9. 如图18-48,在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ },AB=5,AC=3$,P为边AB上一动点(且点P不与点A,B重合),$PE⊥BC$于点E,$PF⊥AC$于点F,点M为EF的中点,则PM的最小值为____.

$\frac{6}{5}$ 提示：在 $Rt△ABC$ 中，∵ $∠ACB = 90°$，$AB = 5$，$AC = 3$，∴ $BC = \sqrt{5² - 3²} = 4$。∵ $PE ⊥ BC$ 于点 $E$，$PF ⊥ AC$ 于点 $F$，∴ $∠PEC = ∠PFC = ∠EPF = 90°$，∴ 四边形 $CEPF$ 是矩形。∵ $M$ 是 $EF$ 的中点，∴ 延长 $PM$ 经过点 $C$，∴ $EF = CP$，$PM = \frac{1}{2}EF = \frac{1}{2}PC$，当 $PC ⊥ AB$ 时，$PC = \frac{4 × 3}{5} = \frac{12}{5}$，∴ $PM$ 的最小值为 $\frac{6}{5}$。

10. 如图18-49,在矩形ABCD中,$AD=4$,P是直线AD上一动点,若满足$△PBC$是等腰三角形的点P有且只有3个,则AB的长为____.

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11. 如图18-50,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,$CE⊥BG$于点E,$DF⊥CE$于点F.求证:$DF=BE+EF$.

∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，∴ $BC = CD$，$∠BCD = 90°$。∵ $CE ⊥ BG$，$DF ⊥ CE$，∴ $∠BEC = ∠CFD = 90°$，∴ $∠BCE + ∠CBE = 90° = ∠BCE + ∠DCF$。∴ $∠CBE = ∠DCF$。在 $△CBE$ 和 $△DCF$ 中，$\begin{cases}∠CBE = ∠DCF\\∠BEC = ∠CFD\\BC = CD\end{cases}$，∴ $△CBE ≌ △DCF (AAS)$，∴ $CF = BE$，$CE = DF$。∵ $CE = EF + CF$，∴ $DF = BE + EF$。

12. 如图18-51,在四边形ABCD中,$∠A=∠ABC=90^{\circ },AD=1,BC=3$,E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.
(1)求证:四边形BDFC是平行四边形;
(2)若$△BCD$是等腰三角形,求四边形BDFC的面积.

(1) ∵ $∠A = ∠ABC = 90°$，∴ $BC // AD$，∴ $∠CBE = ∠DFE$。又 ∵ $E$ 是边 $CD$ 的中点，∴ $CE = DE$。在 $△BEC$ 和 $△FED$ 中，$\begin{cases}∠CBE = ∠DFE\\∠BEC = ∠FED\\CE = DE\end{cases}$，∴ $△BEC ≌ △FED (AAS)$，∴ $BE = FE$，∴ 四边形 $BDFC$ 是平行四边形。
(2) ① 当 $BC = BD = 3$ 时，由勾股定理，得 $AB = \sqrt{BD² - AD²} = \sqrt{3² - 1²} = 2\sqrt{2}$，所以四边形 $BDFC$ 的面积为 $3 × 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$。② 当 $BC = CD = 3$ 时，过点 $C$ 作 $CG ⊥ AF$ 于点 $G$，则四边形 $AGCB$ 是矩形，∴ $AG = BC = 3$，∴ $DG = AG - AD = 3 - 1 = 2$，由勾股定理，得 $CG = \sqrt{CD² - DG²} = \sqrt{3² - 2²} = \sqrt{5}$，∴ 四边形 $BDFC$ 的面积为 $3 × \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$。③ 当 $BD = CD$ 时，$BC$ 边上的中线应该与 $BC$ 垂直，从而得到 $BC = 2AD = 2$，与已知 $BC = 3$ 矛盾，故此时不成立。综上所述，四边形 $BDFC$ 的面积是 $6\sqrt{2}$ 或 $3\sqrt{5}$。