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2. 当$m$为何值时，函数$y = \frac{4}{x^{2m - 2}}$是反比例函数？求出其函数解析式。
答案
由反比例函数的定义可知$2m-2=1$，解得$m=\frac{3}{2}$，此时函数解析式为$y=\frac{4}{x}$。
解析
【分析】
要判断给定函数是否为反比例函数，需紧扣反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，也可写为$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）的形式，即自变量$x$的指数为$-1$，且比例系数不为0。本题中函数的比例系数为4，已经满足不为0的要求，因此只需令分母中$x$的指数等于1，列方程求解$m$的值，再代入原式即可得到对应的函数解析式。
【解析】
解：根据反比例函数的定义，可得：
$2m - 2 = 1$
解上述一元一次方程：
移项得$2m = 1 + 2$，即$2m = 3$
系数化为1，得$m = \frac{3}{2}$
将$m=\frac{3}{2}$代入原函数，得：
$y=\frac{4}{x^{2×\frac{3}{2}-2}}=\frac{4}{x^{3-2}}=\frac{4}{x}$
【答案】
当$m=\frac{3}{2}$时，该函数是反比例函数，函数解析式为$y=\frac{4}{x}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于反比例函数概念的基础考查题，解题的关键是准确记忆反比例函数中自变量的次数要求，做题时需注意隐含的比例系数不为0的条件，本题比例系数已满足要求，直接列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
要判断给定函数是否为反比例函数，需紧扣反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数叫做反比例函数，也可写为$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）的形式，即自变量$x$的指数为$-1$，且比例系数不为0。本题中函数的比例系数为4，已经满足不为0的要求，因此只需令分母中$x$的指数等于1，列方程求解$m$的值，再代入原式即可得到对应的函数解析式。
【解析】
解：根据反比例函数的定义，可得：
$2m - 2 = 1$
解上述一元一次方程：
移项得$2m = 1 + 2$，即$2m = 3$
系数化为1，得$m = \frac{3}{2}$
将$m=\frac{3}{2}$代入原函数，得：
$y=\frac{4}{x^{2×\frac{3}{2}-2}}=\frac{4}{x^{3-2}}=\frac{4}{x}$
【答案】
当$m=\frac{3}{2}$时，该函数是反比例函数，函数解析式为$y=\frac{4}{x}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义 2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于反比例函数概念的基础考查题，解题的关键是准确记忆反比例函数中自变量的次数要求，做题时需注意隐含的比例系数不为0的条件，本题比例系数已满足要求，直接列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
变式 若函数$y=4· x^{2m-2}$是反比例函数，则$m=$
$\frac{1}{2}$
.答案
变式 $m=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先要回忆反比例函数的定义：反比例函数的一般形式可写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$），核心特征是自变量$x$的次数为$-1$。因此我们只需要让题目中函数自变量$x$的指数$2m-2$等于$-1$，列出一元一次方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据反比例函数的定义，反比例函数可表示为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$），即自变量$x$的次数为$-1$。
已知$y=4· x^{2m-2}$是反比例函数，因此可得方程：
$2m-2=-1$
移项得：$2m=2-1=1$
系数化为1得：$m=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的概念、解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握反比例函数中自变量的次数为$-1$的特征，解题时注意不要和正比例函数自变量次数为$1$的特点混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要回忆反比例函数的定义：反比例函数的一般形式可写为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$），核心特征是自变量$x$的次数为$-1$。因此我们只需要让题目中函数自变量$x$的指数$2m-2$等于$-1$，列出一元一次方程求解即可得到$m$的值。
【解析】
根据反比例函数的定义，反比例函数可表示为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$），即自变量$x$的次数为$-1$。
已知$y=4· x^{2m-2}$是反比例函数，因此可得方程：
$2m-2=-1$
移项得：$2m=2-1=1$
系数化为1得：$m=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的概念、解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握反比例函数中自变量的次数为$-1$的特征，解题时注意不要和正比例函数自变量次数为$1$的特点混淆。
【难度系数】
0.8
1. 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系,并指出它们各是什么函数:
(1) 圆柱形蓄水池的容积是常数 $ V $(单位:$ \mathrm{m}^3 $),其底面积 $ S $(单位:$ \mathrm{m}^2 $)与高 $ h $(单位:$ \mathrm{m} $)之间的关系;
(2) 王芳要把一篇包含32 000字的调查报告录入电脑,完成录入所用时间 $ t $(单位:$ \mathrm{min} $)与录入平均速度 $ v $(单位:字/min)之间的关系;
(3) 列车从相距2 240 km的甲地行驶到乙地,平均速度 $ v $(单位:$ \mathrm{km/h} $)与全程行驶时间 $ t $(单位:$ \mathrm{h} $)之间的关系;
(4) 列车以 300 km/h 的平均速度从甲地行驶到乙地,行驶路程 $ s $(单位:$ \mathrm{km} $)与行驶时间 $ t $(单位:$ \mathrm{h} $)之间的关系.
(1) 圆柱形蓄水池的容积是常数 $ V $(单位:$ \mathrm{m}^3 $),其底面积 $ S $(单位:$ \mathrm{m}^2 $)与高 $ h $(单位:$ \mathrm{m} $)之间的关系;
(2) 王芳要把一篇包含32 000字的调查报告录入电脑,完成录入所用时间 $ t $(单位:$ \mathrm{min} $)与录入平均速度 $ v $(单位:字/min)之间的关系;
(3) 列车从相距2 240 km的甲地行驶到乙地,平均速度 $ v $(单位:$ \mathrm{km/h} $)与全程行驶时间 $ t $(单位:$ \mathrm{h} $)之间的关系;
(4) 列车以 300 km/h 的平均速度从甲地行驶到乙地,行驶路程 $ s $(单位:$ \mathrm{km} $)与行驶时间 $ t $(单位:$ \mathrm{h} $)之间的关系.
答案
(1) $S=\frac{V}{h}$，S是h的反比例函数；
(2) $t=\frac{32000}{v}$，t是v的反比例函数；
(3) $v=\frac{2240}{t}$，v是t的反比例函数；
(4) $s=300t$，s是t的正比例函数。
(2) $t=\frac{32000}{v}$，t是v的反比例函数；
(3) $v=\frac{2240}{t}$，v是t的反比例函数；
(4) $s=300t$，s是t的正比例函数。
解析
【分析】
解题前先明确两类基础函数的定义：①反比例函数：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数，特征是两个变量的乘积为非零定值；②正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数，特征是两个变量的比值为非零定值。解题时先根据每个小题的实际场景写出对应的等量关系，再将待求的函数变量单独放在等号一侧，整理为标准函数形式后，对照上述定义即可判断函数类型。
【解析】
(1) 根据圆柱容积公式$V=S· h$，其中$V$为非零常数，将$S$单独整理，等式两边同时除以$h$（$h＞0$），得$S=\frac{V}{h}$，符合反比例函数的形式，因此$S$是$h$的反比例函数。
(2) 根据“总字数=录入平均速度×录入时间”，已知总字数为32000，可得$32000=v· t$，将$t$单独整理，等式两边同时除以$v$（$v＞0$），得$t=\frac{32000}{v}$，符合反比例函数的形式，因此$t$是$v$的反比例函数。
(3) 根据“路程=速度×时间”，已知甲乙两地路程为2240km，可得$2240=v· t$，将$v$单独整理，等式两边同时除以$t$（$t＞0$），得$v=\frac{2240}{t}$，符合反比例函数的形式，因此$v$是$t$的反比例函数。
(4) 根据“路程=速度×时间”，已知列车平均速度为300km/h，直接代入得$s=300t$，符合正比例函数的形式，因此$s$是$t$的正比例函数。
【答案】
(1) $S=\frac{V}{h}$，S是h的反比例函数；
(2) $t=\frac{32000}{v}$，t是v的反比例函数；
(3) $v=\frac{2240}{t}$，v是t的反比例函数；
(4) $s=300t$，s是t的正比例函数。
【知识点】
反比例函数的概念、正比例函数的概念、实际问题列函数关系式
【点评】
本题是函数概念的基础应用类题目，核心考查从实际场景中提取等量关系、转化为函数表达式的能力，只要熟练掌握正比例函数和反比例函数的形式特征，就能快速完成解答。
【难度系数】
0.8
解题前先明确两类基础函数的定义：①反比例函数：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数，特征是两个变量的乘积为非零定值；②正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数，特征是两个变量的比值为非零定值。解题时先根据每个小题的实际场景写出对应的等量关系，再将待求的函数变量单独放在等号一侧，整理为标准函数形式后，对照上述定义即可判断函数类型。
【解析】
(1) 根据圆柱容积公式$V=S· h$，其中$V$为非零常数，将$S$单独整理，等式两边同时除以$h$（$h＞0$），得$S=\frac{V}{h}$，符合反比例函数的形式，因此$S$是$h$的反比例函数。
(2) 根据“总字数=录入平均速度×录入时间”，已知总字数为32000，可得$32000=v· t$，将$t$单独整理，等式两边同时除以$v$（$v＞0$），得$t=\frac{32000}{v}$，符合反比例函数的形式，因此$t$是$v$的反比例函数。
(3) 根据“路程=速度×时间”，已知甲乙两地路程为2240km，可得$2240=v· t$，将$v$单独整理，等式两边同时除以$t$（$t＞0$），得$v=\frac{2240}{t}$，符合反比例函数的形式，因此$v$是$t$的反比例函数。
(4) 根据“路程=速度×时间”，已知列车平均速度为300km/h，直接代入得$s=300t$，符合正比例函数的形式，因此$s$是$t$的正比例函数。
【答案】
(1) $S=\frac{V}{h}$，S是h的反比例函数；
(2) $t=\frac{32000}{v}$，t是v的反比例函数；
(3) $v=\frac{2240}{t}$，v是t的反比例函数；
(4) $s=300t$，s是t的正比例函数。
【知识点】
反比例函数的概念、正比例函数的概念、实际问题列函数关系式
【点评】
本题是函数概念的基础应用类题目，核心考查从实际场景中提取等量关系、转化为函数表达式的能力，只要熟练掌握正比例函数和反比例函数的形式特征，就能快速完成解答。
【难度系数】
0.8
2. 已知$y=2x^{2m}$是反比例函数，则$m$的值是(
A.$m=\frac{1}{2}$
B.$m=-\frac{1}{2}$
C.$m≠0$
D.一切实数
B
)A.$m=\frac{1}{2}$
B.$m=-\frac{1}{2}$
C.$m≠0$
D.一切实数
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的定义特征：反比例函数可变形为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，核心特征是自变量$x$的指数为$-1$，且比例系数不为0。本题给出的函数为$y=2x^{2m}$，因此只需令$x$的指数$2m=-1$，求解方程即可得到$m$的值，再验证系数符合要求即可。
【解析】
解：根据反比例函数的定义，反比例函数的形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
已知$y=2x^{2m}$是反比例函数，因此自变量$x$的指数满足：
$2m=-1$
解得$m=-\frac{1}{2}$
又因为该函数的比例系数$2≠0$，符合反比例函数的要求，因此$m=-\frac{1}{2}$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对反比例函数定义的掌握，解题时要注意区分反比例函数和正比例函数的自变量指数差异，牢记反比例函数的两个核心要求：自变量指数为-1、比例系数不为0。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数的定义特征：反比例函数可变形为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，核心特征是自变量$x$的指数为$-1$，且比例系数不为0。本题给出的函数为$y=2x^{2m}$，因此只需令$x$的指数$2m=-1$，求解方程即可得到$m$的值，再验证系数符合要求即可。
【解析】
解：根据反比例函数的定义，反比例函数的形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）。
已知$y=2x^{2m}$是反比例函数，因此自变量$x$的指数满足：
$2m=-1$
解得$m=-\frac{1}{2}$
又因为该函数的比例系数$2≠0$，符合反比例函数的要求，因此$m=-\frac{1}{2}$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对反比例函数定义的掌握，解题时要注意区分反比例函数和正比例函数的自变量指数差异，牢记反比例函数的两个核心要求：自变量指数为-1、比例系数不为0。
【难度系数】
0.8
3. 已知$y$与$x$成反比例，且当$x=-\dfrac{3}{4}$时，$y=\dfrac{4}{3}$。
（1）求$y$关于$x$的函数解析式。
（2）当$x=-\dfrac{2}{3}$时，$y$的值是多少？
（1）求$y$关于$x$的函数解析式。
（2）当$x=-\dfrac{2}{3}$时，$y$的值是多少？
答案
（1）设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$，将$x=-\frac{3}{4}$，$y=\frac{4}{3}$代入得$\frac{4}{3}=\frac{k}{-\frac{3}{4}}$，解得k=-1，所以函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$；
（2）当$x=-\frac{2}{3}$时，$y=-\frac{1}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$。
（2）当$x=-\frac{2}{3}$时，$y=-\frac{1}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
（1）已知y与x成反比例，首先回忆反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k\ne0$），求函数解析式的核心是求出待定系数$k$，只需将题目给出的$x$、$y$的对应值代入解析式，解一元一次方程即可得到$k$的值，进而确定函数解析式。
（2）第一问已经得到了完整的函数解析式，要求指定$x$对应的$y$值，只需将给定的$x$值代入解析式，按照分数运算规则计算即可，计算过程中注意正负号的处理。
【解析】
（1）设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），
将$x=-\frac{3}{4}$，$y=\frac{4}{3}$代入解析式，得：
$\frac{4}{3}=\frac{k}{-\frac{3}{4}}$
解得$k=\frac{4}{3}×(-\frac{3}{4})=-1$
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$。
（2）将$x=-\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y=-\frac{1}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$
【答案】
（1）$y=-\frac{1}{x}$；（2）$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 求反比例函数值
【点评】
本题是反比例函数的基础巩固题，重点考查对反比例函数定义的理解和待定系数法的应用，运算难度低，只要掌握反比例函数的基本形式，计算时注意符号运算的准确性即可得分。
【难度系数】
0.85
（1）已知y与x成反比例，首先回忆反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k\ne0$），求函数解析式的核心是求出待定系数$k$，只需将题目给出的$x$、$y$的对应值代入解析式，解一元一次方程即可得到$k$的值，进而确定函数解析式。
（2）第一问已经得到了完整的函数解析式，要求指定$x$对应的$y$值，只需将给定的$x$值代入解析式，按照分数运算规则计算即可，计算过程中注意正负号的处理。
【解析】
（1）设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\ne0$），
将$x=-\frac{3}{4}$，$y=\frac{4}{3}$代入解析式，得：
$\frac{4}{3}=\frac{k}{-\frac{3}{4}}$
解得$k=\frac{4}{3}×(-\frac{3}{4})=-1$
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=-\frac{1}{x}$。
（2）将$x=-\frac{2}{3}$代入$y=-\frac{1}{x}$，得：
$y=-\frac{1}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$
【答案】
（1）$y=-\frac{1}{x}$；（2）$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 待定系数法求解析式
3. 求反比例函数值
【点评】
本题是反比例函数的基础巩固题，重点考查对反比例函数定义的理解和待定系数法的应用，运算难度低，只要掌握反比例函数的基本形式，计算时注意符号运算的准确性即可得分。
【难度系数】
0.85
4. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k ＞ 0)$，当自变量$x$扩大到原来的$a$倍（$a ≥ 2$，且$a$为正整数）时，对应的函数值$y$将如何变化？请说明理由。
答案
函数值y将变为原来的$\frac{1}{a}$。理由：当x扩大为原来的a倍时，新的自变量为$ax$，代入反比例函数得新的函数值$y'=\frac{k}{ax}=\frac{1}{a}·\frac{k}{x}=\frac{y}{a}$，即y变为原来的$\frac{1}{a}$。
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先明确原自变量对应的函数值，再找到自变量扩大a倍后的新自变量，将新自变量代入反比例函数解析式求出新的函数值，最后对比新函数值与原函数值的关系，即可得出y的变化规律。
【解析】
设原自变量为$x$，对应的反比例函数值为$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）。
当$x$扩大到原来的$a$倍时，新的自变量为$ax$，将其代入反比例函数解析式，可得新的函数值：
$y'=\frac{k}{ax}$
对式子变形可得：$y'=\frac{1}{a}·\frac{k}{x}$
结合原函数值$y=\frac{k}{x}$，可得$y'=\frac{1}{a}y$，即函数值变为原来的$\frac{1}{a}$。
【答案】
函数值y将变为原来的$\frac{1}{a}$。理由：当x扩大为原来的a倍时，新的自变量为$ax$，代入反比例函数得新的函数值$y'=\frac{k}{ax}=\frac{1}{a}·\frac{k}{x}=\frac{y}{a}$，即y变为原来的$\frac{1}{a}$。
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.代数式化简
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，核心考查对反比例函数表达式的理解与代入求值的能力，掌握通过代入变量推导函数值变化的方法，是后续解决反比例函数相关变化类问题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：首先明确原自变量对应的函数值，再找到自变量扩大a倍后的新自变量，将新自变量代入反比例函数解析式求出新的函数值，最后对比新函数值与原函数值的关系，即可得出y的变化规律。
【解析】
设原自变量为$x$，对应的反比例函数值为$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）。
当$x$扩大到原来的$a$倍时，新的自变量为$ax$，将其代入反比例函数解析式，可得新的函数值：
$y'=\frac{k}{ax}$
对式子变形可得：$y'=\frac{1}{a}·\frac{k}{x}$
结合原函数值$y=\frac{k}{x}$，可得$y'=\frac{1}{a}y$，即函数值变为原来的$\frac{1}{a}$。
【答案】
函数值y将变为原来的$\frac{1}{a}$。理由：当x扩大为原来的a倍时，新的自变量为$ax$，代入反比例函数得新的函数值$y'=\frac{k}{ax}=\frac{1}{a}·\frac{k}{x}=\frac{y}{a}$，即y变为原来的$\frac{1}{a}$。
【知识点】
1.反比例函数的概念
2.代数式化简
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，核心考查对反比例函数表达式的理解与代入求值的能力，掌握通过代入变量推导函数值变化的方法，是后续解决反比例函数相关变化类问题的基础。
【难度系数】
0.8
