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6.通分：
(1)$\frac{3c}{4a^2b}$与$\frac{a}{6b^2c}$；
(2)
(1)$\frac{3c}{4a^2b}$与$\frac{a}{6b^2c}$；
(2)
答案
6.【解】（1）最简公分母是 $12a^2b^2c$，$\frac{3c}{4a^2b} = \frac{3c · 3bc}{4a^2b · 3bc}=\frac{9bc^2}{12a^2b^2c}$；$\frac{a}{6b^2c} = \frac{a · 2a^2}{6b^2c · 2a^2}=\frac{2a^3}{12a^2b^2c}.$
(2)最简公分母是 $x(x+2)^2$，
$\frac{x-2}{x^2+2x}=\frac{(x-2) · (x+2)}{x(x+2) · (x+2)}=\frac{x^2-4}{x(x+2)^2}$；
$\frac{1}{x^2+4x+4}=\frac{1 · x}{(x+2)^2 · x}=\frac{x}{x(x+2)^2}.$
(2)最简公分母是 $x(x+2)^2$，
$\frac{x-2}{x^2+2x}=\frac{(x-2) · (x+2)}{x(x+2) · (x+2)}=\frac{x^2-4}{x(x+2)^2}$；
$\frac{1}{x^2+4x+4}=\frac{1 · x}{(x+2)^2 · x}=\frac{x}{x(x+2)^2}.$
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将各分式的分母转化为最简公分母。（1）对于单项式作为分母的情况，最简公分母取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母的乘积即可，再给每个分式的分子、分母同乘分母原本缺少的因式，完成通分。（2）对于多项式作为分母的情况，先把每个分母因式分解：第一个分母$x^2+2x$提取公因式得$x(x+2)$，第二个分母$x^2+4x+4$用完全平方公式分解得$(x+2)^2$，再取所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母，最后利用分式的基本性质变形即可。
【解析】
（1）两个分式的分母分别为$4a^2b$、$6b^2c$，系数4和6的最小公倍数是12，字母部分取最高次幂$a^2$、$b^2$、$c$，因此最简公分母为$12a^2b^2c$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{3c}{4a^2b} = \frac{3c · 3bc}{4a^2b · 3bc}=\frac{9bc^2}{12a^2b^2c}$；
$\frac{a}{6b^2c} = \frac{a · 2a^2}{6b^2c · 2a^2}=\frac{2a^3}{12a^2b^2c}$。
（2）先对两个分式的分母因式分解：
$x^2+2x=x(x+2)$，$x^2+4x+4=(x+2)^2$，因此最简公分母为$x(x+2)^2$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{x-2}{x^2+2x}=\frac{(x-2) · (x+2)}{x(x+2) · (x+2)}=\frac{x^2-4}{x(x+2)^2}$；
$\frac{1}{x^2+4x+4}=\frac{1 · x}{(x+2)^2 · x}=\frac{x}{x(x+2)^2}$。
【答案】
（1）$\frac{3c}{4a^2b}=\frac{9bc^2}{12a^2b^2c}$，$\frac{a}{6b^2c}=\frac{2a^3}{12a^2b^2c}$；
（2）$\frac{x-2}{x^2+2x}=\frac{x^2-4}{x(x+2)^2}$，$\frac{1}{x^2+4x+4}=\frac{x}{x(x+2)^2}$
【知识点】
分式的通分，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是掌握最简公分母的确定方法，注意遇到多项式分母时要先因式分解，再找公分母，计算分子时要避免漏乘的错误。
【难度系数】
0.85
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将各分式的分母转化为最简公分母。（1）对于单项式作为分母的情况，最简公分母取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母的乘积即可，再给每个分式的分子、分母同乘分母原本缺少的因式，完成通分。（2）对于多项式作为分母的情况，先把每个分母因式分解：第一个分母$x^2+2x$提取公因式得$x(x+2)$，第二个分母$x^2+4x+4$用完全平方公式分解得$(x+2)^2$，再取所有因式的最高次幂的乘积作为最简公分母，最后利用分式的基本性质变形即可。
【解析】
（1）两个分式的分母分别为$4a^2b$、$6b^2c$，系数4和6的最小公倍数是12，字母部分取最高次幂$a^2$、$b^2$、$c$，因此最简公分母为$12a^2b^2c$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{3c}{4a^2b} = \frac{3c · 3bc}{4a^2b · 3bc}=\frac{9bc^2}{12a^2b^2c}$；
$\frac{a}{6b^2c} = \frac{a · 2a^2}{6b^2c · 2a^2}=\frac{2a^3}{12a^2b^2c}$。
（2）先对两个分式的分母因式分解：
$x^2+2x=x(x+2)$，$x^2+4x+4=(x+2)^2$，因此最简公分母为$x(x+2)^2$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{x-2}{x^2+2x}=\frac{(x-2) · (x+2)}{x(x+2) · (x+2)}=\frac{x^2-4}{x(x+2)^2}$；
$\frac{1}{x^2+4x+4}=\frac{1 · x}{(x+2)^2 · x}=\frac{x}{x(x+2)^2}$。
【答案】
（1）$\frac{3c}{4a^2b}=\frac{9bc^2}{12a^2b^2c}$，$\frac{a}{6b^2c}=\frac{2a^3}{12a^2b^2c}$；
（2）$\frac{x-2}{x^2+2x}=\frac{x^2-4}{x(x+2)^2}$，$\frac{1}{x^2+4x+4}=\frac{x}{x(x+2)^2}$
【知识点】
分式的通分，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是掌握最简公分母的确定方法，注意遇到多项式分母时要先因式分解，再找公分母，计算分子时要避免漏乘的错误。
【难度系数】
0.85
7.(2024·北京中考)已知$a - b - 1 = 0$，求代数式$\dfrac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}$的值。
答案
7.【解】因为 $a - b - 1 = 0$，
所以 $a - b = 1$，
所以$\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}=\frac{3a - 6b + 3b}{(a - b)^2}=\frac{3a - 3b}{(a - b)^2}=$
$\frac{3(a - b)}{(a - b)^2}=\frac{3}{a - b}=\frac{3}{1}=3.$
所以 $a - b = 1$，
所以$\frac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}=\frac{3a - 6b + 3b}{(a - b)^2}=\frac{3a - 3b}{(a - b)^2}=$
$\frac{3(a - b)}{(a - b)^2}=\frac{3}{a - b}=\frac{3}{1}=3.$
解析
【分析】
解题时可先从已知条件入手，变形得到a-b的整体值，再化简所求代数式：首先对分子去括号、合并同类项，提取公因式转化为含(a-b)的式子，再利用完全平方公式将分母因式分解，约分后将a-b的整体值代入计算即可。
【解析】
解：因为 $a - b - 1 = 0$，
所以 $a - b = 1$，
对代数式化简：
$\dfrac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}$
$=\dfrac{3a - 6b + 3b}{(a - b)^2}$
$=\dfrac{3a - 3b}{(a - b)^2}$
$=\dfrac{3(a - b)}{(a - b)^2}$
$=\dfrac{3}{a - b}$
将$a - b = 1$代入，得$\dfrac{3}{1}=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
分式的约分、完全平方公式、代数式化简求值
【点评】
本题是典型的代数式化简求值题，核心考查整体代入的思想，解题关键是将所求代数式化简为含已知条件的整体形式，计算时需要注意完全平方公式的正确应用以及分式约分的规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
解题时可先从已知条件入手，变形得到a-b的整体值，再化简所求代数式：首先对分子去括号、合并同类项，提取公因式转化为含(a-b)的式子，再利用完全平方公式将分母因式分解，约分后将a-b的整体值代入计算即可。
【解析】
解：因为 $a - b - 1 = 0$，
所以 $a - b = 1$，
对代数式化简：
$\dfrac{3(a - 2b) + 3b}{a^2 - 2ab + b^2}$
$=\dfrac{3a - 6b + 3b}{(a - b)^2}$
$=\dfrac{3a - 3b}{(a - b)^2}$
$=\dfrac{3(a - b)}{(a - b)^2}$
$=\dfrac{3}{a - b}$
将$a - b = 1$代入，得$\dfrac{3}{1}=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
分式的约分、完全平方公式、代数式化简求值
【点评】
本题是典型的代数式化简求值题，核心考查整体代入的思想，解题关键是将所求代数式化简为含已知条件的整体形式，计算时需要注意完全平方公式的正确应用以及分式约分的规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
8.已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}≠0$，求分式$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$的值.
答案
8.【解】设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k(k≠0)$,则 $a=2k , b=3k$，$c=4k.$
故$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{6k^2+12k^2+8k^2}{4k^2+9k^2+16k^2}=\frac{26k^2}{29k^2}=\frac{26}{29}.$
故$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{6k^2+12k^2+8k^2}{4k^2+9k^2+16k^2}=\frac{26k^2}{29k^2}=\frac{26}{29}.$
解析
【分析】
题目给出了a、b、c的连等比例关系且比值不为0，对于这类连比类的代数式求值问题，可采用设参数法求解：先设这个相等的比值为参数k（k≠0），即可将a、b、c都转化为含k的代数式，再代入待求分式中，分子分母的公因式可通过约分化去，最终得到分式的定值。
【解析】
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k(k≠0)$，则可得：
$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$
将上述表达式代入分式$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2k·3k + 3k·4k + 4k·2k}{(2k)^2 + (3k)^2 + (4k)^2}\\&=\frac{6k^2 + 12k^2 + 8k^2}{4k^2 + 9k^2 + 16k^2}\\&=\frac{26k^2}{29k^2}\end{aligned}$
∵$k≠0$，
∴$k^2≠0$，约去$k^2$得：
原式$=\frac{26}{29}$
【答案】
$\frac{26}{29}$
【知识点】
比例的性质，分式约分，代数式求值
【点评】
本题是比例类代数式求值的典型题型，核心解题方法为设参数法，通过引入参数可将多个未知量统一为同一参数的表达式，代入化简后消去参数即可得到结果，熟练掌握设参数法能快速解决这类连比求值问题。
【难度系数】
0.7
题目给出了a、b、c的连等比例关系且比值不为0，对于这类连比类的代数式求值问题，可采用设参数法求解：先设这个相等的比值为参数k（k≠0），即可将a、b、c都转化为含k的代数式，再代入待求分式中，分子分母的公因式可通过约分化去，最终得到分式的定值。
【解析】
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k(k≠0)$，则可得：
$a=2k$，$b=3k$，$c=4k$
将上述表达式代入分式$\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{2k·3k + 3k·4k + 4k·2k}{(2k)^2 + (3k)^2 + (4k)^2}\\&=\frac{6k^2 + 12k^2 + 8k^2}{4k^2 + 9k^2 + 16k^2}\\&=\frac{26k^2}{29k^2}\end{aligned}$
∵$k≠0$，
∴$k^2≠0$，约去$k^2$得：
原式$=\frac{26}{29}$
【答案】
$\frac{26}{29}$
【知识点】
比例的性质，分式约分，代数式求值
【点评】
本题是比例类代数式求值的典型题型，核心解题方法为设参数法，通过引入参数可将多个未知量统一为同一参数的表达式，代入化简后消去参数即可得到结果，熟练掌握设参数法能快速解决这类连比求值问题。
【难度系数】
0.7
9. 已知分式$\frac{1}{3x^2 - 3}$，$\frac{2}{x - 1}$，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且$\frac{b}{a}=3$，试求这两个分式的值。
答案
9.【解】两个分式中分母的公因式为 $x - 1$,两个分式的最简公分母为 $3(x + 1)(x - 1)$,所以 $a = x - 1 , b = 3(x + 1)(x - 1).$ 因为 $\frac{b}{a}=3$,所以$\frac{3(x + 1)(x - 1)}{x - 1}=3$,
即 $3(x + 1) = 3$, 解 得 $x = 0$, 所以 $\frac{1}{3x^2 - 3}=$
$\frac{1}{3×0^2 - 3}=-\frac{1}{3} , \frac{2}{x - 1}=\frac{2}{0 - 1}=-2.$
即 $3(x + 1) = 3$, 解 得 $x = 0$, 所以 $\frac{1}{3x^2 - 3}=$
$\frac{1}{3×0^2 - 3}=-\frac{1}{3} , \frac{2}{x - 1}=\frac{2}{0 - 1}=-2.$
解析
【分析】
解题时首先回忆公因式和最简公分母的定义，先对两个分式的分母做因式分解：公因式是两个分母共有的公共因式，最简公分母是取各分母所有因式最高次幂的乘积。先将第一个分母$3x^2-3$因式分解，再结合第二个分母$x-1$确定公因式$a$和最简公分母$b$；之后将$a、b$代入$\frac{b}{a}=3$的条件，注意分式有意义时分母不为0，约去公共因式后解方程求出$x$的值；最后将$x$代入两个分式计算结果即可。
【解析】
先对第一个分式的分母因式分解：
$3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x + 1)(x - 1)$
两个分母分别为$3(x + 1)(x - 1)$和$x - 1$，因此公因式$a = x - 1$，最简公分母$b = 3(x + 1)(x - 1)$。
根据题意$\frac{b}{a}=3$，代入得：
$\frac{3(x + 1)(x - 1)}{x - 1}=3$
由分式有意义的条件可知$x≠1$，因此可以约去$x - 1$，化简得：
$3(x + 1) = 3$
解得$x = 0$
将$x=0$代入两个分式计算：
$\frac{1}{3x^2 - 3}=\frac{1}{3×0^2 - 3}=-\frac{1}{3}$
$\frac{2}{x - 1}=\frac{2}{0 - 1}=-2$
【答案】
$\frac{1}{3x^2 - 3}=-\frac{1}{3}$，$\frac{2}{x - 1}=-2$
【知识点】
公因式的确定；最简公分母的确定；分式求值
【点评】
本题结合分式基础概念与一元一次方程考查，解题核心是正确对分母因式分解，准确找到公因式和最简公分母，求解过程中要注意验证分式有意义的条件，避免出现分母为0的增根。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆公因式和最简公分母的定义，先对两个分式的分母做因式分解：公因式是两个分母共有的公共因式，最简公分母是取各分母所有因式最高次幂的乘积。先将第一个分母$3x^2-3$因式分解，再结合第二个分母$x-1$确定公因式$a$和最简公分母$b$；之后将$a、b$代入$\frac{b}{a}=3$的条件，注意分式有意义时分母不为0，约去公共因式后解方程求出$x$的值；最后将$x$代入两个分式计算结果即可。
【解析】
先对第一个分式的分母因式分解：
$3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x + 1)(x - 1)$
两个分母分别为$3(x + 1)(x - 1)$和$x - 1$，因此公因式$a = x - 1$，最简公分母$b = 3(x + 1)(x - 1)$。
根据题意$\frac{b}{a}=3$，代入得：
$\frac{3(x + 1)(x - 1)}{x - 1}=3$
由分式有意义的条件可知$x≠1$，因此可以约去$x - 1$，化简得：
$3(x + 1) = 3$
解得$x = 0$
将$x=0$代入两个分式计算：
$\frac{1}{3x^2 - 3}=\frac{1}{3×0^2 - 3}=-\frac{1}{3}$
$\frac{2}{x - 1}=\frac{2}{0 - 1}=-2$
【答案】
$\frac{1}{3x^2 - 3}=-\frac{1}{3}$，$\frac{2}{x - 1}=-2$
【知识点】
公因式的确定；最简公分母的确定；分式求值
【点评】
本题结合分式基础概念与一元一次方程考查，解题核心是正确对分母因式分解，准确找到公因式和最简公分母，求解过程中要注意验证分式有意义的条件，避免出现分母为0的增根。
【难度系数】
0.8
10. 使分式$\frac{2x^2 -4x +2}{(x-1)^3}$的值为整数的整数x的值有多少个？请先阅读解题过程，然后回答有关问题。
因为$\frac{2x^2 -4x +2}{(x-1)^3}=\frac{2(x-1)^2}{(x-1)^3}=\frac{2}{x-1}$，且该分式的值及x的值均为整数，所以x-1能整除2。当x=1时，因为x-1=0，所以分母为零，分式无意义，所以x-1可取的值为±1，±2，从而x可为-1，0，2，3，那么满足条件的x的值共有4个。
运用这种解题思路，使分式$\frac{6x^2 -12x +6}{(x-1)^3}$的值为整数的整数x的值的个数为
因为$\frac{2x^2 -4x +2}{(x-1)^3}=\frac{2(x-1)^2}{(x-1)^3}=\frac{2}{x-1}$，且该分式的值及x的值均为整数，所以x-1能整除2。当x=1时，因为x-1=0，所以分母为零，分式无意义，所以x-1可取的值为±1，±2，从而x可为-1，0，2，3，那么满足条件的x的值共有4个。
运用这种解题思路，使分式$\frac{6x^2 -12x +6}{(x-1)^3}$的值为整数的整数x的值的个数为
8
。答案
10.8
解析
【分析】
解题时首先对分式的分子进行因式分解，再对分式约分，注意要满足分式有意义的条件，即分母不能为0，排除x=1的情况；再根据分式值为整数、x为整数的要求，可知约分后分母x-1是分子6的整数因数，列举出6的所有正负整数因数，即可求出对应的x值，统计符合条件的x的个数即可。
【解析】
首先化简分式：
对分子因式分解：$6x^2 -12x +6=6(x^2-2x+1)=6(x-1)^2$，
则原式$\frac{6x^2 -12x +6}{(x-1)^3}=\frac{6(x-1)^2}{(x-1)^3}=\frac{6}{x-1}$，
根据分式有意义的条件，分母不为0，即$x-1≠0$，得$x≠1$。
已知分式的值为整数，且x为整数，因此$x-1$是6的整数因数，
6的整数因数有$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，共8个：
当$x-1=1$时，$x=2$；当$x-1=-1$时，$x=0$；
当$x-1=2$时，$x=3$；当$x-1=-2$时，$x=-1$；
当$x-1=3$时，$x=4$；当$x-1=-3$时，$x=-2$；
当$x-1=6$时，$x=7$；当$x-1=-6$时，$x=-5$；
上述x值均不等于1，均符合要求，因此满足条件的整数x共有8个。
【答案】
8
【知识点】
分式约分，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题核心是先化简分式再结合整数整除的性质求解，需要特别注意分母不为0的隐含限制，同时要考虑到负因数的情况，避免出现漏解或者多算x=1的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先对分式的分子进行因式分解，再对分式约分，注意要满足分式有意义的条件，即分母不能为0，排除x=1的情况；再根据分式值为整数、x为整数的要求，可知约分后分母x-1是分子6的整数因数，列举出6的所有正负整数因数，即可求出对应的x值，统计符合条件的x的个数即可。
【解析】
首先化简分式：
对分子因式分解：$6x^2 -12x +6=6(x^2-2x+1)=6(x-1)^2$，
则原式$\frac{6x^2 -12x +6}{(x-1)^3}=\frac{6(x-1)^2}{(x-1)^3}=\frac{6}{x-1}$，
根据分式有意义的条件，分母不为0，即$x-1≠0$，得$x≠1$。
已知分式的值为整数，且x为整数，因此$x-1$是6的整数因数，
6的整数因数有$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$，共8个：
当$x-1=1$时，$x=2$；当$x-1=-1$时，$x=0$；
当$x-1=2$时，$x=3$；当$x-1=-2$时，$x=-1$；
当$x-1=3$时，$x=4$；当$x-1=-3$时，$x=-2$；
当$x-1=6$时，$x=7$；当$x-1=-6$时，$x=-5$；
上述x值均不等于1，均符合要求，因此满足条件的整数x共有8个。
【答案】
8
【知识点】
分式约分，因式分解，分式有意义的条件
【点评】
本题核心是先化简分式再结合整数整除的性质求解，需要特别注意分母不为0的隐含限制，同时要考虑到负因数的情况，避免出现漏解或者多算x=1的错误。
【难度系数】
0.7
