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9. 学习了去括号这一节的知识后,小明发现有些情况下还可以通过添括号解决问题,以下是他研究的内容:
请在下列各式右边式子合适的位置添上括号,使箭头左边的式子和箭头右边的式子相等。
(1)$-a+b-c+d\leftrightarrow -a+b-c+d$;
(2)$-a+b-c+d\leftrightarrow -a-b+c-d$;
(3)$-a+b-c+d\leftrightarrow -a+b-c-d$;
(4)$-a+b-c+d\leftrightarrow -a-b+c+d$。
变式1.$1+mn-4n^2-3m^2=1-($$)$;
变式2.若$x+y=4,xy=1$,则代数式$4xy-3x-3y$的值为;
变式3.若$2x+y=1,-y+2z=-3$,则$x+y-z$的值为。
请在下列各式右边式子合适的位置添上括号,使箭头左边的式子和箭头右边的式子相等。
(1)$-a+b-c+d\leftrightarrow -a+b-c+d$;
(2)$-a+b-c+d\leftrightarrow -a-b+c-d$;
(3)$-a+b-c+d\leftrightarrow -a+b-c-d$;
(4)$-a+b-c+d\leftrightarrow -a-b+c+d$。
变式1.$1+mn-4n^2-3m^2=1-($$)$;
变式2.若$x+y=4,xy=1$,则代数式$4xy-3x-3y$的值为;
变式3.若$2x+y=1,-y+2z=-3$,则$x+y-z$的值为。
答案
解：
(1) $-a+b-c+d=-a+(b-c+d)$
(2) $-a+b-c+d=-a-(-b+c-d)$
(3) $-a+b-c+d=-a+b-(c-d)$
(4) $-a+b-c+d=-a-b+(2b-c+d)$
变式1. $1+mn-4n^2-3m^2=1-(3m^2+4n^2-mn)$
故答案为：$3m^2+4n^2-mn$
变式2.
$\because x+y=4, xy=1$
$\therefore 4xy-3x-3y=4xy-3(x+y)=4×1-3×4=4-12=-8$
故答案为：$-8$
变式3.
$\because 2x+y=1, -y+2z=-3$
$\therefore x+y-z=\frac{1}{2}(2x+y)-\frac{1}{2}(-y+2z)=\frac{1}{2}×1-\frac{1}{2}×(-3)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$
故答案为：$2$
(1) $-a+b-c+d=-a+(b-c+d)$
(2) $-a+b-c+d=-a-(-b+c-d)$
(3) $-a+b-c+d=-a+b-(c-d)$
(4) $-a+b-c+d=-a-b+(2b-c+d)$
变式1. $1+mn-4n^2-3m^2=1-(3m^2+4n^2-mn)$
故答案为：$3m^2+4n^2-mn$
变式2.
$\because x+y=4, xy=1$
$\therefore 4xy-3x-3y=4xy-3(x+y)=4×1-3×4=4-12=-8$
故答案为：$-8$
变式3.
$\because 2x+y=1, -y+2z=-3$
$\therefore x+y-z=\frac{1}{2}(2x+y)-\frac{1}{2}(-y+2z)=\frac{1}{2}×1-\frac{1}{2}×(-3)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$
故答案为：$2$
解析
【分析】
本题核心考查添括号法则与整体代入求值的方法：1. 添括号法则：括号前是“+”，括号内各项符号不变；括号前是“-”，括号内各项符号都改变，解决前4道添括号题时，对比左右两边式子的符号差异，将需要改变符号的项放在带“-”的括号内，符号不变的项放在带“+”的括号内即可。2. 变式1是添括号的直接应用，将括号前为负号的部分各项变号后填入括号。3. 变式2、3属于代数式求值，需要观察已知条件和所求代数式的结构，通过添括号提取公因式、拆分系数的方法构造出已知的整体代数式，再代入数值计算即可。
【解析】
(1) 观察左右两边式子完全相同，将后三项放在带“+”的括号内即可，得$-a+b-c+d=-a+(b-c+d)$；
(2) 对比左右两边，原后三项$+b-c+d$变为$-b+c-d$，所有项都变号，因此将后三项放在带“-”的括号内，括号内各项变号，得$-a+b-c+d=-a-(-b+c-d)$；
(3) 对比左右两边，原后两项$-c+d$变为$-c-d$，仅$+d$变号，因此将后两项放在带“-”的括号内，括号内各项变号，得$-a+b-c+d=-a+b-(c-d)$；
(4) 对比左右两边，原$+b-c+d$变为$-b+c+d$，前两项$+b-c$变号，$+d$不变，合理构造变号部分可得$-a+b-c+d=-a-b+(2b-c+d)$；
变式1：根据添括号法则，括号前为“-”，括号内各项变号，$1+mn-4n^2-3m^2=1-(-mn+4n^2+3m^2)=1-(3m^2+4n^2-mn)$；
变式2：先对代数式变形，提取公因式$-3$得$4xy-3x-3y=4xy-3(x+y)$，将$x+y=4,xy=1$代入，得$4×1 - 3×4=4-12=-8$；
变式3：观察已知两个等式，将所求代数式拆分为已知整体的形式：$x+y-z=\frac{1}{2}(2x+y) - \frac{1}{2}(-y+2z)$，将$2x+y=1,-y+2z=-3$代入，得$\frac{1}{2}×1 - \frac{1}{2}×(-3)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$。
【答案】
(1) $-a+(b-c+d)$；(2) $-a-(-b+c-d)$；(3) $-a+b-(c-d)$；(4) $-a-b+(2b-c+d)$；
变式1：$3m^2+4n^2-mn$；变式2：$-8$；变式3：$2$
【知识点】
添括号法则，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题侧重考查添括号法则的灵活运用，以及整体思想在代数式运算中的应用，需要熟练掌握括号前后的符号变化规律，学会观察代数式结构，通过合理变形简化运算，是整式加减部分的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
本题核心考查添括号法则与整体代入求值的方法：1. 添括号法则：括号前是“+”，括号内各项符号不变；括号前是“-”，括号内各项符号都改变，解决前4道添括号题时，对比左右两边式子的符号差异，将需要改变符号的项放在带“-”的括号内，符号不变的项放在带“+”的括号内即可。2. 变式1是添括号的直接应用，将括号前为负号的部分各项变号后填入括号。3. 变式2、3属于代数式求值，需要观察已知条件和所求代数式的结构，通过添括号提取公因式、拆分系数的方法构造出已知的整体代数式，再代入数值计算即可。
【解析】
(1) 观察左右两边式子完全相同，将后三项放在带“+”的括号内即可，得$-a+b-c+d=-a+(b-c+d)$；
(2) 对比左右两边，原后三项$+b-c+d$变为$-b+c-d$，所有项都变号，因此将后三项放在带“-”的括号内，括号内各项变号，得$-a+b-c+d=-a-(-b+c-d)$；
(3) 对比左右两边，原后两项$-c+d$变为$-c-d$，仅$+d$变号，因此将后两项放在带“-”的括号内，括号内各项变号，得$-a+b-c+d=-a+b-(c-d)$；
(4) 对比左右两边，原$+b-c+d$变为$-b+c+d$，前两项$+b-c$变号，$+d$不变，合理构造变号部分可得$-a+b-c+d=-a-b+(2b-c+d)$；
变式1：根据添括号法则，括号前为“-”，括号内各项变号，$1+mn-4n^2-3m^2=1-(-mn+4n^2+3m^2)=1-(3m^2+4n^2-mn)$；
变式2：先对代数式变形，提取公因式$-3$得$4xy-3x-3y=4xy-3(x+y)$，将$x+y=4,xy=1$代入，得$4×1 - 3×4=4-12=-8$；
变式3：观察已知两个等式，将所求代数式拆分为已知整体的形式：$x+y-z=\frac{1}{2}(2x+y) - \frac{1}{2}(-y+2z)$，将$2x+y=1,-y+2z=-3$代入，得$\frac{1}{2}×1 - \frac{1}{2}×(-3)=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$。
【答案】
(1) $-a+(b-c+d)$；(2) $-a-(-b+c-d)$；(3) $-a+b-(c-d)$；(4) $-a-b+(2b-c+d)$；
变式1：$3m^2+4n^2-mn$；变式2：$-8$；变式3：$2$
【知识点】
添括号法则，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题侧重考查添括号法则的灵活运用，以及整体思想在代数式运算中的应用，需要熟练掌握括号前后的符号变化规律，学会观察代数式结构，通过合理变形简化运算，是整式加减部分的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
10. (1)学习和体会:若一个两位数的十位数字是3,个位数字是5,那么通过计算$3×10+5=35$得到这个两位数;若一个两位数的十位数字是$x$,个位数字是6,请写出这个两位数。
(2)尝试与发现:请从自然数1—9中任意选出两个数写成一个两位数,尝试下列计算:把个位数字与十位数字相加后再乘11结果记作$M_1$;调换个位数字与十位数字的位置形成新的两位数,把新两位数与原两位数相加结果记作$M_2$。你发现$M_1$与$M_2$的大小关系为。
(3)提出问题:在(2)的条件下,假设十位上的数字为$a$,个位上的数字为$b$,请通过计算比较$M_1$和$M_2$的大小。
(4)灵活应用:在(2)的条件下,假设十位上的数字为“$6-m$”,个位上的数字为“$3+m$”,求$M_2$的值。
(2)尝试与发现:请从自然数1—9中任意选出两个数写成一个两位数,尝试下列计算:把个位数字与十位数字相加后再乘11结果记作$M_1$;调换个位数字与十位数字的位置形成新的两位数,把新两位数与原两位数相加结果记作$M_2$。你发现$M_1$与$M_2$的大小关系为。
(3)提出问题:在(2)的条件下,假设十位上的数字为$a$,个位上的数字为$b$,请通过计算比较$M_1$和$M_2$的大小。
(4)灵活应用:在(2)的条件下,假设十位上的数字为“$6-m$”,个位上的数字为“$3+m$”,求$M_2$的值。
答案
解：
(1) 这个两位数为$\boldsymbol{10x+6}$。
(2) $M_1$与$M_2$的大小关系为$\boldsymbol{M_1=M_2}$。
(3) 由题意可得：
$M_1=11(a+b)=11a+11b$
原两位数为$10a+b$，调换位置后的新两位数为$10b+a$，
$M_2=(10a+b)+(10b+a)$
$=10a+b+10b+a$
$=11a+11b$
因此$M_1=M_2$。
(4) 由(3)的结论可知$M_2=11(a+b)$，将十位数字$6-m$，个位数字$3+m$代入：
$M_2=11×[(6-m)+(3+m)]$
$=11×(6-m+3+m)$
$=11×9$
$=99$
(1) 这个两位数为$\boldsymbol{10x+6}$。
(2) $M_1$与$M_2$的大小关系为$\boldsymbol{M_1=M_2}$。
(3) 由题意可得：
$M_1=11(a+b)=11a+11b$
原两位数为$10a+b$，调换位置后的新两位数为$10b+a$，
$M_2=(10a+b)+(10b+a)$
$=10a+b+10b+a$
$=11a+11b$
因此$M_1=M_2$。
(4) 由(3)的结论可知$M_2=11(a+b)$，将十位数字$6-m$，个位数字$3+m$代入：
$M_2=11×[(6-m)+(3+m)]$
$=11×(6-m+3+m)$
$=11×9$
$=99$
解析
【分析】
(1) 解决本小问的核心是掌握两位数的表示方法：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字，已知十位数字为x，个位数字为6，直接代入公式即可写出对应的代数式。
(2) 可以通过举特例验证：任选1-9中的两个数字，比如选1和2，组成两位数12，计算得$M_1=(1+2)×11=33$，$M_2=12+21=33$，可直接发现二者的大小关系。
(3) 要比较$M_1$和$M_2$的大小，先分别用含a、b的代数式表示出$M_1$和$M_2$，再对两个代数式进行化简，对比化简后的结果即可判断大小。
(4) 利用(3)推导得到的结论$M_2=11×(十位数字+个位数字)$，将题目给出的十位、个位数字代入，合并同类项后即可求出结果，计算时注意含m的项会相互抵消。
【解析】
(1) 根据两位数的表示方法，十位数字为x，个位数字为6时，这个两位数为$10×x + 6 = 10x+6$。
(2) 举例验证：取两位数13，$M_1=(1+3)×11=44$，$M_2=13+31=44$，可得$M_1=M_2$（任意举例均可得到相同结论）。
(3) 由题意可得：
$M_1=11(a+b)=11a+11b$
原两位数为$10a+b$，调换位置后的新两位数为$10b+a$，
$M_2=(10a+b)+(10b+a)$
$=10a+b+10b+a$
$=11a+11b$
因此$M_1=M_2$。
(4) 由(3)的结论可知$M_2=11(a+b)$，其中a为十位数字，b为个位数字，将$a=6-m$，$b=3+m$代入：
$M_2=11×[(6-m)+(3+m)]$
$=11×(6-m+3+m)$
$=11×9$
$=99$
【答案】
(1) $\boldsymbol{10x+6}$
(2) $\boldsymbol{M_1=M_2}$
(3) $\boldsymbol{M_1=M_2}$
(4) $\boldsymbol{99}$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题围绕两位数的表示展开，从具体实例探究到抽象代数推导，再到结论的灵活应用，循序渐进地考查了整式相关知识的应用，渗透了由特殊到一般的数学思想，能帮助学生掌握数字类问题的分析思路。
【难度系数】
0.85
(1) 解决本小问的核心是掌握两位数的表示方法：两位数 = 十位数字×10 + 个位数字，已知十位数字为x，个位数字为6，直接代入公式即可写出对应的代数式。
(2) 可以通过举特例验证：任选1-9中的两个数字，比如选1和2，组成两位数12，计算得$M_1=(1+2)×11=33$，$M_2=12+21=33$，可直接发现二者的大小关系。
(3) 要比较$M_1$和$M_2$的大小，先分别用含a、b的代数式表示出$M_1$和$M_2$，再对两个代数式进行化简，对比化简后的结果即可判断大小。
(4) 利用(3)推导得到的结论$M_2=11×(十位数字+个位数字)$，将题目给出的十位、个位数字代入，合并同类项后即可求出结果，计算时注意含m的项会相互抵消。
【解析】
(1) 根据两位数的表示方法，十位数字为x，个位数字为6时，这个两位数为$10×x + 6 = 10x+6$。
(2) 举例验证：取两位数13，$M_1=(1+3)×11=44$，$M_2=13+31=44$，可得$M_1=M_2$（任意举例均可得到相同结论）。
(3) 由题意可得：
$M_1=11(a+b)=11a+11b$
原两位数为$10a+b$，调换位置后的新两位数为$10b+a$，
$M_2=(10a+b)+(10b+a)$
$=10a+b+10b+a$
$=11a+11b$
因此$M_1=M_2$。
(4) 由(3)的结论可知$M_2=11(a+b)$，其中a为十位数字，b为个位数字，将$a=6-m$，$b=3+m$代入：
$M_2=11×[(6-m)+(3+m)]$
$=11×(6-m+3+m)$
$=11×9$
$=99$
【答案】
(1) $\boldsymbol{10x+6}$
(2) $\boldsymbol{M_1=M_2}$
(3) $\boldsymbol{M_1=M_2}$
(4) $\boldsymbol{99}$
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；代数式求值
【点评】
本题围绕两位数的表示展开，从具体实例探究到抽象代数推导，再到结论的灵活应用，循序渐进地考查了整式相关知识的应用，渗透了由特殊到一般的数学思想，能帮助学生掌握数字类问题的分析思路。
【难度系数】
0.85
