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知识点二 圆内接多边形
1. 一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的
2. 圆内接四边形的对角
1. 一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的
内接多边形
，这个圆叫作这个多边形的外接圆
。2. 圆内接四边形的对角
互补
。答案
1. 内接多边形 外接圆 2. 互补
解析
【分析】
本题考查圆内接多边形相关的基础概念与性质，解题思路如下：
1. 第一小问属于定义识记题，看到“多边形所有顶点都在同一个圆上”的描述，直接对应课本中圆内接多边形的定义，明确多边形与圆的相互称呼：该多边形是圆的内接多边形，该圆是多边形的外接圆。
2. 第二小问属于性质识记题，回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角之和为180°，也就是对角互补，即可得出答案。
【解析】
1. 根据圆内接多边形的定义：若一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆，因此两个空依次填内接多边形、外接圆。
2. 根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和为180°，即对角互补，因此填互补。
【答案】
1. 内接多边形 外接圆 2. 互补
【知识点】
1. 圆内接多边形定义
2. 圆内接四边形性质
【点评】
本题为基础概念考察题，难度较低，主要考查对教材基础定义、性质的记忆与掌握，是圆相关知识的基础内容，需熟练识记。
【难度系数】
0.9
本题考查圆内接多边形相关的基础概念与性质，解题思路如下：
1. 第一小问属于定义识记题，看到“多边形所有顶点都在同一个圆上”的描述，直接对应课本中圆内接多边形的定义，明确多边形与圆的相互称呼：该多边形是圆的内接多边形，该圆是多边形的外接圆。
2. 第二小问属于性质识记题，回忆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角之和为180°，也就是对角互补，即可得出答案。
【解析】
1. 根据圆内接多边形的定义：若一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆，因此两个空依次填内接多边形、外接圆。
2. 根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和为180°，即对角互补，因此填互补。
【答案】
1. 内接多边形 外接圆 2. 互补
【知识点】
1. 圆内接多边形定义
2. 圆内接四边形性质
【点评】
本题为基础概念考察题，难度较低，主要考查对教材基础定义、性质的记忆与掌握，是圆相关知识的基础内容，需熟练识记。
【难度系数】
0.9
例3 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，$∠ A=40°$，则$∠ CBD$的度数为 （
A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
解析 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ A=40°$，
所以$∠ C=180° - 40°=140°$.
因为点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$CD=CB$.
所以$∠ CDB=∠ CBD=(180° - 140°)÷2=20°$.
答案 A
解题要点
先根据圆内接四边形的性质得出$∠ C$的度数，再由点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点得出$CD=BC$，最后利用等腰三角形的性质即可得出结果.
A
）A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$
解析 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ A=40°$，
所以$∠ C=180° - 40°=140°$.
因为点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，所以$CD=CB$.
所以$∠ CDB=∠ CBD=(180° - 140°)÷2=20°$.
答案 A
解题要点
先根据圆内接四边形的性质得出$∠ C$的度数，再由点C为$\overset{\frown}{BD}$的中点得出$CD=BC$，最后利用等腰三角形的性质即可得出结果.
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题可按三步思考：①首先看到四边形内接于圆，优先回忆圆内接四边形的性质：对角互补，已知∠A的度数，即可求出它的对角∠C的度数；②看到点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，根据同圆中相等的弧对应的弦相等，可得出CD=CB，即△ CBD为等腰三角形；③已知等腰三角形的顶角∠C的度数，结合三角形内角和以及等腰三角形两底角相等的性质，即可求出底角∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，∠ A=40°，
根据圆内接四边形对角互补，可得∠ C=180°-∠ A=180°-40°=140°。
∵点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，根据同圆中等弧对等弦，得CD=CB，
∴△ CBD为等腰三角形，∠ CDB=∠ CBD。根据三角形内角和为180°，可得：$∠ CBD=\frac{180°-∠ C}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；等弧对等弦；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将圆的相关性质和等腰三角形的性质结合考察，解题的关键是熟练掌握各个基础知识点，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
要解决这道题可按三步思考：①首先看到四边形内接于圆，优先回忆圆内接四边形的性质：对角互补，已知∠A的度数，即可求出它的对角∠C的度数；②看到点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，根据同圆中相等的弧对应的弦相等，可得出CD=CB，即△ CBD为等腰三角形；③已知等腰三角形的顶角∠C的度数，结合三角形内角和以及等腰三角形两底角相等的性质，即可求出底角∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，∠ A=40°，
根据圆内接四边形对角互补，可得∠ C=180°-∠ A=180°-40°=140°。
∵点C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CB}$，根据同圆中等弧对等弦，得CD=CB，
∴△ CBD为等腰三角形，∠ CDB=∠ CBD。根据三角形内角和为180°，可得：$∠ CBD=\frac{180°-∠ C}{2}=\frac{180°-140°}{2}=20°$。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；等弧对等弦；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将圆的相关性质和等腰三角形的性质结合考察，解题的关键是熟练掌握各个基础知识点，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8
1. 如图，利用三角尺可以确认图中的弦AB是圆的直径，其数学依据是（
A.直径所对的圆周角是直角
B.$90°$的圆周角所对的弦是直径
C.直角三角形的两个锐角互余
D.两角互余的三角形是直角三角形
B
）A.直径所对的圆周角是直角
B.$90°$的圆周角所对的弦是直径
C.直角三角形的两个锐角互余
D.两角互余的三角形是直角三角形
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先明确题目的逻辑：我们是借助三角尺的90°直角，判断对应的弦AB为直径，属于“由直角推导弦是直径”的场景。首先排除和圆性质无关的C、D选项，再区分A、B的差异：A是已知直径推导所对圆周角为直角，是直径的性质；B是已知90°圆周角推导所对弦是直径，是直径的判定方法，符合本题的推导逻辑。
【解析】
三角尺的直角为90°，将直角顶点放在圆周上时，该角是圆的圆周角且度数为90°。根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可得该角所对的弦AB是圆的直径。
A选项是直径的性质，推导方向和本题相反，不符合要求；C、D是直角三角形的性质，和圆的直径判定无关，排除。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论；直径的判定
【点评】
本题考查圆周角相关推论的实际应用，易错点是混淆定理的条件和结论，要分清“由直径推直角”和“由直角推直径”的不同适用场景。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目的逻辑：我们是借助三角尺的90°直角，判断对应的弦AB为直径，属于“由直角推导弦是直径”的场景。首先排除和圆性质无关的C、D选项，再区分A、B的差异：A是已知直径推导所对圆周角为直角，是直径的性质；B是已知90°圆周角推导所对弦是直径，是直径的判定方法，符合本题的推导逻辑。
【解析】
三角尺的直角为90°，将直角顶点放在圆周上时，该角是圆的圆周角且度数为90°。根据圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可得该角所对的弦AB是圆的直径。
A选项是直径的性质，推导方向和本题相反，不符合要求；C、D是直角三角形的性质，和圆的直径判定无关，排除。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理推论；直径的判定
【点评】
本题考查圆周角相关推论的实际应用，易错点是混淆定理的条件和结论，要分清“由直径推直角”和“由直角推直径”的不同适用场景。
【难度系数】
0.8
