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15. (2024 安徽安庆)如图所示，水平桌面上放有底面积为$300cm^{2}$且足够高的薄壁圆柱形容器(重量不计)，容器内装有 20 cm 深的水。现用细线将实心长方体物块 A 与天花板相连，并使其$\frac {3}{5}$的体积浸入水中，已知物块 A 的质量为 2.1 kg，底面积为$100cm^{2}$，高为 10 cm，(g 取 10 N/kg，$ρ_{水}=1.0×10^{3}kg/m^{3}$)则，
(1)物块 A 浸入水中前，求容器底部受到的液体压强；
(2)物块 A 浸入水中后，求水对容器底部的压力；
(3)现剪断细线，待物块 A 静止后，求剪断前后容器底部对桌面的压强变化量。
(1)物块 A 浸入水中前，求容器底部受到的液体压强；
(2)物块 A 浸入水中后，求水对容器底部的压力；
(3)现剪断细线，待物块 A 静止后，求剪断前后容器底部对桌面的压强变化量。
答案
【解析】：
### （1）物块$A$浸入水中前，求容器底部受到的液体压强
根据液体压强公式$p = \rho gh$，已知$\rho_{水}=1.0\times10^{3}kg/m^{3}$，$g = 10N/kg$，$h = 20cm = 0.2m$，则容器底部受到的液体压强：
$p=\rho_{水}gh = 1.0\times10^{3}kg/m^{3}\times10N/kg\times0.2m = 2000Pa$
### （2）物块$A$浸入水中后，求水对容器底部的压力
先求物块$A$浸入水中的体积$V_{排}$：
物块$A$的体积$V_{A}=S_{A}h_{A}=100cm^{2}\times10cm = 1000cm^{3}=1\times10^{- 3}m^{3}$，$V_{排}=\frac{3}{5}V_{A}=\frac{3}{5}\times1\times10^{-3}m^{3}=6\times10^{-4}m^{3}$。
再求水面上升的高度$\Delta h$：
根据$\Delta h=\frac{V_{排}}{S_{容}-S_{A}}$，$S_{容}=300cm^{2}=3\times10^{-2}m^{2}$，$S_{A}=100cm^{2}=1\times10^{-2}m^{2}$，则$\Delta h=\frac{6\times10^{-4}m^{3}}{3\times10^{-2}m^{2}-1\times10^{-2}m^{2}} = 0.03m$。
然后求此时水的深度$h'$：
$h'=h+\Delta h=0.2m + 0.03m = 0.23m$。
接着求此时水对容器底部的压强$p'$：
根据$p'=\rho_{水}gh'=1.0\times10^{3}kg/m^{3}\times10N/kg\times0.23m = 2300Pa$。
最后求水对容器底部的压力$F$：
根据$F = p'S_{容}$，$S_{容}=3\times10^{-2}m^{2}$，则$F = 2300Pa\times3\times10^{-2}m^{2}=69N$。
### （3）现剪断细线，待物块$A$静止后，求剪断前后容器底部对桌面的压强变化量
先判断物块$A$的密度$\rho_{A}$：
$\rho_{A}=\frac{m_{A}}{V_{A}}=\frac{2.1kg}{1\times10^{-3}m^{3}} = 2.1\times10^{3}kg/m^{3}\gt\rho_{水}$，剪断细线后物块$A$沉底。
求物块$A$沉底后水面上升的高度$\Delta h_{1}$：
$\Delta h_{1}=\frac{V_{A}}{S_{容}}=\frac{1\times10^{-3}m^{3}}{3\times10^{-2}m^{2}}=\frac{1}{30}m$。
求剪断细线前绳子的拉力$F_{拉}$：
$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1.0\times10^{3}kg/m^{3}\times10N/kg\times6\times10^{-4}m^{3}=6N$，$G_{A}=m_{A}g = 2.1kg\times10N/kg = 21N$，$F_{拉}=G_{A}-F_{浮}=21N - 6N = 15N$。
求剪断前后容器底部对桌面的压力变化量$\Delta F$：
$\Delta F = F_{拉}=15N$。
求剪断前后容器底部对桌面的压强变化量$\Delta p$：
根据$\Delta p=\frac{\Delta F}{S_{容}}$，$S_{容}=3\times10^{-2}m^{2}$，则$\Delta p=\frac{15N}{3\times10^{-2}m^{2}} = 500Pa$。
【答案】：
(1) $2000Pa$
(2) $69N$
(3) $500Pa$
### （1）物块$A$浸入水中前，求容器底部受到的液体压强
根据液体压强公式$p = \rho gh$，已知$\rho_{水}=1.0\times10^{3}kg/m^{3}$，$g = 10N/kg$，$h = 20cm = 0.2m$，则容器底部受到的液体压强：
$p=\rho_{水}gh = 1.0\times10^{3}kg/m^{3}\times10N/kg\times0.2m = 2000Pa$
### （2）物块$A$浸入水中后，求水对容器底部的压力
先求物块$A$浸入水中的体积$V_{排}$：
物块$A$的体积$V_{A}=S_{A}h_{A}=100cm^{2}\times10cm = 1000cm^{3}=1\times10^{- 3}m^{3}$，$V_{排}=\frac{3}{5}V_{A}=\frac{3}{5}\times1\times10^{-3}m^{3}=6\times10^{-4}m^{3}$。
再求水面上升的高度$\Delta h$：
根据$\Delta h=\frac{V_{排}}{S_{容}-S_{A}}$，$S_{容}=300cm^{2}=3\times10^{-2}m^{2}$，$S_{A}=100cm^{2}=1\times10^{-2}m^{2}$，则$\Delta h=\frac{6\times10^{-4}m^{3}}{3\times10^{-2}m^{2}-1\times10^{-2}m^{2}} = 0.03m$。
然后求此时水的深度$h'$：
$h'=h+\Delta h=0.2m + 0.03m = 0.23m$。
接着求此时水对容器底部的压强$p'$：
根据$p'=\rho_{水}gh'=1.0\times10^{3}kg/m^{3}\times10N/kg\times0.23m = 2300Pa$。
最后求水对容器底部的压力$F$：
根据$F = p'S_{容}$，$S_{容}=3\times10^{-2}m^{2}$，则$F = 2300Pa\times3\times10^{-2}m^{2}=69N$。
### （3）现剪断细线，待物块$A$静止后，求剪断前后容器底部对桌面的压强变化量
先判断物块$A$的密度$\rho_{A}$：
$\rho_{A}=\frac{m_{A}}{V_{A}}=\frac{2.1kg}{1\times10^{-3}m^{3}} = 2.1\times10^{3}kg/m^{3}\gt\rho_{水}$，剪断细线后物块$A$沉底。
求物块$A$沉底后水面上升的高度$\Delta h_{1}$：
$\Delta h_{1}=\frac{V_{A}}{S_{容}}=\frac{1\times10^{-3}m^{3}}{3\times10^{-2}m^{2}}=\frac{1}{30}m$。
求剪断细线前绳子的拉力$F_{拉}$：
$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}=1.0\times10^{3}kg/m^{3}\times10N/kg\times6\times10^{-4}m^{3}=6N$，$G_{A}=m_{A}g = 2.1kg\times10N/kg = 21N$，$F_{拉}=G_{A}-F_{浮}=21N - 6N = 15N$。
求剪断前后容器底部对桌面的压力变化量$\Delta F$：
$\Delta F = F_{拉}=15N$。
求剪断前后容器底部对桌面的压强变化量$\Delta p$：
根据$\Delta p=\frac{\Delta F}{S_{容}}$，$S_{容}=3\times10^{-2}m^{2}$，则$\Delta p=\frac{15N}{3\times10^{-2}m^{2}} = 500Pa$。
【答案】：
(1) $2000Pa$
(2) $69N$
(3) $500Pa$
