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1. 切线的性质:圆的切线
垂直
于过切点的半径.答案
1. 垂直
解析
【分析】
本题考查圆的切线性质的基础概念，解题时只需回忆教材中切线性质的核心定理内容，明确切线与过切点半径的位置关系即可得出答案，是典型的概念识记类题目。
【解析】
根据圆的切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，因此横线处应填“垂直”。
【答案】
垂直
【知识点】
切线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材核心几何定理的记忆掌握，只要牢记相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.95
本题考查圆的切线性质的基础概念，解题时只需回忆教材中切线性质的核心定理内容，明确切线与过切点半径的位置关系即可得出答案，是典型的概念识记类题目。
【解析】
根据圆的切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，因此横线处应填“垂直”。
【答案】
垂直
【知识点】
切线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对教材核心几何定理的记忆掌握，只要牢记相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.95
2. 切线的判定定理:经过半径的
外端
并且垂直
于这条半径的直线是圆的切线。答案
2. 外端 垂直
解析
【分析】
本题考查切线判定定理的内容识记，解题时只需回忆切线判定定理的两个核心成立条件即可：一是直线要经过半径的外端点，二是直线与这条半径互相垂直，两个条件需同时满足，对应空缺位置填写符合条件的内容即可。
【解析】
根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此第一个空缺处填“外端”，第二个空缺处填“垂直”。
【答案】
外端 垂直
【知识点】
切线的判定定理
【点评】
本题属于基础识记类题型，直接考查教材核心定理的原文表述，侧重对基础知识掌握情况的考查，日常学习中要重视基础概念、定理的准确记忆与理解。
【难度系数】
0.9
本题考查切线判定定理的内容识记，解题时只需回忆切线判定定理的两个核心成立条件即可：一是直线要经过半径的外端点，二是直线与这条半径互相垂直，两个条件需同时满足，对应空缺位置填写符合条件的内容即可。
【解析】
根据切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此第一个空缺处填“外端”，第二个空缺处填“垂直”。
【答案】
外端 垂直
【知识点】
切线的判定定理
【点评】
本题属于基础识记类题型，直接考查教材核心定理的原文表述，侧重对基础知识掌握情况的考查，日常学习中要重视基础概念、定理的准确记忆与理解。
【难度系数】
0.9
例【问题情境】学完圆的切线的性质与判定定理后，数学探究课上老师出示一道经典的圆的几何证明题：如图
，AB为$\odot O$的直径，DF与$\odot O$相切于点C，$AD⊥ CD$于点D。求证：AC平分$∠ DAB$。
【探究】(1)奋进小组尝试证明，下面是他们的部分证明过程：
连接OC，如图
。
∵DF与$\odot O$相切于点C，
∴$OC⊥ CD$。∴$∠ OCF=90°$。
∵$AD⊥ CD$，∴$∠ D=90°$。
∴$∠ OCF=∠ D$。
……
请你接着补全剩余证明过程。
【知识迁移】(2)随后创新小组针对该题逆向探究，提出全新猜想：
如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，$AD⊥ CD$于点D，且AC平分$∠ DAB$，判断直线CD是否为$\odot O$的切线？若是，请说明理由。
解 (1)∴$OC// AD$。
∴$∠ CAD=∠ ACO$。
∵$OA=OC$，
∴$∠ ACO=∠ CAO$。
∴$∠ CAD=∠ CAO$。
∴AC平分$∠ DAB$。
(2)直线CD是$\odot O$的切线。理由如下：
连接OC，如图
。
∵$OA=OC$，
∴$∠ ACO=∠ CAO$。
∵AC平分$∠ DAB$，
∴$∠ CAD=∠ CAO$。
∴$∠ CAD=∠ ACO$。
∴$OC// AD$。
∴$∠ OCF=∠ D$。
∵$AD⊥ CD$，
∴$∠ D=90°$。
∴$∠ OCF=90°$。
∴$OC⊥ CD$。
又∵OC是$\odot O$的半径，
∴DF为$\odot O$的切线。
【方法感悟】利用圆的切线性质，可直接得到切线与过切点的半径垂直，借此推导角的关系或构造直角三角形运用勾股定理求线段长。而利用圆的切线判定定理证明直线与圆相切时，关键是判断出直线与圆有无公共点，有公共点就连圆心证垂直，无公共点就作垂线证垂线段长度等于半径。
，AB为$\odot O$的直径，DF与$\odot O$相切于点C，$AD⊥ CD$于点D。求证：AC平分$∠ DAB$。【探究】(1)奋进小组尝试证明，下面是他们的部分证明过程：
连接OC，如图
。∵DF与$\odot O$相切于点C，
∴$OC⊥ CD$。∴$∠ OCF=90°$。
∵$AD⊥ CD$，∴$∠ D=90°$。
∴$∠ OCF=∠ D$。
……
请你接着补全剩余证明过程。
【知识迁移】(2)随后创新小组针对该题逆向探究，提出全新猜想：
如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，$AD⊥ CD$于点D，且AC平分$∠ DAB$，判断直线CD是否为$\odot O$的切线？若是，请说明理由。
解 (1)∴$OC// AD$。
∴$∠ CAD=∠ ACO$。
∵$OA=OC$，
∴$∠ ACO=∠ CAO$。
∴$∠ CAD=∠ CAO$。
∴AC平分$∠ DAB$。
(2)直线CD是$\odot O$的切线。理由如下：
连接OC，如图
。∵$OA=OC$，
∴$∠ ACO=∠ CAO$。
∵AC平分$∠ DAB$，
∴$∠ CAD=∠ CAO$。
∴$∠ CAD=∠ ACO$。
∴$OC// AD$。
∴$∠ OCF=∠ D$。
∵$AD⊥ CD$，
∴$∠ D=90°$。
∴$∠ OCF=90°$。
∴$OC⊥ CD$。
又∵OC是$\odot O$的半径，
∴DF为$\odot O$的切线。
【方法感悟】利用圆的切线性质，可直接得到切线与过切点的半径垂直，借此推导角的关系或构造直角三角形运用勾股定理求线段长。而利用圆的切线判定定理证明直线与圆相切时，关键是判断出直线与圆有无公共点，有公共点就连圆心证垂直，无公共点就作垂线证垂线段长度等于半径。
答案
(1)
∴$OC// AD$。
∴$∠ CAD=∠ ACO$。
∵$OA=OC$，
∴$∠ ACO=∠ CAO$。
∴$∠ CAD=∠ CAO$。
∴AC平分$∠ DAB$。
(2)直线CD是$\odot O$的切线。理由如下：
连接OC，如图
。∵$OA=OC$，
∴$∠ ACO=∠ CAO$。
∵AC平分$∠ DAB$，
∴$∠ CAD=∠ CAO$。
∴$∠ CAD=∠ ACO$。
∴$OC// AD$。
∴$∠ OCF=∠ D$。
∵$AD⊥ CD$，
∴$∠ D=90°$。
∴$∠ OCF=90°$。
∴$OC⊥ CD$。
又
∵OC是$\odot O$的半径，
∴DF为$\odot O$的切线。
【方法感悟】利用圆的切线性质，可直接得到切线与过切点的半径垂直，借此推导角的关系或构造直角三角形运用勾股定理求线段长。而利用圆的切线判定定理证明直线与圆相切时，关键是判断出直线与圆有无公共点，有公共点就连圆心证垂直，无公共点就作垂线证垂线段长度等于半径。
解析
【分析】
(1) 要证明AC平分∠DAB，核心是证明∠CAD=∠CAO。根据已有推导得到∠OCF=∠D=90°，可先由同位角相等推出OC//AD，再利用平行线的内错角相等得到∠CAD=∠ACO；结合同圆半径相等可得OA=OC，由等腰三角形两底角相等推出∠ACO=∠CAO，等量代换即可得证。
(2) 判断CD是否为⊙O的切线，已知点C在圆上，只需证明OC⊥CD即可。首先连接OC，由OA=OC得∠ACO=∠CAO，结合AC平分∠DAB可推出∠CAD=∠ACO，进而得到OC//AD；再由AD⊥CD得∠D=90°，等量代换可得∠OCF=90°，即OC⊥CD，满足切线的判定条件，即可得证。
【解析】
(1) 补全证明过程如下：
∴$OC// AD$，
∴$∠CAD=∠ACO$，
∵$OA=OC$，
∴$∠ACO=∠CAO$，
∴$∠CAD=∠CAO$，
∴AC平分$∠DAB$。
(2) 直线CD是$\odot O$的切线，理由如下：
连接OC，
∵$OA=OC$，
∴$∠ACO=∠CAO$，
∵AC平分$∠DAB$，
∴$∠CAD=∠CAO$，
∴$∠CAD=∠ACO$，
∴$OC// AD$，
∴$∠OCF=∠D$，
∵$AD⊥CD$，
∴$∠D=90°$，
∴$∠OCF=90°$，
∴$OC⊥CD$，
又
∵OC是$\odot O$的半径，
∴DF为$\odot O$的切线。
【答案】
(1)
∴$OC// AD$。
∴$∠ CAD=∠ ACO$。
∵$OA=OC$，
∴$∠ ACO=∠ CAO$。
∴$∠ CAD=∠ CAO$。
∴AC平分$∠ DAB$。
(2)直线CD是$\odot O$的切线。理由如下：
连接OC，如图。
∵$OA=OC$，
∴$∠ ACO=∠ CAO$。
∵AC平分$∠ DAB$，
∴$∠ CAD=∠ CAO$。
∴$∠ CAD=∠ ACO$。
∴$OC// AD$。
∴$∠ OCF=∠ D$。
∵$AD⊥ CD$，
∴$∠ D=90°$。
∴$∠ OCF=90°$。
∴$OC⊥ CD$。
又
∵OC是$\odot O$的半径，
∴DF为$\odot O$的切线。
【方法感悟】利用圆的切线性质，可直接得到切线与过切点的半径垂直，借此推导角的关系或构造直角三角形运用勾股定理求线段长。而利用圆的切线判定定理证明直线与圆相切时，关键是判断出直线与圆有无公共点，有公共点就连圆心证垂直，无公共点就作垂线证垂线段长度等于半径。
【知识点】
1.切线的性质与判定
2.平行线的判定与性质
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与几何证明结合的典型基础题，从正反两个方向考查了切线的性质和判定，有助于学生理解二者的互逆逻辑，熟练掌握“连半径”这一圆中常用辅助线的用法，对提升逻辑推导能力有较好的训练效果。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AC平分∠DAB，核心是证明∠CAD=∠CAO。根据已有推导得到∠OCF=∠D=90°，可先由同位角相等推出OC//AD，再利用平行线的内错角相等得到∠CAD=∠ACO；结合同圆半径相等可得OA=OC，由等腰三角形两底角相等推出∠ACO=∠CAO，等量代换即可得证。
(2) 判断CD是否为⊙O的切线，已知点C在圆上，只需证明OC⊥CD即可。首先连接OC，由OA=OC得∠ACO=∠CAO，结合AC平分∠DAB可推出∠CAD=∠ACO，进而得到OC//AD；再由AD⊥CD得∠D=90°，等量代换可得∠OCF=90°，即OC⊥CD，满足切线的判定条件，即可得证。
【解析】
(1) 补全证明过程如下：
∴$OC// AD$，
∴$∠CAD=∠ACO$，
∵$OA=OC$，
∴$∠ACO=∠CAO$，
∴$∠CAD=∠CAO$，
∴AC平分$∠DAB$。
(2) 直线CD是$\odot O$的切线，理由如下：
连接OC，
∵$OA=OC$，
∴$∠ACO=∠CAO$，
∵AC平分$∠DAB$，
∴$∠CAD=∠CAO$，
∴$∠CAD=∠ACO$，
∴$OC// AD$，
∴$∠OCF=∠D$，
∵$AD⊥CD$，
∴$∠D=90°$，
∴$∠OCF=90°$，
∴$OC⊥CD$，
又
∵OC是$\odot O$的半径，
∴DF为$\odot O$的切线。
【答案】
(1)
∴$OC// AD$。
∴$∠ CAD=∠ ACO$。
∵$OA=OC$，
∴$∠ ACO=∠ CAO$。
∴$∠ CAD=∠ CAO$。
∴AC平分$∠ DAB$。
(2)直线CD是$\odot O$的切线。理由如下：
连接OC，如图
。∵$OA=OC$，
∴$∠ ACO=∠ CAO$。
∵AC平分$∠ DAB$，
∴$∠ CAD=∠ CAO$。
∴$∠ CAD=∠ ACO$。
∴$OC// AD$。
∴$∠ OCF=∠ D$。
∵$AD⊥ CD$，
∴$∠ D=90°$。
∴$∠ OCF=90°$。
∴$OC⊥ CD$。
又
∵OC是$\odot O$的半径，
∴DF为$\odot O$的切线。
【方法感悟】利用圆的切线性质，可直接得到切线与过切点的半径垂直，借此推导角的关系或构造直角三角形运用勾股定理求线段长。而利用圆的切线判定定理证明直线与圆相切时，关键是判断出直线与圆有无公共点，有公共点就连圆心证垂直，无公共点就作垂线证垂线段长度等于半径。
【知识点】
1.切线的性质与判定
2.平行线的判定与性质
3.等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与几何证明结合的典型基础题，从正反两个方向考查了切线的性质和判定，有助于学生理解二者的互逆逻辑，熟练掌握“连半径”这一圆中常用辅助线的用法，对提升逻辑推导能力有较好的训练效果。
【难度系数】
0.7
