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三、解答题(共28分)
19.(12分)在研究气体压强和体积关系的物理实验中,一个气球内充满了一定质量的气体,实验中气体温度保持不变,实验人员记录了实验过程中气球内的气体压强p(单位:kPa)与气体体积V(单位:m³)的数据如下表:
(1)根据表中的数据判断p是V的
(2)确定p关于V的函数解析式,并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象;
(3)当气球内的气体压强大于140 kPa时,气球将爆炸,为了安全起见,气体的体积V的取值范围是
19.(12分)在研究气体压强和体积关系的物理实验中,一个气球内充满了一定质量的气体,实验中气体温度保持不变,实验人员记录了实验过程中气球内的气体压强p(单位:kPa)与气体体积V(单位:m³)的数据如下表:
(1)根据表中的数据判断p是V的
②
;(①一次函数;②反比例函数;③二次函数.填序号即可)(2)确定p关于V的函数解析式,并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象;
(3)当气球内的气体压强大于140 kPa时,气球将爆炸,为了安全起见,气体的体积V的取值范围是
$V ≥ \dfrac{24}{35}$
.答案
19. (1) ②;(2) $p = \dfrac{96}{V}$,图略;(3) $V ≥ \dfrac{24}{35}$
解析
【分析】
第(1)问：判断函数类型可根据不同函数的特征分析，一次函数满足p与V的线性关系，反比例函数满足p与V的乘积为定值，二次函数最高次为二次。计算表中p和V的乘积可发现乘积为定值，因此是反比例函数。
第(2)问：求反比例函数解析式用待定系数法，设反比例函数通式，代入一组p、V的对应值即可求出常数k，得到解析式；画图象时注意V、p均为正数，仅画第一象限的双曲线分支即可。
第(3)问：根据安全要求p≤140kPa，将函数解析式代入不等式，结合V＞0的实际意义解不等式，即可得到V的取值范围。
【解析】
(1) 计算表中各组p与V的乘积，可得pV=96为定值，符合反比例函数特征，因此p是V的反比例函数，选②。
(2) 设p关于V的函数解析式为$p=\dfrac{k}{V}$（$k≠0, V＞0$），任取表中一组对应值代入，例如当V=1时p=96，代入得$96=\dfrac{k}{1}$，解得k=96，因此p关于V的函数解析式为$p=\dfrac{96}{V}$（$V＞0$）；在第一象限内取若干对应点，用平滑曲线连接即可得到函数大致图象（图略）。
(3) 由题意知安全时气体压强$p≤140\mathrm{kPa}$，代入解析式得$\dfrac{96}{V}≤140$，因为V为气体体积，故$V＞0$，不等式两边同时乘V得$96≤140V$，解得$V≥\dfrac{96}{140}=\dfrac{24}{35}$。
【答案】
(1) ②；(2) $p = \dfrac{96}{V}$，图略；(3) $V ≥ \dfrac{24}{35}$
【知识点】
反比例函数的判定；待定系数法求解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合物理实验背景考查反比例函数的相关知识，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，解不等式时要注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.7
第(1)问：判断函数类型可根据不同函数的特征分析，一次函数满足p与V的线性关系，反比例函数满足p与V的乘积为定值，二次函数最高次为二次。计算表中p和V的乘积可发现乘积为定值，因此是反比例函数。
第(2)问：求反比例函数解析式用待定系数法，设反比例函数通式，代入一组p、V的对应值即可求出常数k，得到解析式；画图象时注意V、p均为正数，仅画第一象限的双曲线分支即可。
第(3)问：根据安全要求p≤140kPa，将函数解析式代入不等式，结合V＞0的实际意义解不等式，即可得到V的取值范围。
【解析】
(1) 计算表中各组p与V的乘积，可得pV=96为定值，符合反比例函数特征，因此p是V的反比例函数，选②。
(2) 设p关于V的函数解析式为$p=\dfrac{k}{V}$（$k≠0, V＞0$），任取表中一组对应值代入，例如当V=1时p=96，代入得$96=\dfrac{k}{1}$，解得k=96，因此p关于V的函数解析式为$p=\dfrac{96}{V}$（$V＞0$）；在第一象限内取若干对应点，用平滑曲线连接即可得到函数大致图象（图略）。
(3) 由题意知安全时气体压强$p≤140\mathrm{kPa}$，代入解析式得$\dfrac{96}{V}≤140$，因为V为气体体积，故$V＞0$，不等式两边同时乘V得$96≤140V$，解得$V≥\dfrac{96}{140}=\dfrac{24}{35}$。
【答案】
(1) ②；(2) $p = \dfrac{96}{V}$，图略；(3) $V ≥ \dfrac{24}{35}$
【知识点】
反比例函数的判定；待定系数法求解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合物理实验背景考查反比例函数的相关知识，解题时需注意结合实际意义确定自变量的取值范围，解不等式时要注意不等号方向的变化。
【难度系数】
0.7
20.（16分）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，直线$l:y = kx + 2$与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A,B$，与反比例函数$y = \dfrac{m}{x}(x ＞ 0)$的图象相交于点$C$.已知$OA = 1$，点$C$的横坐标为2.
（1）求$k,m$的值；
（2）平行于$y$轴的动直线与$l$和反比例函数的图象分别交于点$D,E$.若以$B,D,E,O$为顶点的四边形为平行四边形，求点$D$的坐标.
（1）求$k,m$的值；
（2）平行于$y$轴的动直线与$l$和反比例函数的图象分别交于点$D,E$.若以$B,D,E,O$为顶点的四边形为平行四边形，求点$D$的坐标.
答案
(1) $k = 2, m = 12$;(2) $(\sqrt{6},2\sqrt{6} + 2)$ 或 $(\sqrt{7} - 1,2\sqrt{7})$
解析
【分析】
（1）首先根据OA=1确定点A的坐标，将A点坐标代入直线解析式求出k值；再结合点C的横坐标为2，代入直线解析式求出点C坐标，最后将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出m值。
（2）先求出点B坐标，可知OB平行于y轴且长度为2；设动直线横坐标为t，写出D、E两点坐标，由于DE也平行于y轴，根据平行四边形一组对边平行且相等的判定，可得DE=OB=2，列绝对值方程分类求解，舍去不符合题意的负根，即可得到D点坐标。
【解析】
（1）
∵ 直线$l$与x轴交于点A，$OA=1$，且A在x轴负半轴，
∴ $A(-1,0)$
将$A(-1,0)$代入$y=kx+2$，得：$0=-k+2$，解得$k=2$
∴ 直线$l$的解析式为$y=2x+2$
∵ 点C在直线$l$上，横坐标为2，代入得$y=2×2+2=6$，即$C(2,6)$
将$C(2,6)$代入反比例函数$y=\dfrac{m}{x}(x＞0)$，得$6=\dfrac{m}{2}$，解得$m=12$
（2）直线$l$与y轴交于B，令$x=0$，得$y=2$，
∴ $B(0,2)$，则$OB=2$，且$OB// y$轴
设动直线横坐标为$t(t＞0)$，则$D(t,2t+2)$，$E(t,\dfrac{12}{t})$
∵ $DE// y$轴，
∴ $DE// OB$
要使以$B,D,E,O$为顶点的四边形为平行四边形，需$DE=OB=2$，即$\left|(2t+2)-\dfrac{12}{t}\right|=2$，分两种情况讨论：
① 当$2t+2-\dfrac{12}{t}=2$时，化简得$2t=\dfrac{12}{t}$，即$t^2=6$
∵ $t＞0$，
∴ $t=\sqrt{6}$，此时D点坐标为$(\sqrt{6},2\sqrt{6}+2)$
② 当$2t+2-\dfrac{12}{t}=-2$时，化简得$2t^2+4t-12=0$，即$t^2+2t-6=0$
解一元二次方程得$t=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+24}}{2}=-1\pm\sqrt{7}$
∵ $t＞0$，
∴ $t=\sqrt{7}-1$，代入得D点纵坐标为$2(\sqrt{7}-1)+2=2\sqrt{7}$，即$D(\sqrt{7}-1,2\sqrt{7})$
【答案】
(1) $k=2$，$m=12$；(2) $(\sqrt{6},2\sqrt{6} + 2)$ 或 $(\sqrt{7} - 1,2\sqrt{7})$
【知识点】
一次函数解析式求解，反比例函数性质，平行四边形判定
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，难度适中，解题的核心是利用平行四边形对边平行且相等的性质建立方程，注意求解时要结合x＞0的范围舍去不符合条件的根，避免出现增解。
【难度系数】
0.65
（1）首先根据OA=1确定点A的坐标，将A点坐标代入直线解析式求出k值；再结合点C的横坐标为2，代入直线解析式求出点C坐标，最后将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出m值。
（2）先求出点B坐标，可知OB平行于y轴且长度为2；设动直线横坐标为t，写出D、E两点坐标，由于DE也平行于y轴，根据平行四边形一组对边平行且相等的判定，可得DE=OB=2，列绝对值方程分类求解，舍去不符合题意的负根，即可得到D点坐标。
【解析】
（1）
∵ 直线$l$与x轴交于点A，$OA=1$，且A在x轴负半轴，
∴ $A(-1,0)$
将$A(-1,0)$代入$y=kx+2$，得：$0=-k+2$，解得$k=2$
∴ 直线$l$的解析式为$y=2x+2$
∵ 点C在直线$l$上，横坐标为2，代入得$y=2×2+2=6$，即$C(2,6)$
将$C(2,6)$代入反比例函数$y=\dfrac{m}{x}(x＞0)$，得$6=\dfrac{m}{2}$，解得$m=12$
（2）直线$l$与y轴交于B，令$x=0$，得$y=2$，
∴ $B(0,2)$，则$OB=2$，且$OB// y$轴
设动直线横坐标为$t(t＞0)$，则$D(t,2t+2)$，$E(t,\dfrac{12}{t})$
∵ $DE// y$轴，
∴ $DE// OB$
要使以$B,D,E,O$为顶点的四边形为平行四边形，需$DE=OB=2$，即$\left|(2t+2)-\dfrac{12}{t}\right|=2$，分两种情况讨论：
① 当$2t+2-\dfrac{12}{t}=2$时，化简得$2t=\dfrac{12}{t}$，即$t^2=6$
∵ $t＞0$，
∴ $t=\sqrt{6}$，此时D点坐标为$(\sqrt{6},2\sqrt{6}+2)$
② 当$2t+2-\dfrac{12}{t}=-2$时，化简得$2t^2+4t-12=0$，即$t^2+2t-6=0$
解一元二次方程得$t=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+24}}{2}=-1\pm\sqrt{7}$
∵ $t＞0$，
∴ $t=\sqrt{7}-1$，代入得D点纵坐标为$2(\sqrt{7}-1)+2=2\sqrt{7}$，即$D(\sqrt{7}-1,2\sqrt{7})$
【答案】
(1) $k=2$，$m=12$；(2) $(\sqrt{6},2\sqrt{6} + 2)$ 或 $(\sqrt{7} - 1,2\sqrt{7})$
【知识点】
一次函数解析式求解，反比例函数性质，平行四边形判定
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，难度适中，解题的核心是利用平行四边形对边平行且相等的性质建立方程，注意求解时要结合x＞0的范围舍去不符合条件的根，避免出现增解。
【难度系数】
0.65
