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【变式1】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
(1) 对某些实数$x$,有$2x + 1\gt 0$；
(2) $\forall x\in \{3,5,7\}$,$3x + 1$是偶数；
(3) $\exists x\in \mathbf{Q}$,$x^{2}= 5$；
(4) 同位角相等；
(5) 存在实数没有倒数.
(1) 对某些实数$x$,有$2x + 1\gt 0$；
(2) $\forall x\in \{3,5,7\}$,$3x + 1$是偶数；
(3) $\exists x\in \mathbf{Q}$,$x^{2}= 5$；
(4) 同位角相等；
(5) 存在实数没有倒数.
答案
解：(1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题.(2)命题中含有全称量词符号“$\forall$”，因此是全称量词命题.(3)命题中含有存在量词符号“$\exists$”，因此是存在量词命题.(4)“同位角相等”可表述为“所有的同位角都相等”，因此是全称量词命题.(5)“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，因此命题是存在量词命题.
【典例2】(1) 判断下列全称量词命题的真假：
①任意四边形的内角和为$360^{\circ}$；
②所有的质数(素数)都是奇数.
(2) 判断下列存在量词命题的真假：
①至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除；
②(一题多解)存在$x\in \mathbf{R}$,使得$x^{2}+2x + 3 = 0$.
①任意四边形的内角和为$360^{\circ}$；
②所有的质数(素数)都是奇数.
(2) 判断下列存在量词命题的真假：
①至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除；
②(一题多解)存在$x\in \mathbf{R}$,使得$x^{2}+2x + 3 = 0$.
答案
解题指导 全称量词命题根据“证明”或“举反例”判断真假；存在量词命题根据“举特例”或“证明”判断真假.
答案 解：(1) ①为真命题. 平面内$n边形的内角和公式为(n - 2)× 180^{\circ}$,故四边形的内角和为$360^{\circ}$.
②为假命题. 如2是质数(素数),但2是偶数.
(2) ①为真命题. 如99既能被11整除,又能被9整除.
②为假命题. 方法1：由于任意$x\in \mathbf{R}$,$x^{2}+2x + 3= (x + 1)^{2}+2\geqslant 2$,故不存在$x$,使得$x^{2}+2x + 3 = 0$,故原命题为假命题.
方法2：一元二次方程$x^{2}+2x + 3 = 0$,$\Delta = 2^{2}-4× 1× 3 = -8\lt 0$,方程无实数根,故原命题为假命题.
答案 解：(1) ①为真命题. 平面内$n边形的内角和公式为(n - 2)× 180^{\circ}$,故四边形的内角和为$360^{\circ}$.
②为假命题. 如2是质数(素数),但2是偶数.
(2) ①为真命题. 如99既能被11整除,又能被9整除.
②为假命题. 方法1：由于任意$x\in \mathbf{R}$,$x^{2}+2x + 3= (x + 1)^{2}+2\geqslant 2$,故不存在$x$,使得$x^{2}+2x + 3 = 0$,故原命题为假命题.
方法2：一元二次方程$x^{2}+2x + 3 = 0$,$\Delta = 2^{2}-4× 1× 3 = -8\lt 0$,方程无实数根,故原命题为假命题.
【变式2】判断下列命题的真假：
(1) (一题多解)$\forall x\in \mathbf{R}$,$x^{2}+2x + 1\gt 0$；
(2) $\exists x\in \mathbf{Z}$,使$3x + 4 = 5$；
(3) 至少有一组正整数$a$,$b$,$c$,满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 3$.
(1) (一题多解)$\forall x\in \mathbf{R}$,$x^{2}+2x + 1\gt 0$；
(2) $\exists x\in \mathbf{Z}$,使$3x + 4 = 5$；
(3) 至少有一组正整数$a$,$b$,$c$,满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 3$.
答案
解：(1)(一题多解)方法1：当$x=-1$时，$x^{2}+2x+1=0$，故“$\forall x\in\mathbf{R}$，$x^{2}+2x+1＞0$”为假命题.
方法2：$x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}\geqslant0$，故“$\forall x\in\mathbf{R}$，$x^{2}+2x+1＞0$”为假命题.
(2)当$3x+4=5$时，$x=\frac{1}{3}\notin\mathbf{Z}$，因而不存在$x\in\mathbf{Z}$，使$3x+4=5$，故“$\exists x\in\mathbf{Z}$，使$3x+4=5$”为假命题.
(3)当$a=1$，$b=1$，$c=1$时，$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant3$成立，所以该存在量词命题为真命题.
方法2：$x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}\geqslant0$，故“$\forall x\in\mathbf{R}$，$x^{2}+2x+1＞0$”为假命题.
(2)当$3x+4=5$时，$x=\frac{1}{3}\notin\mathbf{Z}$，因而不存在$x\in\mathbf{Z}$，使$3x+4=5$，故“$\exists x\in\mathbf{Z}$，使$3x+4=5$”为假命题.
(3)当$a=1$，$b=1$，$c=1$时，$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant3$成立，所以该存在量词命题为真命题.
【典例3】(1) 若命题“$\forall x\in \{x\mid 0\leqslant x\leqslant 3\}$,$x^{2}-4x - a\leqslant 0$”为真命题,则实数$a$的取值范围是______；
(2) 若命题$p$：$\exists x\in \mathbf{R}$,$x^{2}+2x - m - 1 = 0$是真命题,则实数$m$的取值范围是______；
(3) 命题$p$：$\exists 1\leqslant x\leqslant 9$,使$ax - 36\leqslant 0$,若$p$是真命题,则实数$a$的取值范围是______.
(2) 若命题$p$：$\exists x\in \mathbf{R}$,$x^{2}+2x - m - 1 = 0$是真命题,则实数$m$的取值范围是______；
(3) 命题$p$：$\exists 1\leqslant x\leqslant 9$,使$ax - 36\leqslant 0$,若$p$是真命题,则实数$a$的取值范围是______.
答案
解题指导 (1) 将原命题转化为“$x^{2}-4x\leqslant a在0\leqslant x\leqslant 3$上恒成立”的问题.
(2) 将原命题转化为“关于$x的方程x^{2}+2x - m - 1 = 0$有实数根”的问题.
(3) 将原命题转化为“$a\leqslant \frac{36}{x}在1\leqslant x\leqslant 9$上有解”的问题.
解析 (1) 若命题“$\forall x\in \{x\mid 0\leqslant x\leqslant 3\}$,$x^{2}-4x - a\leqslant 0$”为真命题,则$a\geqslant x^{2}-4x在0\leqslant x\leqslant 3$上恒成立,所以$a\geqslant (x^{2}-4x)_{\max}$,$x\in \{x\mid 0\leqslant x\leqslant 3\}$. 根据二次函数的性质可知,当$x = 0$时,函数$y = x^{2}-4x$取得最大值0,所以$a\geqslant 0$. 故实数$a的取值范围是\{a\mid a\geqslant 0\}$.
(2) 因为命题$p$：$\exists x\in \mathbf{R}$,$x^{2}+2x - m - 1 = 0$是真命题,所以方程$x^{2}+2x - m - 1 = 0$有实数根,所以$\Delta = 4 + 4(m + 1)\geqslant 0$,解得$m\geqslant -2$. 故实数$m的取值范围是\{m\mid m\geqslant -2\}$.
(3) 由题意,得$a\leqslant \frac{36}{x}$,且$a\leqslant (\frac{36}{x})_{\max}$.
因为$1\leqslant x\leqslant 9$,所以$4\leqslant \frac{36}{x}\leqslant 36$,所以$a\leqslant 36$.
故实数$a的取值范围是\{a\mid a\leqslant 36\}$.
答案 (1)$\{a\mid a\geqslant 0\}$ (2)$\{m\mid m\geqslant -2\}$ (3)$\{a\mid a\leqslant 36\}$
(2) 将原命题转化为“关于$x的方程x^{2}+2x - m - 1 = 0$有实数根”的问题.
(3) 将原命题转化为“$a\leqslant \frac{36}{x}在1\leqslant x\leqslant 9$上有解”的问题.
解析 (1) 若命题“$\forall x\in \{x\mid 0\leqslant x\leqslant 3\}$,$x^{2}-4x - a\leqslant 0$”为真命题,则$a\geqslant x^{2}-4x在0\leqslant x\leqslant 3$上恒成立,所以$a\geqslant (x^{2}-4x)_{\max}$,$x\in \{x\mid 0\leqslant x\leqslant 3\}$. 根据二次函数的性质可知,当$x = 0$时,函数$y = x^{2}-4x$取得最大值0,所以$a\geqslant 0$. 故实数$a的取值范围是\{a\mid a\geqslant 0\}$.
(2) 因为命题$p$：$\exists x\in \mathbf{R}$,$x^{2}+2x - m - 1 = 0$是真命题,所以方程$x^{2}+2x - m - 1 = 0$有实数根,所以$\Delta = 4 + 4(m + 1)\geqslant 0$,解得$m\geqslant -2$. 故实数$m的取值范围是\{m\mid m\geqslant -2\}$.
(3) 由题意,得$a\leqslant \frac{36}{x}$,且$a\leqslant (\frac{36}{x})_{\max}$.
因为$1\leqslant x\leqslant 9$,所以$4\leqslant \frac{36}{x}\leqslant 36$,所以$a\leqslant 36$.
故实数$a的取值范围是\{a\mid a\leqslant 36\}$.
答案 (1)$\{a\mid a\geqslant 0\}$ (2)$\{m\mid m\geqslant -2\}$ (3)$\{a\mid a\leqslant 36\}$
