6. 如图，点C，D把线段AB三等分，P是线段BD的中点。下列说法中，错误的是()。

A.$AC + BP = CP$
B.$AD = 4BP$
C.$CP = 3BP$
D.$AP - CD = 2BP$

6. D

【分析】
遇到线段等分、中点相关的和差判断问题，我们可以通过设参数的方法把各小段线段的长度量化，再分别计算每个选项中等式两边的线段长度，对比是否相等即可判断对错，这种方法直观且不容易出错。首先根据C、D是AB的三等分点，设每段等分线段长为x，再结合P是BD中点，用x表示出所有涉及的线段长度，逐一验证选项即可。
【解析】
设线段AC=CD=DB=x（因为点C、D把线段AB三等分，所以三段长度相等）。
∵P是线段BD的中点，
∴BP=DP=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{x}{2}$。
接下来逐一验证选项：
A选项：左边$AC+BP = x+\frac{x}{2}=\frac{3x}{2}$；右边$CP=CD+DP=x+\frac{x}{2}=\frac{3x}{2}$，左边=右边，该说法正确，不符合题意。
B选项：左边$AD=AC+CD=x+x=2x$；右边$4BP=4×\frac{x}{2}=2x$，左边=右边，该说法正确，不符合题意。
C选项：左边$CP=\frac{3x}{2}$，右边$3BP=3×\frac{x}{2}=\frac{3x}{2}$，左边=右边，该说法正确，不符合题意。
D选项：左边$AP=AC+CD+DP=x+x+\frac{x}{2}=\frac{5x}{2}$，则$AP-CD=\frac{5x}{2}-x=\frac{3x}{2}$；右边$2BP=2×\frac{x}{2}=x$，$\frac{3x}{2}≠ x$，左边≠右边，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差计算；线段三等分的性质；线段中点的性质
【点评】
本题是线段和差的基础题型，通过设参数将抽象的线段长度具体化，再逐个验证选项，是解决这类判断类问题的常用方法，能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.7

7. 如图，从小明家A到图书馆C有两条路可走：第一条路是A→B→C，第二条路是A→D→E→C。请观察图形，估计哪条路程更短，再用直尺和圆规作图进行检验。

7. 第二条路近。作图略。

【分析】
要判断两条路的长短，本质是比较两条路径的线段长度之和的大小。首先直观观察图形初步估计路径长短；再利用尺规作图作相等线段的方法，把两条路径的总长度分别转化为同一条射线上的两条线段，比较这两条线段的长度即可得出准确结论。
【解析】
1. 初步估计：观察图形可初步判断第二条路$A\to D\to E\to C$更短。
2. 尺规检验步骤：
① 画一条射线$OP$；
② 用圆规分别量取线段$AD$、$DE$、$EC$的长度，在射线$OP$上顺次截取$OA_1=AD$，$A_1A_2=DE$，$A_2A_3=EC$，则线段$OA_3$的长度就是第二条路的总路程；
③ 再用圆规分别量取线段$AB$、$BC$的长度，在射线$OP$上顺次截取$OB_1=AB$，$B_1B_2=BC$，则线段$OB_2$的长度就是第一条路的总路程；
④ 比较$OA_3$和$OB_2$的长度，可得$OA_3＜OB_2$，验证第二条路路程更短。
（作图按要求略）
【答案】
第二条路$A\to D\to E\to C$路程更短，作图略。
【知识点】
线段的和差、尺规作等长线段、线段长度比较
【点评】
本题结合生活中路径选择的场景，既考查了观察估算能力，又考查了线段和差、尺规作图相关知识的实际应用，能有效提升动手操作能力和知识运用能力。
【难度系数】
0.8

8. 如图,两条细铜丝的长度分别为7 cm和12 cm,在它们的中点处分别标记点M,N。将这两条细铜丝的左端对齐,重合放置,则两个标记之间的距离MN=cm。（第8题）

8. 2.5

【分析】
解题时先结合题意梳理思路：两条细铜丝左端对齐重合放置，M、N分别是两条铜丝的中点，要求MN的长度，首先根据线段中点的性质，分别算出两个中点到左端公共点的距离；由于两个中点都在左端的同一侧，因此两个中点的距离就是两段半长的差值。
【解析】
解：设两条细铜丝的左端公共点为O。
根据线段中点的定义：
长度为7cm的铜丝，其中点M到O的距离为 $ OM = \frac{1}{2} × 7 = 3.5 \, \mathrm{cm} $
长度为12cm的铜丝，其中点N到O的距离为 $ ON = \frac{1}{2} × 12 = 6 \, \mathrm{cm} $
因为左端对齐，M、N均在O的右侧，所以 $ MN = ON - OM = 6 - 3.5 = 2.5 \, \mathrm{cm} $
【答案】
2.5
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题属于线段基础应用类题型，解题核心是结合“左端对齐”的位置特征，将两点距离转化为两条线段半长的差，计算时注意小数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8

9. 已知点A,B,C在同一条直线上，AB=12 cm，AC=3BC，D为AC的中点。求BD的长。

9. 有两种情况。如图①,点C在AB上,则$AC=9 \, \mathrm{cm}$,$AD=4.5 \, \mathrm{cm}$,$BD=7.5 \, \mathrm{cm}$;如图②,点C在AB的延长线上,则$AC=18 \, \mathrm{cm}$,$AD=9 \, \mathrm{cm}$,$BD=3 \, \mathrm{cm}$。综上所述,BD的长为7.5 cm 或 3 cm。

【分析】
已知点A、B、C在同一直线上，且AC=3BC，因此点C的位置存在两种可能：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上。解题时需分两种情况讨论，先结合AC与BC的数量关系和AB的长度求出AC、BC的长度，再根据D是AC中点求出AD的长度，最后利用线段的和差关系计算BD的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB上时（对应图①）：
根据线段和差关系可得 $AC + BC = AB = 12\,\mathrm{cm}$，
已知 $AC = 3BC$，代入得 $3BC + BC = 12\,\mathrm{cm}$，解得 $BC = 3\,\mathrm{cm}$，则 $AC = 3×3 = 9\,\mathrm{cm}$。
因为D为AC的中点，所以 $AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×9 = 4.5\,\mathrm{cm}$，
因此 $BD = AB - AD = 12 - 4.5 = 7.5\,\mathrm{cm}$。
2. 当点C在线段AB的延长线上时（对应图②）：
根据线段和差关系可得 $AC = AB + BC$，
已知 $AC = 3BC$，代入得 $3BC = 12 + BC$，解得 $BC = 6\,\mathrm{cm}$，则 $AC = 3×6 = 18\,\mathrm{cm}$。
因为D为AC的中点，所以 $AD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×18 = 9\,\mathrm{cm}$，
因此 $BD = AB - AD = 12 - 9 = 3\,\mathrm{cm}$。
【答案】
有两种情况。如图①,点C在AB上,则$AC=9 \, \mathrm{cm}$,$AD=4.5 \, \mathrm{cm}$,$BD=7.5 \, \mathrm{cm}$;如图②,点C在AB的延长线上,则$AC=18 \, \mathrm{cm}$,$AD=9 \, \mathrm{cm}$,$BD=3 \, \mathrm{cm}$。综上所述,BD的长为7.5 cm 或 3 cm。
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题的关键是明确三点共线时，满足题设数量关系的点C位置不唯一，需要分类讨论避免漏解，结合线段中点的性质和线段和差关系即可完成计算。
【难度系数】
0.6