-4}$元；
(2) 每千克桃子的价格是每千克西瓜价格的$\frac{m+2}{m-2}$倍。
【知识点】
列代数式、分式的乘除运算、因式分解
【点评】
本题结合生活实际场景考查分式的相关运算，解题的核心是掌握单价、总价、数量三者的关系，同时要熟练掌握分式除法“除变乘、倒分母”的运算规则，以及因式分解在分式约分中的应用，侧重基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步推进：(1)求解两种水果的单价，可直接利用数量关系“单价=总价÷质量”，已知两种水果的总价均为540元，题目已经给出两种水果质量的代数式，代入公式即可得到对应单价的代数式，已知m＞2，因此两个质量的代数式均为正数，所列分式均有意义；(2)求解单价的倍数关系，用桃子的单价除以西瓜的单价即可，分式除法运算需要先转化为乘法运算，再对多项式因式分解后约分，就能得到化简后的结果。
【解析】
(1) 根据“每千克水果的价格=总价÷水果质量”计算单价：
每千克桃子的价格为$\frac{540}{(m-2)^2}$元，
每千克西瓜的价格为$\frac{540}{m^2-4}$元。
(2) 计算每千克桃子价格是每千克西瓜价格的倍数，用桃子单价除以西瓜单价：
$\begin{aligned}\frac{540}{(m-2)^2} ÷ \frac{540}{m^2-4} &= \frac{540}{(m-2)^2} · \frac{m^2-4}{540} \\&= \frac{540}{(m-2)^2} · \frac{(m+2)(m-2)}{540} \\&= \frac{m+2}{m-2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 每千克桃子的价格为$\frac{540}{(m-2)^2}$元，每千克西瓜的价格为$\frac{540}{m^2-4}$元；
(2) 每千克桃子的价格是每千克西瓜价格的$\frac{m+2}{m-2}$倍。
【知识点】
列代数式、分式的乘除运算、因式分解
【点评】
本题结合生活实际场景考查分式的相关运算，解题的核心是掌握单价、总价、数量三者的关系，同时要熟练掌握分式除法“除变乘、倒分母”的运算规则，以及因式分解在分式约分中的应用，侧重基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.7
2. 为了美化环境，需要在某块空地上种植 $ m $ 棵树，若甲队单独植树，则需要 $ n $ 天$(n＞1)$才能完成，若乙队单独植树，则乙队完成这项工程的时间比甲队的2倍多1天. 甲队每天植树的棵数是乙队的3倍吗？请说明理由.
答案
甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍.理由如下：
由题意可知，甲队每天植树的棵数为$\frac{m}{n}$，乙队每天植树的棵数为$\frac{m}{2n+1}$，
则$\frac{m}{n} ÷ \frac{m}{2n+1} = \frac{m}{n} · \frac{2n+1}{m} = \frac{2n+1}{n}$。
因为$n＞1$，
所以$2n+1＜3n$，
所以$\frac{2n+1}{n}＜\frac{3n}{n}$，即$\frac{2n+1}{n}＜3$，
所以甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍。
由题意可知，甲队每天植树的棵数为$\frac{m}{n}$，乙队每天植树的棵数为$\frac{m}{2n+1}$，
则$\frac{m}{n} ÷ \frac{m}{2n+1} = \frac{m}{n} · \frac{2n+1}{m} = \frac{2n+1}{n}$。
因为$n＞1$，
所以$2n+1＜3n$，
所以$\frac{2n+1}{n}＜\frac{3n}{n}$，即$\frac{2n+1}{n}＜3$，
所以甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍。
解析
【分析】
要判断甲队每天植树棵数是否为乙队的3倍，首先根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙两队的日植树量（工作效率），再通过作商求出甲队效率是乙队的多少倍，最后结合已知条件$n＞1$，将得到的倍数与3比较大小，即可得出结论。
【解析】
解：甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍，理由如下：
已知总种植量为$m$棵，甲队单独完成需$n$天，因此甲队每天植树棵数为$\frac{m}{n}$；
乙队单独完成的时间比甲队的2倍多1天，即乙队单独完成需要$(2n+1)$天，因此乙队每天植树棵数为$\frac{m}{2n+1}$。
计算甲队效率是乙队的倍数：
$\frac{m}{n} ÷ \frac{m}{2n+1} = \frac{m}{n} · \frac{2n+1}{m} = \frac{2n+1}{n}$
因为$n＞1$，所以$2n+1 ＜ 2n + n = 3n$，
不等式两边同时除以正数$n$，不等号方向不变，可得$\frac{2n+1}{n} ＜ \frac{3n}{n}$，即$\frac{2n+1}{n} ＜ 3$，
因此甲队每天植树的棵数不到乙队的3倍。
【答案】
甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍。理由：由题意可知，甲队每天植树的棵数为$\frac{m}{n}$，乙队每天植树的棵数为$\frac{m}{2n+1}$，则$\frac{m}{n} ÷ \frac{m}{2n+1} = \frac{2n+1}{n}$，因为$n＞1$，所以$2n+1＜3n$，即$\frac{2n+1}{n}＜3$，故甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍。
【知识点】
分式的除法运算，工程问题公式，分式大小比较
【点评】
本题结合工程问题考查分式运算的实际应用，解题核心是准确表示两队的工作效率，再通过作商比较大小，注意$n＞1$的限制条件是推导倍数范围的关键。
【难度系数】
0.7
要判断甲队每天植树棵数是否为乙队的3倍，首先根据“工作效率=工作总量÷工作时间”，分别求出甲、乙两队的日植树量（工作效率），再通过作商求出甲队效率是乙队的多少倍，最后结合已知条件$n＞1$，将得到的倍数与3比较大小，即可得出结论。
【解析】
解：甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍，理由如下：
已知总种植量为$m$棵，甲队单独完成需$n$天，因此甲队每天植树棵数为$\frac{m}{n}$；
乙队单独完成的时间比甲队的2倍多1天，即乙队单独完成需要$(2n+1)$天，因此乙队每天植树棵数为$\frac{m}{2n+1}$。
计算甲队效率是乙队的倍数：
$\frac{m}{n} ÷ \frac{m}{2n+1} = \frac{m}{n} · \frac{2n+1}{m} = \frac{2n+1}{n}$
因为$n＞1$，所以$2n+1 ＜ 2n + n = 3n$，
不等式两边同时除以正数$n$，不等号方向不变，可得$\frac{2n+1}{n} ＜ \frac{3n}{n}$，即$\frac{2n+1}{n} ＜ 3$，
因此甲队每天植树的棵数不到乙队的3倍。
【答案】
甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍。理由：由题意可知，甲队每天植树的棵数为$\frac{m}{n}$，乙队每天植树的棵数为$\frac{m}{2n+1}$，则$\frac{m}{n} ÷ \frac{m}{2n+1} = \frac{2n+1}{n}$，因为$n＞1$，所以$2n+1＜3n$，即$\frac{2n+1}{n}＜3$，故甲队每天植树的棵数不是乙队的3倍。
【知识点】
分式的除法运算，工程问题公式，分式大小比较
【点评】
本题结合工程问题考查分式运算的实际应用，解题核心是准确表示两队的工作效率，再通过作商比较大小，注意$n＞1$的限制条件是推导倍数范围的关键。
【难度系数】
0.7
