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10. 如图,在正方形纸片的四角各剪去一个边长相等的小正方形,然后折成一个长为a,高为b的无盖的长方体盒子(其中$a＞b$)。一只蚂蚁要从长方体盒子的顶点A爬到顶点B,在图①中画出它爬行的最短路线,并说明理由。
答案
10. 图略。连结线段AB。理由是两点之间,线段最短。
解析
【分析】
首先明确图①是折成无盖长方体前的表面展开图，属于平面图形。我们学过的平面内两点之间最短距离的判断依据是“两点之间，线段最短”，因此要找A到B的最短路线，只需要直接连接A、B两点即可，该线段对应折成长方体后就是盒子表面的最短爬行路径。
【解析】
1. 画图操作：在图①中用直尺连接A、B两个点，得到的线段AB就是蚂蚁爬行的最短路线。
2. 理由说明：图①是该无盖长方体盒子的平面展开图，根据“两点之间，线段最短”的基本事实，线段AB的长度是平面上A、B两点间的最短距离，因此线段AB就是所求的最短爬行路线。
【答案】
图略。连结线段AB。理由是两点之间，线段最短。
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 几何体的展开与折叠
【点评】
本题结合生活场景考查最短路径的判断，解题关键是理解平面展开图中求解表面最短路径的原理，掌握“两点之间线段最短”的基本事实即可快速解答。
【难度系数】
0.8
首先明确图①是折成无盖长方体前的表面展开图，属于平面图形。我们学过的平面内两点之间最短距离的判断依据是“两点之间，线段最短”，因此要找A到B的最短路线，只需要直接连接A、B两点即可，该线段对应折成长方体后就是盒子表面的最短爬行路径。
【解析】
1. 画图操作：在图①中用直尺连接A、B两个点，得到的线段AB就是蚂蚁爬行的最短路线。
2. 理由说明：图①是该无盖长方体盒子的平面展开图，根据“两点之间，线段最短”的基本事实，线段AB的长度是平面上A、B两点间的最短距离，因此线段AB就是所求的最短爬行路线。
【答案】
图略。连结线段AB。理由是两点之间，线段最短。
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 几何体的展开与折叠
【点评】
本题结合生活场景考查最短路径的判断，解题关键是理解平面展开图中求解表面最短路径的原理，掌握“两点之间线段最短”的基本事实即可快速解答。
【难度系数】
0.8
11. 已知$AB=10$，点$C$在射线$AB$上，且$BC=\frac{1}{2}AB$，$D$为$AC$的中点。
（1）依题意，画出图形。
（2）直接写出线段$BD$的长。
（1）依题意，画出图形。
（2）直接写出线段$BD$的长。
答案
11. （1）
（2） ①如图①,因为$AB=10$,$BC=\frac{1}{2}AB=5$,所以$AC=AB-BC=10-5=5$。
因为$D$是线段$AC$的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×5=2.5$,所以$BD=AB-AD=10-2.5=7.5$。
②如图②,由已知,$AC=AB+BC=10+5=15$。因为$D$为$AC$的中点,所以$AD=\frac{1}{2}AC=7.5$,所以$BD=AB-AD=10-7.5=2.5$。
综上所述,线段$BD$的长为7.5或2.5。
解析
【分析】
解题时首先要明确射线AB的范围，它包含线段AB和AB的延长线两个部分，因此点C存在两种位置，需要分类讨论求解。第一步先根据AB的长度求出BC的长度，再分别计算两种情况对应的AC长度，接着利用线段中点的性质求出AD的长度，最后通过线段的和差关系就能算出BD的长度。
【解析】
（1）符合要求的图形如下：
（2）分两种情况计算：
① 如图①，点C在线段AB上：
已知$AB=10$，$BC=\frac{1}{2}AB=5$，因此$AC=AB-BC=10-5=5$。
因为D是线段AC的中点，所以$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×5=2.5$，可得$BD=AB-AD=10-2.5=7.5$。
② 如图②，点C在线段AB的延长线上：
已知$BC=\frac{1}{2}AB=5$，因此$AC=AB+BC=10+5=15$。
因为D为AC的中点，所以$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×15=7.5$，可得$BD=AB-AD=10-7.5=2.5$。
综上所述，线段BD的长为7.5或2.5。
【答案】
（1）
（2）7.5或2.5
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略点C在射线AB上的两种位置，出现漏解的情况。解题时要结合射线的定义全面分析点的位置，再结合线段的性质逐步计算即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确射线AB的范围，它包含线段AB和AB的延长线两个部分，因此点C存在两种位置，需要分类讨论求解。第一步先根据AB的长度求出BC的长度，再分别计算两种情况对应的AC长度，接着利用线段中点的性质求出AD的长度，最后通过线段的和差关系就能算出BD的长度。
【解析】
（1）符合要求的图形如下：
（2）分两种情况计算：
① 如图①，点C在线段AB上：
已知$AB=10$，$BC=\frac{1}{2}AB=5$，因此$AC=AB-BC=10-5=5$。
因为D是线段AC的中点，所以$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×5=2.5$，可得$BD=AB-AD=10-2.5=7.5$。
② 如图②，点C在线段AB的延长线上：
已知$BC=\frac{1}{2}AB=5$，因此$AC=AB+BC=10+5=15$。
因为D为AC的中点，所以$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×15=7.5$，可得$BD=AB-AD=10-7.5=2.5$。
综上所述，线段BD的长为7.5或2.5。
【答案】
（1）
（2）7.5或2.5
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易忽略点C在射线AB上的两种位置，出现漏解的情况。解题时要结合射线的定义全面分析点的位置，再结合线段的性质逐步计算即可。
【难度系数】
0.6
12. 如图，$∠ AOB=120°$，OC是$∠ AOB$内的一条射线，且$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
（1）求$∠ AOC$的度数。
（2）过点O作射线OD。若$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB$，求$∠ COD$的度数。
（1）求$∠ AOC$的度数。
（2）过点O作射线OD。若$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB$，求$∠ COD$的度数。
答案
12. （1）$∠ AOC=40°$。
（2）因为$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB$,所以$∠ AOD=60°$。
当$OD$在$∠ AOB$内部时,$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC=20°$;
当$OD$在$∠ AOB$外部时,$∠ COD=∠ AOC+∠ AOD=100°$。
故$∠ COD$的度数为$20°$或$100°$。
（2）因为$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB$,所以$∠ AOD=60°$。
当$OD$在$∠ AOB$内部时,$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC=20°$;
当$OD$在$∠ AOB$外部时,$∠ COD=∠ AOC+∠ AOD=100°$。
故$∠ COD$的度数为$20°$或$100°$。
解析
【分析】
（1）求∠AOC的度数时，首先观察到∠AOC与∠BOC的和等于已知的∠AOB，结合题目给出的两个角的倍分关系，可将两角和转化为∠AOC的倍数，即可求出∠AOC的度数。
（2）求∠COD时，先根据已知条件算出∠AOD的度数，需注意射线OD的位置有两种可能：在∠AOB内部或在∠AOB外部，分两种情况结合角的和差关系计算即可。
【解析】
（1）$\because ∠ AOC=\frac{1}{2}∠ BOC$，$\therefore ∠ BOC=2∠ AOC$。
又$\because ∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB=120°$，
$\therefore ∠ AOC+2∠ AOC=120°$，即$3∠ AOC=120°$，
解得$∠ AOC=40°$。
（2）$\because ∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ AOB=120°$，
$\therefore ∠ AOD=\frac{1}{2}×120°=60°$。
分两种情况讨论：
① 当OD在$∠ AOB$内部时，
$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC=60°-40°=20°$；
② 当OD在$∠ AOB$外部时，
$∠ COD=∠ AOC+∠ AOD=40°+60°=100°$。
【答案】
（1）$\boxed{40°}$；（2）$\boxed{20°}$或$\boxed{100°}$
【知识点】
角的和差计算，角的倍分关系，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查角的度数计算，解题的关键是准确利用角之间的和差、倍分关系列式，第二问需注意射线OD的位置不唯一，要考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
（1）求∠AOC的度数时，首先观察到∠AOC与∠BOC的和等于已知的∠AOB，结合题目给出的两个角的倍分关系，可将两角和转化为∠AOC的倍数，即可求出∠AOC的度数。
（2）求∠COD时，先根据已知条件算出∠AOD的度数，需注意射线OD的位置有两种可能：在∠AOB内部或在∠AOB外部，分两种情况结合角的和差关系计算即可。
【解析】
（1）$\because ∠ AOC=\frac{1}{2}∠ BOC$，$\therefore ∠ BOC=2∠ AOC$。
又$\because ∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB=120°$，
$\therefore ∠ AOC+2∠ AOC=120°$，即$3∠ AOC=120°$，
解得$∠ AOC=40°$。
（2）$\because ∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB$，$∠ AOB=120°$，
$\therefore ∠ AOD=\frac{1}{2}×120°=60°$。
分两种情况讨论：
① 当OD在$∠ AOB$内部时，
$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC=60°-40°=20°$；
② 当OD在$∠ AOB$外部时，
$∠ COD=∠ AOC+∠ AOD=40°+60°=100°$。
【答案】
（1）$\boxed{40°}$；（2）$\boxed{20°}$或$\boxed{100°}$
【知识点】
角的和差计算，角的倍分关系，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查角的度数计算，解题的关键是准确利用角之间的和差、倍分关系列式，第二问需注意射线OD的位置不唯一，要考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
