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19.某公司预估生产某款5G手机的每年固定成本为40万元,每生产1部还需另投入16元.设该公司一年内共生产该款5G手机x万部并全部销售完,每万部手机的销售收入为R(x)万元,且$R(x)= \left\{\begin{array}{l} 400-6x,0＜x≤40,\\ \frac {7400}{x}-\frac {40000}{x^{2}},x＞40.\end{array}\right. $
(1)写出年利润y万元关于年产量x万部的函数解析式.
(2)当年产量为多少万部时,公司年利润最大?最大年利润是多少?
(1)写出年利润y万元关于年产量x万部的函数解析式.
(2)当年产量为多少万部时,公司年利润最大?最大年利润是多少?
答案
解：(1) 由题意，得当 $ 0 ＜ x \leq 40 $ 时，$ y = x ( 400 - 6 x ) - 16 x - 40 = - 6 x ^ { 2 } + 384 x - 40 $；当 $ x ＞ 40 $ 时，$ y = x \left( \frac { 7400 } { x } - \frac { 40000 } { x ^ { 2 } } \right) - 16 x - 40 = - \frac { 40000 } { x } - 16 x + 7360 $，所以 $ y = \left\{ \begin{array} { l } { - 6 x ^ { 2 } + 384 x - 40, 0 ＜ x \leq 40, } \\ { - \frac { 40000 } { x } - 16 x + 7360, x ＞ 40. } \end{array} \right. $
(2) ①当 $ 0 ＜ x \leq 40 $ 时，$ y = - 6 x ^ { 2 } + 384 x - 40 = - 6 ( x - 32 ) ^ { 2 } + 6104 $，所以当 $ x = 32 $ 时，$ y $ 取得最大值，最大值为 6104；②当 $ x ＞ 40 $ 时，$ y = - \frac { 40000 } { x } - 16 x + 7360 \leq - 2 \sqrt { \frac { 40000 } { x } \cdot 16 x } + 7360 = 5760 $，当且仅当 $ \frac { 40000 } { x } = 16 x $，即 $ x = 50 $ 时，等号成立，所以当 $ x = 50 $ 时，$ y $ 取得最大值，最大值为 5760。因为 $ 6104 ＞ 5760 $，所以当年产量为 32 万部时，公司年利润最大，最大年利润是 6104 万元。
(2) ①当 $ 0 ＜ x \leq 40 $ 时，$ y = - 6 x ^ { 2 } + 384 x - 40 = - 6 ( x - 32 ) ^ { 2 } + 6104 $，所以当 $ x = 32 $ 时，$ y $ 取得最大值，最大值为 6104；②当 $ x ＞ 40 $ 时，$ y = - \frac { 40000 } { x } - 16 x + 7360 \leq - 2 \sqrt { \frac { 40000 } { x } \cdot 16 x } + 7360 = 5760 $，当且仅当 $ \frac { 40000 } { x } = 16 x $，即 $ x = 50 $ 时，等号成立，所以当 $ x = 50 $ 时，$ y $ 取得最大值，最大值为 5760。因为 $ 6104 ＞ 5760 $，所以当年产量为 32 万部时，公司年利润最大，最大年利润是 6104 万元。
20.设函数$f(x)= x^{2}+(x-1)|x-a|+3(a∈R)$.
(1)当$a= 0$时,求函数的单调递减区间;
(2)若函数$f(x)$在R上单调递增,求a的取值范围;
(3)若对$\forall x∈R$,不等式$f(x)≥2x$恒成立,求a的取值范围.
(1)当$a= 0$时,求函数的单调递减区间;
(2)若函数$f(x)$在R上单调递增,求a的取值范围;
(3)若对$\forall x∈R$,不等式$f(x)≥2x$恒成立,求a的取值范围.
答案
解：(1) 由题意，得 $ f ( x ) = x ^ { 2 } + ( x - 1 ) | x | + 3 $。当 $ x \geq 0 $ 时，$ f ( x ) = x ^ { 2 } + ( x - 1 ) \cdot x + 3 = 2 x ^ { 2 } - x + 3 $；当 $ x ＜ 0 $ 时，$ f ( x ) = x ^ { 2 } + ( x - 1 ) \cdot ( - x ) + 3 = x + 3 $。易知 $ f ( x ) $ 在 $ ( - \infty, 0 ) $ 上单调递增。根据二次函数的图象与性质可得，$ f ( x ) $ 在 $ \left[ 0, \frac { 1 } { 4 } \right] $ 上单调递减，即函数的单调递减区间为 $ \left[ 0, \frac { 1 } { 4 } \right] $。
(2) 因为 $ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { ( a + 1 ) x - a + 3, x ＜ a, } \\ { 2 x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a + 3, x \geq a } \end{array} \right. $ 在 $ \mathbf { R } $ 上单调递增，所以 $ \left\{ \begin{array} { l } { a + 1 ＞ 0, } \\ { \frac { a + 1 } { 4 } \leq a, } \end{array} \right. $ 解得 $ a \geq \frac { 1 } { 3 } $。故 $ a $ 的取值范围为 $ \left[ \frac { 1 } { 3 }, + \infty \right) $。
(3) $ f ( x ) \geq 2 x $ 恒成立等价于 $ \left\{ \begin{array} { l } { x ＜ a, } \\ { ( a - 1 ) x + 3 - a \geq 0 } \end{array} \right. $ 或 $ \left\{ \begin{array} { l } { x \geq a, } \\ { 2 x ^ { 2 } - ( a + 3 ) x + 3 + a \geq 0 } \end{array} \right. $ 恒成立。
若 $ \left\{ \begin{array} { l } { x ＜ a, } \\ { ( a - 1 ) x + 3 - a \geq 0 } \end{array} \right. $ 恒成立，则 $ \left\{ \begin{array} { l } { a - 1 \leq 0, } \\ { a ^ { 2 } - 2 a + 3 \geq 0, } \end{array} \right. $ 解得 $ a \leq 1 $；
若 $ \left\{ \begin{array} { l } { x \geq a, } \\ { 2 x ^ { 2 } - ( a + 3 ) x + 3 + a \geq 0 } \end{array} \right. $ 恒成立，且 $ \frac { a + 3 } { 4 } \geq a $，所以 $ \left\{ \begin{array} { l } { \Delta = [ - ( a + 3 ) ] ^ { 2 } - 8 ( a + 3 ) \leq 0, } \\ { a \leq 1, } \end{array} \right. $ 即 $ \left\{ \begin{array} { l } { - 3 \leq a \leq 5, } \\ { a \leq 1, } \end{array} \right. $ 所以 $ - 3 \leq a \leq 1 $。
综上，$ a $ 的取值范围为 $ [ - 3, 1 ] $。
(2) 因为 $ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { ( a + 1 ) x - a + 3, x ＜ a, } \\ { 2 x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a + 3, x \geq a } \end{array} \right. $ 在 $ \mathbf { R } $ 上单调递增，所以 $ \left\{ \begin{array} { l } { a + 1 ＞ 0, } \\ { \frac { a + 1 } { 4 } \leq a, } \end{array} \right. $ 解得 $ a \geq \frac { 1 } { 3 } $。故 $ a $ 的取值范围为 $ \left[ \frac { 1 } { 3 }, + \infty \right) $。
(3) $ f ( x ) \geq 2 x $ 恒成立等价于 $ \left\{ \begin{array} { l } { x ＜ a, } \\ { ( a - 1 ) x + 3 - a \geq 0 } \end{array} \right. $ 或 $ \left\{ \begin{array} { l } { x \geq a, } \\ { 2 x ^ { 2 } - ( a + 3 ) x + 3 + a \geq 0 } \end{array} \right. $ 恒成立。
若 $ \left\{ \begin{array} { l } { x ＜ a, } \\ { ( a - 1 ) x + 3 - a \geq 0 } \end{array} \right. $ 恒成立，则 $ \left\{ \begin{array} { l } { a - 1 \leq 0, } \\ { a ^ { 2 } - 2 a + 3 \geq 0, } \end{array} \right. $ 解得 $ a \leq 1 $；
若 $ \left\{ \begin{array} { l } { x \geq a, } \\ { 2 x ^ { 2 } - ( a + 3 ) x + 3 + a \geq 0 } \end{array} \right. $ 恒成立，且 $ \frac { a + 3 } { 4 } \geq a $，所以 $ \left\{ \begin{array} { l } { \Delta = [ - ( a + 3 ) ] ^ { 2 } - 8 ( a + 3 ) \leq 0, } \\ { a \leq 1, } \end{array} \right. $ 即 $ \left\{ \begin{array} { l } { - 3 \leq a \leq 5, } \\ { a \leq 1, } \end{array} \right. $ 所以 $ - 3 \leq a \leq 1 $。
综上，$ a $ 的取值范围为 $ [ - 3, 1 ] $。
