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10. 如图, 双曲线 $y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$ 与 $y = -\frac{3}{x}(x ＜ 0)$ 分别位于第三象限和第二象限, A是y轴上任意一点, B是双曲线 $y = -\frac{3}{x}$ 上的点, C是双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 上的点, 线段 $BC ⊥ x$ 轴于点 D, 且 $4BD = 3CD$. 下列说法: ① 双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 在每个象限内, y随x的增大而减小; ② 若点B的横坐标为-3, 则点C的坐标为 $(-3, \frac{4}{3})$; ③ $k = 4$; ④ $△ ABC$ 的面积为定值7. 其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10. B
解析
【分析】
解题思路：先利用反比例函数上点的坐标特征，设B、C的横坐标为x（x＜0），分别表示出B、C的纵坐标，结合4BD=3CD的线段长度关系求出k值，再根据k的正负判断反比例函数的增减性；接着将x=-3代入解析式验证点C的坐标是否正确；最后用三角形面积公式计算△ABC的面积，判断是否为定值7，逐个验证4个说法即可。
【解析】
1. 求k的值：
∵BC⊥x轴，
∴B、C横坐标相同，设为x（x＜0）。
∵B在$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$上，
∴$B(x,-\frac{3}{x})$，B在第二象限，y值为正，BD为B到x轴的距离，即$BD=-\frac{3}{x}$；
∵$y=\frac{k}{x}(x＜0)$在第三象限，x＜0时y＜0，即k＞0，$C(x,\frac{k}{x})$，CD为C到x轴的距离，即$CD=-\frac{k}{x}$。
由4BD=3CD得：$4×(-\frac{3}{x})=3×(-\frac{k}{x})$，x≠0，约去$-\frac{1}{x}$得12=3k，解得k=4，故③正确。
2. 判断①：双曲线$y=\frac{4}{x}$中k=4＞0，根据反比例函数性质，在每个象限内，y随x的增大而减小，故①正确。
3. 判断②：若B的横坐标为-3，代入$y=-\frac{3}{x}$得y=1，即BD=1，由4BD=3CD得CD=$\frac{4}{3}$，C在第三象限，纵坐标为$-\frac{4}{3}$，故C坐标为$(-3,-\frac{4}{3})$，与②中描述不符，故②错误。
4. 判断④：△ABC的底$BC=BD+CD=-\frac{3}{x}-\frac{4}{x}=-\frac{7}{x}$，高为B、C到y轴的水平距离$|x|=-x$，面积$S=\frac{1}{2}× BC × 高=\frac{1}{2}× (-\frac{7}{x})× (-x)=\frac{7}{2}=3.5$，不是定值7，故④错误。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数的相关性质，解题关键是明确同横坐标点的坐标关系，注意坐标正负和线段长度的转换，再逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.65
解题思路：先利用反比例函数上点的坐标特征，设B、C的横坐标为x（x＜0），分别表示出B、C的纵坐标，结合4BD=3CD的线段长度关系求出k值，再根据k的正负判断反比例函数的增减性；接着将x=-3代入解析式验证点C的坐标是否正确；最后用三角形面积公式计算△ABC的面积，判断是否为定值7，逐个验证4个说法即可。
【解析】
1. 求k的值：
∵BC⊥x轴，
∴B、C横坐标相同，设为x（x＜0）。
∵B在$y=-\frac{3}{x}(x＜0)$上，
∴$B(x,-\frac{3}{x})$，B在第二象限，y值为正，BD为B到x轴的距离，即$BD=-\frac{3}{x}$；
∵$y=\frac{k}{x}(x＜0)$在第三象限，x＜0时y＜0，即k＞0，$C(x,\frac{k}{x})$，CD为C到x轴的距离，即$CD=-\frac{k}{x}$。
由4BD=3CD得：$4×(-\frac{3}{x})=3×(-\frac{k}{x})$，x≠0，约去$-\frac{1}{x}$得12=3k，解得k=4，故③正确。
2. 判断①：双曲线$y=\frac{4}{x}$中k=4＞0，根据反比例函数性质，在每个象限内，y随x的增大而减小，故①正确。
3. 判断②：若B的横坐标为-3，代入$y=-\frac{3}{x}$得y=1，即BD=1，由4BD=3CD得CD=$\frac{4}{3}$，C在第三象限，纵坐标为$-\frac{4}{3}$，故C坐标为$(-3,-\frac{4}{3})$，与②中描述不符，故②错误。
4. 判断④：△ABC的底$BC=BD+CD=-\frac{3}{x}-\frac{4}{x}=-\frac{7}{x}$，高为B、C到y轴的水平距离$|x|=-x$，面积$S=\frac{1}{2}× BC × 高=\frac{1}{2}× (-\frac{7}{x})× (-x)=\frac{7}{2}=3.5$，不是定值7，故④错误。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数的相关性质，解题关键是明确同横坐标点的坐标关系，注意坐标正负和线段长度的转换，再逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.65
11. 已知点$P(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上. 若点$P$关于$y$轴对称的点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,则$k$的值为________.
答案
11. -2
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心知识点：一是若点在函数图象上，则点的坐标满足该函数的解析式；二是关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变。首先将点P的坐标代入第一个反比例函数解析式，得到a与b的乘积关系；再写出点P关于y轴对称的点的坐标，将其代入第二个反比例函数解析式，结合之前得到的a、b关系即可求出k的值。
【解析】
∵ 点$P(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴ 将$x=a$，$y=b$代入$y=\frac{2}{x}$，可得$b=\frac{2}{a}$，即$ab=2$。
∵ 关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴ 点$P(a,b)$关于y轴对称的点的坐标为$(-a,b)$。
又
∵ 该对称点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$x=-a$，$y=b$代入$y=\frac{k}{x}$，可得$b=\frac{k}{-a}$，整理得$k=-ab$。
把$ab=2$代入，得$k=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查反比例函数的基本性质和轴对称的坐标变化规律，解题的关键是熟练掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一核心性质，计算量小，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心知识点：一是若点在函数图象上，则点的坐标满足该函数的解析式；二是关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变。首先将点P的坐标代入第一个反比例函数解析式，得到a与b的乘积关系；再写出点P关于y轴对称的点的坐标，将其代入第二个反比例函数解析式，结合之前得到的a、b关系即可求出k的值。
【解析】
∵ 点$P(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴ 将$x=a$，$y=b$代入$y=\frac{2}{x}$，可得$b=\frac{2}{a}$，即$ab=2$。
∵ 关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴ 点$P(a,b)$关于y轴对称的点的坐标为$(-a,b)$。
又
∵ 该对称点在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴ 将$x=-a$，$y=b$代入$y=\frac{k}{x}$，可得$b=\frac{k}{-a}$，整理得$k=-ab$。
把$ab=2$代入，得$k=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查反比例函数的基本性质和轴对称的坐标变化规律，解题的关键是熟练掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一核心性质，计算量小，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
12. 如图,已知A是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的
图象上一点,$AB⊥y$轴于点B,且$△ ABO$的面积为3,则k的值为
图象上一点,$AB⊥y$轴于点B,且$△ ABO$的面积为3,则k的值为
6
.答案
12. 6
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴或y轴的垂线，该点、垂足、坐标原点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。首先结合已知的$△ ABO$的面积列出关于$|k|$的等式，再根据反比例函数图象所在的象限判断k的符号，最终求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴代入得$xy=k$。
∵$AB⊥y$轴，
∴$AB$的长度为点A横坐标的绝对值$|x|$，$OB$的长度为点A纵坐标的绝对值$|y|$，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} · AB · OB = \frac{1}{2}|x| · |y| = \frac{1}{2}|xy| = \frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ ABO}=3$，
∴$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$。
又
∵反比例函数图象在第一象限，
∴$k＞0$，因此$k=6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数k的几何意义、反比例函数的图象性质、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是掌握反比例函数中k的几何意义，解题时要注意结合图象所在象限判断k的正负，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴或y轴的垂线，该点、垂足、坐标原点构成的直角三角形的面积等于$\frac{1}{2}|k|$。首先结合已知的$△ ABO$的面积列出关于$|k|$的等式，再根据反比例函数图象所在的象限判断k的符号，最终求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
∴代入得$xy=k$。
∵$AB⊥y$轴，
∴$AB$的长度为点A横坐标的绝对值$|x|$，$OB$的长度为点A纵坐标的绝对值$|y|$，
∴$S_{△ ABO}=\frac{1}{2} · AB · OB = \frac{1}{2}|x| · |y| = \frac{1}{2}|xy| = \frac{1}{2}|k|$。
已知$S_{△ ABO}=3$，
∴$\frac{1}{2}|k|=3$，解得$|k|=6$。
又
∵反比例函数图象在第一象限，
∴$k＞0$，因此$k=6$。
【答案】
6
【知识点】
反比例函数k的几何意义、反比例函数的图象性质、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是掌握反比例函数中k的几何意义，解题时要注意结合图象所在象限判断k的正负，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
13. 如果一个正比例函数的图象与反比例函数 $ y = \frac{6}{x} $ 的图象交于 $ A(x_1,y_1) $，$ B(x_2,y_2) $ 两点，那么 $ (x_2 - x_1)(y_2 - y_1) $ 的值为
24
。答案
13. 24
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆正比例函数与反比例函数的交点性质：若二者图象有两个交点，则两个交点关于原点中心对称，因此可得到$x_2$与$x_1$、$y_2$与$y_1$的关系；第二步，利用反比例函数的性质，点在反比例函数图象上则横纵坐标乘积等于比例系数$k$，可得$x_1y_1$的值；第三步，将上述关系代入待求代数式化简计算即可得到结果。
【解析】
∵ 正比例函数的图象过原点，反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于原点中心对称
∴ 两函数的交点$A$、$B$关于原点对称，即$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$
又
∵ 点$A(x_1,y_1)$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上
∴ $x_1y_1=6$
将$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$代入$(x_2-x_1)(y_2-y_1)$得：
$\begin{aligned}(x_2-x_1)(y_2-y_1)&=(-x_1 - x_1)(-y_1 - y_1)\\&=(-2x_1)· (-2y_1)\\&=4x_1y_1\end{aligned}$
把$x_1y_1=6$代入得：$4×6=24$
【答案】
24
【知识点】
1. 反比例函数的对称性
2. 反比例函数k的意义
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是函数部分的基础常考题，核心考查正反比例函数交点的对称特性，结合反比例函数横纵坐标乘积为定值的性质即可快速求解，解题的关键是熟记两类函数交点关于原点对称的结论。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，回忆正比例函数与反比例函数的交点性质：若二者图象有两个交点，则两个交点关于原点中心对称，因此可得到$x_2$与$x_1$、$y_2$与$y_1$的关系；第二步，利用反比例函数的性质，点在反比例函数图象上则横纵坐标乘积等于比例系数$k$，可得$x_1y_1$的值；第三步，将上述关系代入待求代数式化简计算即可得到结果。
【解析】
∵ 正比例函数的图象过原点，反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象关于原点中心对称
∴ 两函数的交点$A$、$B$关于原点对称，即$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$
又
∵ 点$A(x_1,y_1)$在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上
∴ $x_1y_1=6$
将$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$代入$(x_2-x_1)(y_2-y_1)$得：
$\begin{aligned}(x_2-x_1)(y_2-y_1)&=(-x_1 - x_1)(-y_1 - y_1)\\&=(-2x_1)· (-2y_1)\\&=4x_1y_1\end{aligned}$
把$x_1y_1=6$代入得：$4×6=24$
【答案】
24
【知识点】
1. 反比例函数的对称性
2. 反比例函数k的意义
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是函数部分的基础常考题，核心考查正反比例函数交点的对称特性，结合反比例函数横纵坐标乘积为定值的性质即可快速求解，解题的关键是熟记两类函数交点关于原点对称的结论。
【难度系数】
0.7
14. 如图, 直线 $y = kx(k ＜ 0)$ 与双曲线 $y = -\dfrac{4}{x}$ 交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点, 则 $2x_1y_2 - 3x_2y_1$ 的值为
-4
.答案
14. -4
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数与反比例函数的图象性质：二者的交点关于原点中心对称，因此可得A、B两点横、纵坐标的对应关系；再结合反比例函数上任意一点的横纵坐标乘积等于比例系数，将要求的代数式用上述关系代换化简，即可求出结果，不需要计算出A、B的具体坐标，用整体代换思想可简化计算。
【解析】
∵ 直线$y=kx(k＜0)$和双曲线$y=-\dfrac{4}{x}$的图象都关于原点中心对称，
∴ 两图象的交点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$关于原点对称，即$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$，
∵ 点$A(x_1,y_1)$在双曲线$y=-\dfrac{4}{x}$上，
∴ $x_1y_1=-4$，
将$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$代入$2x_1y_2 - 3x_2y_1$得：
$\begin{aligned}2x_1y_2 - 3x_2y_1 &=2x_1·(-y_1) - 3·(-x_1)· y_1\\&=-2x_1y_1 + 3x_1y_1\\&=x_1y_1\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
反比例函数的性质，中心对称的性质，代数式化简求值
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数的交点性质，解题的关键是掌握两类函数交点关于原点对称的特点，结合反比例函数$xy=k$的性质用整体代换法求解，避免了求解方程的复杂计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆正比例函数与反比例函数的图象性质：二者的交点关于原点中心对称，因此可得A、B两点横、纵坐标的对应关系；再结合反比例函数上任意一点的横纵坐标乘积等于比例系数，将要求的代数式用上述关系代换化简，即可求出结果，不需要计算出A、B的具体坐标，用整体代换思想可简化计算。
【解析】
∵ 直线$y=kx(k＜0)$和双曲线$y=-\dfrac{4}{x}$的图象都关于原点中心对称，
∴ 两图象的交点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$关于原点对称，即$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$，
∵ 点$A(x_1,y_1)$在双曲线$y=-\dfrac{4}{x}$上，
∴ $x_1y_1=-4$，
将$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$代入$2x_1y_2 - 3x_2y_1$得：
$\begin{aligned}2x_1y_2 - 3x_2y_1 &=2x_1·(-y_1) - 3·(-x_1)· y_1\\&=-2x_1y_1 + 3x_1y_1\\&=x_1y_1\\&=-4\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
反比例函数的性质，中心对称的性质，代数式化简求值
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数的交点性质，解题的关键是掌握两类函数交点关于原点对称的特点，结合反比例函数$xy=k$的性质用整体代换法求解，避免了求解方程的复杂计算。
【难度系数】
0.6
15.已知正比例函数$y=kx$与反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象都过$A(m,1)$，则$m=$
3
，正比例函数的解析式是$y = \dfrac{1}{3}x$
。答案
15. 3 $y = \dfrac{1}{3}x$
解析
【分析】
解题的核心依据是：函数图象上的点的坐标满足该函数的解析式。首先我们已知反比例函数的完整解析式，且点A在反比例函数图象上，因此先将A点坐标代入反比例函数，求出未知的m值，得到A点的完整坐标；再将A点坐标代入正比例函数，求出未知系数k，即可得到正比例函数的解析式。
【解析】
∵点$A(m,1)$在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上
∴将$x=m$，$y=1$代入$y=\dfrac{3}{x}$，可得：
$1=\dfrac{3}{m}$
解得$m=3$，即点A的坐标为$(3,1)$
又
∵点$A(3,1)$在正比例函数$y=kx$的图象上
∴将$x=3$，$y=1$代入$y=kx$，可得：
$1=3k$
解得$k=\dfrac{1}{3}$
因此正比例函数的解析式为$y=\dfrac{1}{3}x$
【答案】
$3$；$y=\dfrac{1}{3}x$
【知识点】
1.函数图象上点的坐标特征
2.待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是基础题型，解题关键是掌握函数图象与点坐标的对应关系，先借助已知的反比例函数求出交点坐标，再代入正比例函数求解即可，计算量小，思路清晰易掌握。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是：函数图象上的点的坐标满足该函数的解析式。首先我们已知反比例函数的完整解析式，且点A在反比例函数图象上，因此先将A点坐标代入反比例函数，求出未知的m值，得到A点的完整坐标；再将A点坐标代入正比例函数，求出未知系数k，即可得到正比例函数的解析式。
【解析】
∵点$A(m,1)$在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$的图象上
∴将$x=m$，$y=1$代入$y=\dfrac{3}{x}$，可得：
$1=\dfrac{3}{m}$
解得$m=3$，即点A的坐标为$(3,1)$
又
∵点$A(3,1)$在正比例函数$y=kx$的图象上
∴将$x=3$，$y=1$代入$y=kx$，可得：
$1=3k$
解得$k=\dfrac{1}{3}$
因此正比例函数的解析式为$y=\dfrac{1}{3}x$
【答案】
$3$；$y=\dfrac{1}{3}x$
【知识点】
1.函数图象上点的坐标特征
2.待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是基础题型，解题关键是掌握函数图象与点坐标的对应关系，先借助已知的反比例函数求出交点坐标，再代入正比例函数求解即可，计算量小，思路清晰易掌握。
【难度系数】
0.9
16. 反比例函数$y=\frac{-2}{x}$，当$x=-2$时，$y=$
1
；当$x＜-2$时，$y$的取值范围是$0 ＜ y ＜ 1$
答案
16. 1 $0 ＜ y ＜ 1$
解析
【分析】
第一空是已知自变量求函数值，直接将x=-2代入反比例函数解析式计算即可。第二空需要结合反比例函数的图象与性质求解：先判断函数的增减性，再确定x＜-2时对应的函数图象所在象限，先得到y的符号，再结合x=-2时的y值，利用增减性推导y的取值范围，注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立。
【解析】
1. 计算x=-2时的y值：
把x=-2代入$y=\frac{-2}{x}$，可得：
$y=\frac{-2}{-2}=1$
2. 推导x＜-2时y的取值范围：
反比例函数$y=\frac{-2}{x}$中k=-2＜0，因此函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大。
当x＜-2时，对应图象在第二象限，此时y＞0；又因为x=-2时y=1，x小于-2时，根据增减性可得y＜1，因此y的取值范围是$0＜y＜1$。
【答案】
1；$0 ＜ y ＜ 1$
【知识点】
反比例函数求值；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于反比例函数的基础考查题，解题时要先明确自变量范围对应的函数所在象限，避免忽略y的符号出错，熟练掌握反比例函数的图象性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
第一空是已知自变量求函数值，直接将x=-2代入反比例函数解析式计算即可。第二空需要结合反比例函数的图象与性质求解：先判断函数的增减性，再确定x＜-2时对应的函数图象所在象限，先得到y的符号，再结合x=-2时的y值，利用增减性推导y的取值范围，注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立。
【解析】
1. 计算x=-2时的y值：
把x=-2代入$y=\frac{-2}{x}$，可得：
$y=\frac{-2}{-2}=1$
2. 推导x＜-2时y的取值范围：
反比例函数$y=\frac{-2}{x}$中k=-2＜0，因此函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大。
当x＜-2时，对应图象在第二象限，此时y＞0；又因为x=-2时y=1，x小于-2时，根据增减性可得y＜1，因此y的取值范围是$0＜y＜1$。
【答案】
1；$0 ＜ y ＜ 1$
【知识点】
反比例函数求值；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于反比例函数的基础考查题，解题时要先明确自变量范围对应的函数所在象限，避免忽略y的符号出错，熟练掌握反比例函数的图象性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
17. 如图,点A,B是双曲线$y=\frac{3}{x}$上的点,分别经过A,B两点向x轴,y轴作垂线段.若$S_{阴影}=1$,则$S_1 + S_2 =$
4
.答案
17. 4
解析
【分析】
解答本题首先要用到反比例函数中k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点向x轴、y轴作垂线段，两条垂线段与坐标轴围成的矩形面积等于$|k|$。本题中k=3，因此点A、B分别与坐标轴围成的两个矩形面积均为3。观察图形可知，$S_1$加阴影面积等于第一个矩形面积，$S_2$加阴影面积等于第二个矩形面积，据此分别求出$S_1$、$S_2$，再相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵点A、B在双曲线$y=\frac{3}{x}$上，
根据反比例函数k的几何意义，过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，围成的两个矩形的面积均为$|k|=3$，
因此可得：$S_1 + S_{阴影}=3$，$S_2 + S_{阴影}=3$，
已知$S_{阴影}=1$，
∴$S_1=3 - 1=2$，$S_2=3 - 1=2$，
∴$S_1 + S_2=2 + 2=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数k的几何意义、面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题型，解题的核心是掌握反比例函数中k的几何意义，结合图形理清各部分面积的关系即可快速求解，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要用到反比例函数中k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上任意一点向x轴、y轴作垂线段，两条垂线段与坐标轴围成的矩形面积等于$|k|$。本题中k=3，因此点A、B分别与坐标轴围成的两个矩形面积均为3。观察图形可知，$S_1$加阴影面积等于第一个矩形面积，$S_2$加阴影面积等于第二个矩形面积，据此分别求出$S_1$、$S_2$，再相加即可得到结果。
【解析】
解：
∵点A、B在双曲线$y=\frac{3}{x}$上，
根据反比例函数k的几何意义，过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，围成的两个矩形的面积均为$|k|=3$，
因此可得：$S_1 + S_{阴影}=3$，$S_2 + S_{阴影}=3$，
已知$S_{阴影}=1$，
∴$S_1=3 - 1=2$，$S_2=3 - 1=2$，
∴$S_1 + S_2=2 + 2=4$。
【答案】
4
【知识点】
反比例函数k的几何意义、面积和差计算
【点评】
本题是反比例函数几何意义的典型应用题型，解题的核心是掌握反比例函数中k的几何意义，结合图形理清各部分面积的关系即可快速求解，整体思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
18.如图,在平面直角坐标系中,$\odot A$与$x$轴相切于点$B$,$CB$为$\odot A$的直径,点$C$在函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,$D$为$y$轴上一点,$△ ACD$的面积为$6$,则$k$的值为
24
.答案
18. 24
解析
【分析】
首先根据圆与x轴相切的性质，可知AB垂直于x轴，结合CB是直径可得CB为竖直线段，C、A、B三点横坐标相同。我们可以先设⊙A的半径为r，点B的横坐标为m，进而表示出点C的坐标；再分析△ACD的面积：以AC为底时，底长等于半径r，高是D到直线AC的水平距离即m，结合面积为6可求出m与r的乘积；最后将点C坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
设$\odot A$的半径为$r$，点$B$的横坐标为$m$。
$\because \odot A$与$x$轴相切于点$B$，$\therefore AB⊥ x$轴，$AB=AC=r$，
$\therefore$点$A$坐标为$(m,r)$，
$\because CB$为$\odot A$的直径，$\therefore$点$C$的坐标为$(m,2r)$。
$△ ACD$中，边$AC$的长度为$r$，$AC$在直线$x=m$上，点$D$在$y$轴（$x=0$）上，因此点$D$到直线$AC$的水平距离为$m$，
则$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC × m = \frac{1}{2}rm=6$，
解得$rm=12$。
$\because$点$C(m,2r)$在函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
$\therefore k=m× 2r=2rm=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
圆的切线性质，三角形面积计算，反比例函数的性质
【点评】
本题是几何与函数的综合题，解题的核心是将几何图形的性质转化为坐标关系，通过设参数表示点坐标，结合面积条件求出参数乘积，进而求解反比例函数的系数，对图形与坐标的转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先根据圆与x轴相切的性质，可知AB垂直于x轴，结合CB是直径可得CB为竖直线段，C、A、B三点横坐标相同。我们可以先设⊙A的半径为r，点B的横坐标为m，进而表示出点C的坐标；再分析△ACD的面积：以AC为底时，底长等于半径r，高是D到直线AC的水平距离即m，结合面积为6可求出m与r的乘积；最后将点C坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
【解析】
设$\odot A$的半径为$r$，点$B$的横坐标为$m$。
$\because \odot A$与$x$轴相切于点$B$，$\therefore AB⊥ x$轴，$AB=AC=r$，
$\therefore$点$A$坐标为$(m,r)$，
$\because CB$为$\odot A$的直径，$\therefore$点$C$的坐标为$(m,2r)$。
$△ ACD$中，边$AC$的长度为$r$，$AC$在直线$x=m$上，点$D$在$y$轴（$x=0$）上，因此点$D$到直线$AC$的水平距离为$m$，
则$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC × m = \frac{1}{2}rm=6$，
解得$rm=12$。
$\because$点$C(m,2r)$在函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
$\therefore k=m× 2r=2rm=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
圆的切线性质，三角形面积计算，反比例函数的性质
【点评】
本题是几何与函数的综合题，解题的核心是将几何图形的性质转化为坐标关系，通过设参数表示点坐标，结合面积条件求出参数乘积，进而求解反比例函数的系数，对图形与坐标的转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
