登录
1. 函数$y=\frac{x}{3}, y=-\frac{2}{x}, y=-\frac{1}{4x}, y=\frac{2}{5}x -1, \frac{xy}{2}=3$中，反比例函数有
3
个.答案
1. 3
解析
【分析】
解题的核心依据是反比例函数的定义，首先明确反比例函数的两种常用判定形式：①标准形式$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；②变形形式$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时逐个将给出的函数和上述形式对照，判断是否符合，最后统计符合要求的函数数量即可。
【解析】
首先明确反比例函数定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数为反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k≠0$）的形式，逐个判断如下：
1. $y=\frac{x}{3}$是正比例函数，属于一次函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
2. $y=-\frac{2}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=-2≠0$，是反比例函数；
3. $y=-\frac{1}{4x}$可变形为$y=\frac{-\frac{1}{4}}{x}$，其中$k=-\frac{1}{4}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数；
4. $y=\frac{2}{5}x -1$是一次函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
5. $\frac{xy}{2}=3$可变形为$xy=6$，即$y=\frac{6}{x}$，其中$k=6≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
综上，符合要求的反比例函数共有3个。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数的定义，反比例函数的识别
【点评】
本题重点考查对反比例函数定义的掌握，解题的关键是熟悉反比例函数的标准形式和常见变形，判断时要先对可变形的表达式整理后再判定，避免漏判或误判。
【难度系数】
0.7
解题的核心依据是反比例函数的定义，首先明确反比例函数的两种常用判定形式：①标准形式$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）；②变形形式$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）。解题时逐个将给出的函数和上述形式对照，判断是否符合，最后统计符合要求的函数数量即可。
【解析】
首先明确反比例函数定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数为反比例函数，也可变形为$xy=k$（$k≠0$）的形式，逐个判断如下：
1. $y=\frac{x}{3}$是正比例函数，属于一次函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
2. $y=-\frac{2}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=-2≠0$，是反比例函数；
3. $y=-\frac{1}{4x}$可变形为$y=\frac{-\frac{1}{4}}{x}$，其中$k=-\frac{1}{4}≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数；
4. $y=\frac{2}{5}x -1$是一次函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
5. $\frac{xy}{2}=3$可变形为$xy=6$，即$y=\frac{6}{x}$，其中$k=6≠0$，符合反比例函数定义，是反比例函数。
综上，符合要求的反比例函数共有3个。
【答案】
3
【知识点】
反比例函数的定义，反比例函数的识别
【点评】
本题重点考查对反比例函数定义的掌握，解题的关键是熟悉反比例函数的标准形式和常见变形，判断时要先对可变形的表达式整理后再判定，避免漏判或误判。
【难度系数】
0.7
2.若函数$y=-x^{m-2}$是反比例函数，则$m$的值是
1
。答案
2. 1
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式可写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），即自变量$x$的指数为$-1$，且比例系数不为0。因此我们只需让题目中函数的自变量指数等于$-1$，列方程求解$m$，再验证系数符合要求即可。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，可变形为$y=kx^{-1}$（$k≠0$）。
已知函数$y=-x^{m-2}$是反比例函数，因此自变量$x$的指数满足：
$m-2=-1$
解这个一元一次方程，得：
$m=-1+2=1$
此时函数的比例系数为$-1≠0$，符合反比例函数的要求，因此$m$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的定义、一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握反比例函数的形式特点，解题的关键是抓住“自变量指数为-1、比例系数不为0”这两个核心条件，只要熟记相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式可写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$），即自变量$x$的指数为$-1$，且比例系数不为0。因此我们只需让题目中函数的自变量指数等于$-1$，列方程求解$m$，再验证系数符合要求即可。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，可变形为$y=kx^{-1}$（$k≠0$）。
已知函数$y=-x^{m-2}$是反比例函数，因此自变量$x$的指数满足：
$m-2=-1$
解这个一元一次方程，得：
$m=-1+2=1$
此时函数的比例系数为$-1≠0$，符合反比例函数的要求，因此$m$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
反比例函数的定义、一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握反比例函数的形式特点，解题的关键是抓住“自变量指数为-1、比例系数不为0”这两个核心条件，只要熟记相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3.矩形的面积为24,一条边的长为x,另一条边的长为y,则y与x的函数解析式为
$y = \frac{24}{x}$
.当宽为2时,长为12
;当长为8时,宽为3
.答案
3. $y = \frac{24}{x}$ 12 3
解析
【分析】
解题首先回忆矩形的面积计算公式：矩形面积=相邻两边长度的乘积。已知面积为24，两边长分别为x、y，由此可列出x与y的等量关系，变形后就能得到y关于x的函数解析式；后续两个空属于代入求值问题，把已知的边长代入解析式，计算即可得到对应的另一边长度。
【解析】
1. 求y与x的函数解析式：
根据矩形面积公式可得$ x · y = 24 $，将式子变形为用x表示y的形式，即$ y = \frac{24}{x} $（边长为正，故x＞0）。
2. 当宽为2时，即x=2，代入解析式计算：
$ y = \frac{24}{2} = 12 $，即长为12。
3. 当长为8时，即x=8，代入解析式计算：
$ y = \frac{24}{8} = 3 $，即宽为3。
【答案】
$ y = \frac{24}{x} $；12；3
【知识点】
矩形面积公式；反比例函数解析式；代数式求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是结合几何图形的面积公式推导函数关系，再代入数值计算，计算难度低，掌握基础公式即可得分。
【难度系数】
0.9
解题首先回忆矩形的面积计算公式：矩形面积=相邻两边长度的乘积。已知面积为24，两边长分别为x、y，由此可列出x与y的等量关系，变形后就能得到y关于x的函数解析式；后续两个空属于代入求值问题，把已知的边长代入解析式，计算即可得到对应的另一边长度。
【解析】
1. 求y与x的函数解析式：
根据矩形面积公式可得$ x · y = 24 $，将式子变形为用x表示y的形式，即$ y = \frac{24}{x} $（边长为正，故x＞0）。
2. 当宽为2时，即x=2，代入解析式计算：
$ y = \frac{24}{2} = 12 $，即长为12。
3. 当长为8时，即x=8，代入解析式计算：
$ y = \frac{24}{8} = 3 $，即宽为3。
【答案】
$ y = \frac{24}{x} $；12；3
【知识点】
矩形面积公式；反比例函数解析式；代数式求值
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是结合几何图形的面积公式推导函数关系，再代入数值计算，计算难度低，掌握基础公式即可得分。
【难度系数】
0.9
4.已知y是x的反比例函数,下表给出了x与y的一些值:
(1) 写出这个反比例函数的解析式；
(2) 根据函数解析式完成上表.
(1) 写出这个反比例函数的解析式；
(2) 根据函数解析式完成上表.
答案
4. (1) $y = -\frac{2}{x}$;(2) 略.
解析
【分析】
(1) 求解反比例函数解析式，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），只需要求出待定系数$k$即可确定解析式，观察表格给出了一组明确的对应值$x=-1,y=2$，将其代入一般式即可求出$k$的值。
(2) 完成表格的核心是代入计算：若已知$x$的值，将其代入已求出的解析式，直接计算得到对应的$y$值；若已知$y$的值，将其代入解析式，解关于$x$的方程即可得到对应的$x$值，逐个计算即可补全表格。
【解析】
(1) 设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$x=-1$，$y=2$代入解析式得：
$2=\frac{k}{-1}$，解得$k=-2$。
所以这个反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
(2) 逐个计算表格空缺值：
① 当$y=\frac{2}{3}$时，代入得$\frac{2}{3}=-\frac{2}{x}$，解得$x=-3$；
② 当$x=-2$时，$y=-\frac{2}{-2}=1$；
③ 当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=-\frac{2}{-\frac{1}{2}}=4$；
④ 当$x=\frac{1}{2}$时，$y=-\frac{2}{\frac{1}{2}}=-4$；
⑤ 当$x=1$时，$y=-\frac{2}{1}=-2$；
⑥ 当$y=-1$时，代入得$-1=-\frac{2}{x}$，解得$x=2$；
⑦ 当$x=3$时，$y=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{2}{x}$
(2) 表格$x$行空缺从左到右依次填$-3$、$2$；$y$行空缺从左到右依次填$1$、$4$、$-4$、$-2$、$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数点的坐标特征；反比例函数定义
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，核心考查待定系数法求解析式的方法和代入求值的运算能力，解题时注意符号运算，避免计算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 求解反比例函数解析式，首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），只需要求出待定系数$k$即可确定解析式，观察表格给出了一组明确的对应值$x=-1,y=2$，将其代入一般式即可求出$k$的值。
(2) 完成表格的核心是代入计算：若已知$x$的值，将其代入已求出的解析式，直接计算得到对应的$y$值；若已知$y$的值，将其代入解析式，解关于$x$的方程即可得到对应的$x$值，逐个计算即可补全表格。
【解析】
(1) 设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$x=-1$，$y=2$代入解析式得：
$2=\frac{k}{-1}$，解得$k=-2$。
所以这个反比例函数的解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
(2) 逐个计算表格空缺值：
① 当$y=\frac{2}{3}$时，代入得$\frac{2}{3}=-\frac{2}{x}$，解得$x=-3$；
② 当$x=-2$时，$y=-\frac{2}{-2}=1$；
③ 当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=-\frac{2}{-\frac{1}{2}}=4$；
④ 当$x=\frac{1}{2}$时，$y=-\frac{2}{\frac{1}{2}}=-4$；
⑤ 当$x=1$时，$y=-\frac{2}{1}=-2$；
⑥ 当$y=-1$时，代入得$-1=-\frac{2}{x}$，解得$x=2$；
⑦ 当$x=3$时，$y=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{2}{x}$
(2) 表格$x$行空缺从左到右依次填$-3$、$2$；$y$行空缺从左到右依次填$1$、$4$、$-4$、$-2$、$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数点的坐标特征；反比例函数定义
【点评】
本题属于反比例函数基础题型，核心考查待定系数法求解析式的方法和代入求值的运算能力，解题时注意符号运算，避免计算错误即可得分。
【难度系数】
0.8
5.已知$y$与$x^2 -1$成反比例,且当$x = 2$时,$y = -1$,求当$x = -2$时,$y$的值.
答案
5. 解:$\because y$与$x^2 - 1$成反比例,$\therefore$ 设$y=\frac{k}{x^2 - 1}(k ≠ 0)$. 将$x = 2,y = - 1$代入,得$-1 = \frac{k}{2^2 - 1}$,解得$k = - 3$.$\therefore y = -\frac{3}{x^2 - 1}$. 将$x = - 2$代入,得$y = -\frac{3}{(-2)^2 - 1} = - 1$.
解析
【分析】
本题需要结合反比例的定义求解，解题思路可分为三步：第一步，根据“y与$x^2 -1$成反比例”的条件，按照反比例的定义设出含待定系数k的函数解析式，注意k不能为0；第二步，将已知的$x=2$、$y=-1$代入所设解析式，求出k的值，确定完整的函数表达式；第三步，把$x=-2$代入已确定的函数解析式，计算得到对应的y值即可，也可观察到$x=2$和$x=-2$的平方值相等，直接得出y值与$x=2$时的y值相同。
【解析】
$\because y$与$x^2 - 1$成反比例，
$\therefore$ 设函数解析式为$y=\frac{k}{x^2 - 1}(k ≠ 0)$，
将$x = 2$，$y = - 1$代入解析式，得：
$-1 = \frac{k}{2^2 - 1}$，
解得$k = - 3$，
$\therefore$ 函数解析式为$y = -\frac{3}{x^2 - 1}$，
将$x = - 2$代入解析式，得：
$y = -\frac{3}{(-2)^2 - 1} = -\frac{3}{4-1} = -1$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1.反比例的定义 2.待定系数法 3.函数值计算
【点评】
本题属于反比例相关的基础题型，核心是准确理解“两个量成反比例”的含义，避免误将解析式设为y与x成反比例的错误，熟练掌握待定系数法求解函数解析式的步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题需要结合反比例的定义求解，解题思路可分为三步：第一步，根据“y与$x^2 -1$成反比例”的条件，按照反比例的定义设出含待定系数k的函数解析式，注意k不能为0；第二步，将已知的$x=2$、$y=-1$代入所设解析式，求出k的值，确定完整的函数表达式；第三步，把$x=-2$代入已确定的函数解析式，计算得到对应的y值即可，也可观察到$x=2$和$x=-2$的平方值相等，直接得出y值与$x=2$时的y值相同。
【解析】
$\because y$与$x^2 - 1$成反比例，
$\therefore$ 设函数解析式为$y=\frac{k}{x^2 - 1}(k ≠ 0)$，
将$x = 2$，$y = - 1$代入解析式，得：
$-1 = \frac{k}{2^2 - 1}$，
解得$k = - 3$，
$\therefore$ 函数解析式为$y = -\frac{3}{x^2 - 1}$，
将$x = - 2$代入解析式，得：
$y = -\frac{3}{(-2)^2 - 1} = -\frac{3}{4-1} = -1$。
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1.反比例的定义 2.待定系数法 3.函数值计算
【点评】
本题属于反比例相关的基础题型，核心是准确理解“两个量成反比例”的含义，避免误将解析式设为y与x成反比例的错误，熟练掌握待定系数法求解函数解析式的步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$,当$x=2$时,$y=4$,当$x=m$时,$y=n$,则$mn$的值为
8
.答案
6. 8
解析
【分析】
拿到题目首先观察到考查的是反比例函数相关知识，解题思路分两步走：第一步，先利用已知的x、y对应值求出反比例函数的比例系数k，因为k是反比例函数的定值，是解题的核心；第二步，回忆反比例函数的变形形式，由$y=\frac{k}{x}$可以得到$xy=k$，即反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于定值k，因此当x=m、y=n时，mn的值就等于k，直接代入k的数值就能得到结果。
【解析】
解：将$x=2$，$y=4$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，可得：
$4=\frac{k}{2}$
解得$k=4×2=8$
因此该反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$，变形可得$xy=8$
因为当$x=m$时$y=n$，即点$(m,n)$在该反比例函数图象上，满足函数关系式，所以$mn=8$。
【答案】
8
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题关键是理解反比例函数中比例系数k的固定性，掌握反比例函数横、纵坐标乘积为定值的规律，就能快速求解，不需要额外复杂计算。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先观察到考查的是反比例函数相关知识，解题思路分两步走：第一步，先利用已知的x、y对应值求出反比例函数的比例系数k，因为k是反比例函数的定值，是解题的核心；第二步，回忆反比例函数的变形形式，由$y=\frac{k}{x}$可以得到$xy=k$，即反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积都等于定值k，因此当x=m、y=n时，mn的值就等于k，直接代入k的数值就能得到结果。
【解析】
解：将$x=2$，$y=4$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，可得：
$4=\frac{k}{2}$
解得$k=4×2=8$
因此该反比例函数的解析式为$y=\frac{8}{x}$，变形可得$xy=8$
因为当$x=m$时$y=n$，即点$(m,n)$在该反比例函数图象上，满足函数关系式，所以$mn=8$。
【答案】
8
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，解题关键是理解反比例函数中比例系数k的固定性，掌握反比例函数横、纵坐标乘积为定值的规律，就能快速求解，不需要额外复杂计算。
【难度系数】
0.9
7.已知函数$y = y_1 + y_2$，$y_1$与$x + 1$成正比例函数，$y_2$与$x$成反比例函数，当$x = 1$时，$y = 7$，当$x = 3$时，$y = 9$.
（1）求$y$与$x$的函数解析式；
（2）求当$x = -1$时，$y$的值.
（1）求$y$与$x$的函数解析式；
（2）求当$x = -1$时，$y$的值.
答案
7. (1)$y = 2x + \frac{3}{x} + 2$;(2) 当$x = - 1$时,$y = - 2 - 3 + 2 = - 3$.
解析
【分析】
本题考查待定系数法求函数解析式，解题思路如下：
1. 首先根据正比例函数、反比例函数的定义，分别设出$y_1$和$y_2$的表达式，其中包含两个未知系数$k_1$、$k_2$；
2. 由$y=y_1+y_2$得到$y$关于$x$的含参表达式，再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于$k_1$、$k_2$的二元一次方程组；
3. 解方程组求出$k_1$、$k_2$的值，代入含参表达式即可得到$y$与$x$的函数解析式；
4. 第二问直接将$x=-1$代入第一问求出的解析式，计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
（1）根据题意设：
$y_1 = k_1(x+1)$（$k_1 ≠ 0$，$k_1$为常数），
$y_2 = \frac{k_2}{x}$（$k_2 ≠ 0$，$k_2$为常数），
∵ $y = y_1 + y_2$，
∴ $y = k_1(x+1) + \frac{k_2}{x}$。
将$x=1$，$y=7$；$x=3$，$y=9$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}2k_1 + k_2 = 7 \\4k_1 + \frac{k_2}{3} = 9 \end{cases}$
由第一个方程得：$k_2 = 7 - 2k_1$，将其代入第二个方程：
$4k_1 + \frac{7 - 2k_1}{3} = 9$
两边同乘3消分母得：$12k_1 +7 -2k_1 =27$
整理得：$10k_1 =20$，解得$k_1=2$，
将$k_1=2$代入$k_2=7-2k_1$，得$k_2=7-4=3$，
将$k_1=2$，$k_2=3$代入$y = k_1(x+1) + \frac{k_2}{x}$，得：
$y=2(x+1) + \frac{3}{x} = 2x + 2 + \frac{3}{x}$，即$y=2x + \frac{3}{x} +2$。
（2）将$x=-1$代入$y=2x + \frac{3}{x} +2$，得：
$y=2×(-1) + \frac{3}{-1} +2 = -2 -3 +2 = -3$。
【答案】
（1）$y = 2x + \frac{3}{x} + 2$；（2）$-3$
【知识点】
待定系数法求解析式；正比例函数定义；反比例函数定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确把握正、反比例函数的定义形式，正确设出含参表达式，再通过代入已知条件构造方程组求解系数，计算时要注意符号运算和分式运算的准确性。
【难度系数】
0.7
本题考查待定系数法求函数解析式，解题思路如下：
1. 首先根据正比例函数、反比例函数的定义，分别设出$y_1$和$y_2$的表达式，其中包含两个未知系数$k_1$、$k_2$；
2. 由$y=y_1+y_2$得到$y$关于$x$的含参表达式，再将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于$k_1$、$k_2$的二元一次方程组；
3. 解方程组求出$k_1$、$k_2$的值，代入含参表达式即可得到$y$与$x$的函数解析式；
4. 第二问直接将$x=-1$代入第一问求出的解析式，计算即可得到对应的$y$值。
【解析】
（1）根据题意设：
$y_1 = k_1(x+1)$（$k_1 ≠ 0$，$k_1$为常数），
$y_2 = \frac{k_2}{x}$（$k_2 ≠ 0$，$k_2$为常数），
∵ $y = y_1 + y_2$，
∴ $y = k_1(x+1) + \frac{k_2}{x}$。
将$x=1$，$y=7$；$x=3$，$y=9$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}2k_1 + k_2 = 7 \\4k_1 + \frac{k_2}{3} = 9 \end{cases}$
由第一个方程得：$k_2 = 7 - 2k_1$，将其代入第二个方程：
$4k_1 + \frac{7 - 2k_1}{3} = 9$
两边同乘3消分母得：$12k_1 +7 -2k_1 =27$
整理得：$10k_1 =20$，解得$k_1=2$，
将$k_1=2$代入$k_2=7-2k_1$，得$k_2=7-4=3$，
将$k_1=2$，$k_2=3$代入$y = k_1(x+1) + \frac{k_2}{x}$，得：
$y=2(x+1) + \frac{3}{x} = 2x + 2 + \frac{3}{x}$，即$y=2x + \frac{3}{x} +2$。
（2）将$x=-1$代入$y=2x + \frac{3}{x} +2$，得：
$y=2×(-1) + \frac{3}{-1} +2 = -2 -3 +2 = -3$。
【答案】
（1）$y = 2x + \frac{3}{x} + 2$；（2）$-3$
【知识点】
待定系数法求解析式；正比例函数定义；反比例函数定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确把握正、反比例函数的定义形式，正确设出含参表达式，再通过代入已知条件构造方程组求解系数，计算时要注意符号运算和分式运算的准确性。
【难度系数】
0.7
