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1. 关于立方根,下列说法正确的是 (
A.正数有两个立方根
B.立方根等于它本身的数只有 0
C.负数的立方根是负数
D.负数没有立方根
C
)A.正数有两个立方根
B.立方根等于它本身的数只有 0
C.负数的立方根是负数
D.负数没有立方根
答案
1. C
2. 在做浮力实验时,小华用一根细线将一个正方体铁块拴住,并使该正方体铁块完全浸没在盛满水的圆柱形烧杯中. 若用量筒量得排出水的体积为 $ 64 \mathrm{cm}^{3} $, 则该正方体铁块的棱长为 (
A.$ 4 \mathrm{cm} $
B.$ 8 \mathrm{cm} $
C.$ 2 \mathrm{cm} $
D.$ 6 \mathrm{cm} $
4cm
)A.$ 4 \mathrm{cm} $
B.$ 8 \mathrm{cm} $
C.$ 2 \mathrm{cm} $
D.$ 6 \mathrm{cm} $
答案
2. A [解析]根据题意可知,该正方体铁块的体积为 $64cm^{3}$,
$\therefore$ 其棱长为 $\sqrt[3]{64}=4(cm)$.
$\therefore$ 其棱长为 $\sqrt[3]{64}=4(cm)$.
3. 立方根等于它本身的非负数是
0 和 1
.答案
3. 0 和 1
4. $ (-3)^{3} $ 的立方根是____
-3
.答案
4. -3 [解析]$(-3)^{3}$ 的立方根是 $\sqrt[3]{(-3)^{3}}=-3$.
5. 如果 $ \sqrt{x - 1} + (y + 6)^{2} = 0 $, 那么 $ 2x - y $ 的立方根为____
2
.答案
5. 2 [解析]$\because \sqrt{x - 1}+(y + 6)^{2}=0$,
$\therefore x - 1 = 0,y + 6 = 0$,
$\therefore x = 1,y = - 6$,
$\therefore 2x - y = 2×1 - (-6)=8$,
$\therefore \sqrt[3]{2x - y}=\sqrt[3]{8}=2$.
$\therefore x - 1 = 0,y + 6 = 0$,
$\therefore x = 1,y = - 6$,
$\therefore 2x - y = 2×1 - (-6)=8$,
$\therefore \sqrt[3]{2x - y}=\sqrt[3]{8}=2$.
6. (江苏苏州昆山期末) 已知 $ \frac{1}{2}a - 1 $ 的平方根为 $ \pm 2 $, $ b + 1 $ 的立方根为 2, 则代数式 $ \sqrt{a - b} $ 的值为____
$\sqrt{3}$
.答案
6. $\sqrt{3}$ [解析]$\because \frac{1}{2}a - 1$ 的平方根为 $\pm 2,b + 1$ 的立方根为 2,
$\therefore \frac{1}{2}a - 1 = 4,b + 1 = 8$,
解得 $a = 10,b = 7$,
$\therefore \sqrt{a - b}=\sqrt{10 - 7}=\sqrt{3}$.
$\therefore \frac{1}{2}a - 1 = 4,b + 1 = 8$,
解得 $a = 10,b = 7$,
$\therefore \sqrt{a - b}=\sqrt{10 - 7}=\sqrt{3}$.
7. (江苏扬州高邮期末) 已知 $ 3a + 21 $ 的立方根是 3, $ 4a - b - 1 $ 的算术平方根是 2, $ c $ 的平方根是它本身.
(1) 求 $ a, b, c $ 的值;
(2) 求 $ 3a + 10b + c $ 的平方根.
(1) 求 $ a, b, c $ 的值;
(2) 求 $ 3a + 10b + c $ 的平方根.
答案
7. 解:(1)根据题意可得,$3a + 21 = 27,4a - b - 1 = 4,c = 0$,
$\therefore a = 2,b = 3,c = 0$.
(2)$\because a = 2,b = 3,c = 0$,
$\therefore 3a + 10b + c = 3×2 + 10×3 + 0 = 36$,
$\therefore 3a + 10b + c$ 的平方根为 $\pm\sqrt{36}=\pm6$.
$\therefore a = 2,b = 3,c = 0$.
(2)$\because a = 2,b = 3,c = 0$,
$\therefore 3a + 10b + c = 3×2 + 10×3 + 0 = 36$,
$\therefore 3a + 10b + c$ 的平方根为 $\pm\sqrt{36}=\pm6$.
8. 练思维·归纳推理 观察下列各式及其验证过程:
① $ 2\sqrt[3]{\frac{2}{7}} = \sqrt[3]{2 + \frac{2}{7}} $.
验证: $ 2\sqrt[3]{\frac{2}{7}} = \sqrt[3]{\frac{2^{4}}{7}} = \sqrt[3]{\frac{2^{4} - 2 + 2}{2^{3} - 1}} = \sqrt[3]{\frac{2(2^{3} - 1) + 2}{2^{3} - 1}} = \sqrt[3]{2 + \frac{2}{7}} $.
② $ 3\sqrt[3]{\frac{3}{26}} = \sqrt[3]{3 + \frac{3}{26}} $.
验证: $ 3\sqrt[3]{\frac{3}{26}} = \sqrt[3]{\frac{3^{4}}{26}} = \sqrt[3]{\frac{3^{4} - 3 + 3}{3^{3} - 1}} = \sqrt[3]{\frac{3(3^{3} - 1) + 3}{3^{3} - 1}} = \sqrt[3]{3 + \frac{3}{26}} $.
(1) 按照上述基本思路, 猜想 $ 4\sqrt[3]{\frac{4}{63}} $ 的变形结果并进行验证;
猜想结果：
验证: $4\sqrt[3]{\frac{4}{63}}=\sqrt[3]{\frac{4^{4}}{63}}=\sqrt[3]{\frac{4^{4}-4 + 4}{4^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{4(4^{3}-1)+4}{4^{3}-1}}=\sqrt[3]{4+\frac{4}{63}}$.
(2) 根据上述各式反映的规律, 写出用 $ n $ 表示的等式, 其中 $ n $ 为自然数 $ (n \geq 2) $, 并进行验证.
等式：
验证:$n\sqrt[3]{\frac{n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{n^{4}}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{n^{4}-n + n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{n(n^{3}-1)+n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{n+\frac{n}{n^{3}-1}}$.
① $ 2\sqrt[3]{\frac{2}{7}} = \sqrt[3]{2 + \frac{2}{7}} $.
验证: $ 2\sqrt[3]{\frac{2}{7}} = \sqrt[3]{\frac{2^{4}}{7}} = \sqrt[3]{\frac{2^{4} - 2 + 2}{2^{3} - 1}} = \sqrt[3]{\frac{2(2^{3} - 1) + 2}{2^{3} - 1}} = \sqrt[3]{2 + \frac{2}{7}} $.
② $ 3\sqrt[3]{\frac{3}{26}} = \sqrt[3]{3 + \frac{3}{26}} $.
验证: $ 3\sqrt[3]{\frac{3}{26}} = \sqrt[3]{\frac{3^{4}}{26}} = \sqrt[3]{\frac{3^{4} - 3 + 3}{3^{3} - 1}} = \sqrt[3]{\frac{3(3^{3} - 1) + 3}{3^{3} - 1}} = \sqrt[3]{3 + \frac{3}{26}} $.
(1) 按照上述基本思路, 猜想 $ 4\sqrt[3]{\frac{4}{63}} $ 的变形结果并进行验证;
猜想结果：
$4\sqrt[3]{\frac{4}{63}}=\sqrt[3]{4+\frac{4}{63}}$
验证: $4\sqrt[3]{\frac{4}{63}}=\sqrt[3]{\frac{4^{4}}{63}}=\sqrt[3]{\frac{4^{4}-4 + 4}{4^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{4(4^{3}-1)+4}{4^{3}-1}}=\sqrt[3]{4+\frac{4}{63}}$.
(2) 根据上述各式反映的规律, 写出用 $ n $ 表示的等式, 其中 $ n $ 为自然数 $ (n \geq 2) $, 并进行验证.
等式：
$n\sqrt[3]{\frac{n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{n+\frac{n}{n^{3}-1}}$
验证:$n\sqrt[3]{\frac{n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{n^{4}}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{n^{4}-n + n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{n(n^{3}-1)+n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{n+\frac{n}{n^{3}-1}}$.
答案
8. 解:(1)$4\sqrt[3]{\frac{4}{63}}=\sqrt[3]{4+\frac{4}{63}}$.
验证:$4\sqrt[3]{\frac{4}{63}}=\sqrt[3]{\frac{4^{4}}{63}}=\sqrt[3]{\frac{4^{4}-4 + 4}{4^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{4(4^{3}-1)+4}{4^{3}-1}}=\sqrt[3]{4+\frac{4}{63}}$.
(2)$n\sqrt[3]{\frac{n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{n+\frac{n}{n^{3}-1}}$.
验证:$n\sqrt[3]{\frac{n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{n^{4}}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{n^{4}-n + n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{n(n^{3}-1)+n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{n+\frac{n}{n^{3}-1}}$.
验证:$4\sqrt[3]{\frac{4}{63}}=\sqrt[3]{\frac{4^{4}}{63}}=\sqrt[3]{\frac{4^{4}-4 + 4}{4^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{4(4^{3}-1)+4}{4^{3}-1}}=\sqrt[3]{4+\frac{4}{63}}$.
(2)$n\sqrt[3]{\frac{n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{n+\frac{n}{n^{3}-1}}$.
验证:$n\sqrt[3]{\frac{n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{n^{4}}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{n^{4}-n + n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{\frac{n(n^{3}-1)+n}{n^{3}-1}}=\sqrt[3]{n+\frac{n}{n^{3}-1}}$.
9. (江苏常州) 8 的立方根是 (
A.$ 2\sqrt{2} $
B.$ \pm 2\sqrt{2} $
C.2
D.$ \pm 2 $
C
)A.$ 2\sqrt{2} $
B.$ \pm 2\sqrt{2} $
C.2
D.$ \pm 2 $
答案
9. C
10. (江苏南京) 一般地, 如果 $ x^{n} = a $ ( $ n $ 为正整数, 且 $ n ＞ 1 $ ), 那么 $ x $ 叫作 $ a $ 的 $ n $ 次方根. 下列结论正确的是 (
A.16 的 4 次方根是 2
B.32 的 5 次方根是 $ \pm 2 $
C.当 $ n $ 为奇数时, 2 的 $ n $ 次方根随 $ n $ 的增大而减小
D.当 $ n $ 为奇数时, 2 的 $ n $ 次方根随 $ n $ 的增大而增大
C
)A.16 的 4 次方根是 2
B.32 的 5 次方根是 $ \pm 2 $
C.当 $ n $ 为奇数时, 2 的 $ n $ 次方根随 $ n $ 的增大而减小
D.当 $ n $ 为奇数时, 2 的 $ n $ 次方根随 $ n $ 的增大而增大
答案
10. C [解析]A.$\because 2^{4}=16,(-2)^{4}=16,\therefore 16$ 的 4 次方根是 $\pm 2$,故 A 选项不符合题意;
B.$\because 2^{5}=32,(-2)^{5}=-32,\therefore 32$ 的 5 次方根是 2,故 B 选项不符合题意;
C.设 $x=\sqrt[3]{2},y=\sqrt[5]{2}$,
则 $x^{15}=2^{5}=32,y^{15}=2^{3}=8$,
$\therefore x^{15}＞y^{15}$,且 $x＞1,y＞1$,
$\therefore x＞y$,
$\therefore$ 当 $n$ 为奇数时,2 的 $n$ 次方根随 $n$ 的增大而减小,故 C 选项符合题意;
D.由 C 选项的判断可知,D 选项错误,故 D 选项不符合题意.
B.$\because 2^{5}=32,(-2)^{5}=-32,\therefore 32$ 的 5 次方根是 2,故 B 选项不符合题意;
C.设 $x=\sqrt[3]{2},y=\sqrt[5]{2}$,
则 $x^{15}=2^{5}=32,y^{15}=2^{3}=8$,
$\therefore x^{15}＞y^{15}$,且 $x＞1,y＞1$,
$\therefore x＞y$,
$\therefore$ 当 $n$ 为奇数时,2 的 $n$ 次方根随 $n$ 的增大而减小,故 C 选项符合题意;
D.由 C 选项的判断可知,D 选项错误,故 D 选项不符合题意.
