登录
1. 如图30.1 - 3，若$\odot O$的半径为3，点O到一条直线的距离为3，则这条直线是(
A.$l_1$
B.$l_2$
C.$l_3$
D.$l_4$
A
).A.$l_1$
B.$l_2$
C.$l_3$
D.$l_4$
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直线与圆的位置关系的判定规则：已知圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d=r时，直线和圆相切，此时直线与圆只有1个公共点。本题中⊙O半径r=3，圆心O到所求直线的距离d=3，说明要找的直线是⊙O的切线，接下来观察图中四条直线和圆的交点情况，选出切线即可。
【解析】
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 当d＞r时，直线与圆相离，无公共点；
2. 当d=r时，直线与圆相切，仅有1个公共点；
3. 当d＜r时，直线与圆相交，有2个公共点。
已知⊙O的半径r=3，点O到所求直线的距离d=3，即d=r，因此这条直线是⊙O的切线。
观察图形可知：$l_2$与圆有2个公共点，属于相交，不符合要求；$l_3$、$l_4$与圆没有公共点，属于相离，不符合要求；$l_1$与圆仅有1个公共点，是⊙O的切线，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系；切线的判定
【点评】
本题是基础题，结合几何图形考查直线与圆位置关系的判定，掌握距离与半径的大小关系和对应位置的联系，结合图形特征就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆直线与圆的位置关系的判定规则：已知圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d=r时，直线和圆相切，此时直线与圆只有1个公共点。本题中⊙O半径r=3，圆心O到所求直线的距离d=3，说明要找的直线是⊙O的切线，接下来观察图中四条直线和圆的交点情况，选出切线即可。
【解析】
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 当d＞r时，直线与圆相离，无公共点；
2. 当d=r时，直线与圆相切，仅有1个公共点；
3. 当d＜r时，直线与圆相交，有2个公共点。
已知⊙O的半径r=3，点O到所求直线的距离d=3，即d=r，因此这条直线是⊙O的切线。
观察图形可知：$l_2$与圆有2个公共点，属于相交，不符合要求；$l_3$、$l_4$与圆没有公共点，属于相离，不符合要求；$l_1$与圆仅有1个公共点，是⊙O的切线，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系；切线的判定
【点评】
本题是基础题，结合几何图形考查直线与圆位置关系的判定，掌握距离与半径的大小关系和对应位置的联系，结合图形特征就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. ⊙O的圆心到直线l的距离是5 cm，直线l与⊙O有唯一公共点，则⊙O的半径是(
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
C
).A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
2. C
解析
【分析】
首先根据直线与圆的公共点个数判断位置关系：当直线和圆有唯一公共点时，说明直线与圆相切；再根据直线与圆相切的性质：圆心到直线的距离等于圆的半径，已知圆心到直线的距离为5cm，即可直接得出圆的半径长度。
【解析】
解：
∵直线l与⊙O有唯一公共点，
∴直线l与⊙O的位置关系为相切，
根据直线与圆相切的性质可知：圆心到直线的距离d等于圆的半径r，
已知圆心到直线l的距离d=5cm，
∴r=d=5cm，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系
2. 切线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟记直线与圆不同位置关系对应的公共点数量，以及相切时圆心到直线距离与半径的等量关系，容易得分。
【难度系数】
0.9
首先根据直线与圆的公共点个数判断位置关系：当直线和圆有唯一公共点时，说明直线与圆相切；再根据直线与圆相切的性质：圆心到直线的距离等于圆的半径，已知圆心到直线的距离为5cm，即可直接得出圆的半径长度。
【解析】
解：
∵直线l与⊙O有唯一公共点，
∴直线l与⊙O的位置关系为相切，
根据直线与圆相切的性质可知：圆心到直线的距离d等于圆的半径r，
已知圆心到直线l的距离d=5cm，
∴r=d=5cm，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系
2. 切线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是熟记直线与圆不同位置关系对应的公共点数量，以及相切时圆心到直线距离与半径的等量关系，容易得分。
【难度系数】
0.9
3. 如图30.1-4，P为∠AOB边OA上一点，∠AOB=45°, OP=4 cm，以P为圆心，半径为2 cm的圆与直线OB的位置关系是().
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要判断圆与直线OB的位置关系，核心是比较圆心P到直线OB的距离d与圆半径r的大小关系：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先过P作OB的垂线构造直角三角形，结合已知的角度和OP长度，利用锐角三角函数求出P到OB的距离，再和半径对比即可得到结论。
【解析】
过点P作PD⊥OB于点D，在Rt△OPD中：
∠ODP=90°，∠AOB=45°，OP=4cm，
根据正弦的定义可得：
$PD = OP·\sin45° = 4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\approx2.828\mathrm{cm}$，
已知圆的半径$r=2\mathrm{cm}$，显然$2\sqrt{2}＞2$，即$d＞r$，因此该圆与直线OB相离。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系，解直角三角形
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的判定，解题关键是掌握位置关系和圆心到直线距离、半径的对应规律，结合三角函数求距离是这类题的常用解法。
【难度系数】
0.7
要判断圆与直线OB的位置关系，核心是比较圆心P到直线OB的距离d与圆半径r的大小关系：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先过P作OB的垂线构造直角三角形，结合已知的角度和OP长度，利用锐角三角函数求出P到OB的距离，再和半径对比即可得到结论。
【解析】
过点P作PD⊥OB于点D，在Rt△OPD中：
∠ODP=90°，∠AOB=45°，OP=4cm，
根据正弦的定义可得：
$PD = OP·\sin45° = 4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\approx2.828\mathrm{cm}$，
已知圆的半径$r=2\mathrm{cm}$，显然$2\sqrt{2}＞2$，即$d＞r$，因此该圆与直线OB相离。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系，解直角三角形
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的判定，解题关键是掌握位置关系和圆心到直线距离、半径的对应规律，结合三角函数求距离是这类题的常用解法。
【难度系数】
0.7
4. 已知$\odot O$的半径是一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的一个根，圆心O到直线l的距离$d=2$，则直线l与$\odot O$的公共点个数为（）。
A.1个
B.2个
C.没有交点
D.不能确定
A.1个
B.2个
C.没有交点
D.不能确定
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需分两步思考：第一步先求解一元二次方程得到根，结合圆的半径为正数的性质，确定圆的半径r；第二步比较半径r和圆心到直线的距离d的大小，根据直线与圆的位置关系判定规则，即可得出直线和圆的公共点个数。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
因为$\odot O$的半径为正数，所以取$r=3$。
已知圆心O到直线l的距离$d=2$，
因为$2＜3$，即$d＜r$，
所以直线l与$\odot O$相交，相交时直线与圆有2个公共点。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程求解和几何位置关系判定结合，解题的关键是先准确求出圆的半径，再牢记直线与圆位置关系和d、r大小的对应规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需分两步思考：第一步先求解一元二次方程得到根，结合圆的半径为正数的性质，确定圆的半径r；第二步比较半径r和圆心到直线的距离d的大小，根据直线与圆的位置关系判定规则，即可得出直线和圆的公共点个数。
【解析】
首先解一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
因为$\odot O$的半径为正数，所以取$r=3$。
已知圆心O到直线l的距离$d=2$，
因为$2＜3$，即$d＜r$，
所以直线l与$\odot O$相交，相交时直线与圆有2个公共点。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程求解和几何位置关系判定结合，解题的关键是先准确求出圆的半径，再牢记直线与圆位置关系和d、r大小的对应规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5. 如图 30.1 - 5, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $AB=5, BC=4$, 则以点 A 为圆心,半径为 3 的 $\odot A$ 与直线 BC 的位置关系是().
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
答案
解析
【分析】
要判断$\odot A$与直线$BC$的位置关系，核心是比较圆心$A$到直线$BC$的距离$d$和圆半径$r$的大小关系：若$d＞r$则相离，$d=r$则相切，$d＜r$则相交。首先观察到$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，因此$AC⊥ BC$，说明$A$到直线$BC$的距离就是线段$AC$的长度，接下来用勾股定理计算$AC$的长度，再和半径$3$比较即可得出结论。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}$
代入$AB=5$，$BC=4$，得：
$AC=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
因为$∠ C=90°$，所以$AC⊥ BC$，即圆心$A$到直线$BC$的距离$d=AC=3$。
已知$\odot A$的半径$r=3$，因此$d=r$，所以$\odot A$与直线$BC$相切。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；直线与圆的位置关系判定；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，解题关键是结合直角三角形的性质确定圆心到直线的距离，再通过勾股定理计算距离后和半径比较，掌握直线与圆位置关系的判定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要判断$\odot A$与直线$BC$的位置关系，核心是比较圆心$A$到直线$BC$的距离$d$和圆半径$r$的大小关系：若$d＞r$则相离，$d=r$则相切，$d＜r$则相交。首先观察到$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，因此$AC⊥ BC$，说明$A$到直线$BC$的距离就是线段$AC$的长度，接下来用勾股定理计算$AC$的长度，再和半径$3$比较即可得出结论。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}$
代入$AB=5$，$BC=4$，得：
$AC=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
因为$∠ C=90°$，所以$AC⊥ BC$，即圆心$A$到直线$BC$的距离$d=AC=3$。
已知$\odot A$的半径$r=3$，因此$d=r$，所以$\odot A$与直线$BC$相切。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；直线与圆的位置关系判定；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，解题关键是结合直角三角形的性质确定圆心到直线的距离，再通过勾股定理计算距离后和半径比较，掌握直线与圆位置关系的判定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 在平面直角坐标系中，以点$(-3,2)$为圆心的圆与$x$轴相切，则该圆的半径是。
答案
解析
【分析】
解题时先回忆直线与圆相切的核心性质：圆与直线相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径。本题中切线是x轴，因此只需要计算圆心到x轴的距离即可得到半径。而平面直角坐标系内，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，结合已知圆心坐标即可直接求解。
【解析】
∵ 该圆与x轴相切
∴ 圆心到x轴的距离等于圆的半径
∵ 点(-3,2)到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即$\vert2\vert=2$
∴ 该圆的半径是2
【答案】
2
【知识点】
直线与圆相切的性质，点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握直线和圆相切的性质，明确点到x轴、y轴的距离分别和点的纵坐标、横坐标的关系，计算时注意不要混淆横纵坐标的作用。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆直线与圆相切的核心性质：圆与直线相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径。本题中切线是x轴，因此只需要计算圆心到x轴的距离即可得到半径。而平面直角坐标系内，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，结合已知圆心坐标即可直接求解。
【解析】
∵ 该圆与x轴相切
∴ 圆心到x轴的距离等于圆的半径
∵ 点(-3,2)到x轴的距离为纵坐标的绝对值，即$\vert2\vert=2$
∴ 该圆的半径是2
【答案】
2
【知识点】
直线与圆相切的性质，点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握直线和圆相切的性质，明确点到x轴、y轴的距离分别和点的纵坐标、横坐标的关系，计算时注意不要混淆横纵坐标的作用。
【难度系数】
0.9
7. 如图 30.1 - 6,已知$∠ ACB=30°$, $CM=2$, $AM=5$. 以点 $M$ 为圆心,$r$ 为半径作$\odot M$,$\odot M$与线段$AC$有公共点时,则$r$的取值范围是.
答案
解：过点M作MH⊥AC于点H，
∵ ∠ACB=30°，CM=2，
∴ MH = CM·sin30° = 2×$\frac{1}{2}$ = 1，
即点M到直线AC的距离为1。
又∵ AM=5，线段AC上的点到点M的最大距离为5，
∴ 当⊙M与线段AC有公共点时，r的取值范围是$1≤ r≤ 5$。
∵ ∠ACB=30°，CM=2，
∴ MH = CM·sin30° = 2×$\frac{1}{2}$ = 1，
即点M到直线AC的距离为1。
又∵ AM=5，线段AC上的点到点M的最大距离为5，
∴ 当⊙M与线段AC有公共点时，r的取值范围是$1≤ r≤ 5$。
解析
【分析】
要确定⊙M与线段AC有公共点时r的取值范围，需先明确两个临界条件：一是当⊙M与AC相切时，r为圆心M到AC的垂线段长度，这是r的最小值；二是r最大不能超过线段AC上距离M最远的点到M的长度，保证线段上存在点在圆上或圆内。解题时先过M作AC的垂线，利用30°角的直角三角形性质求出垂线段长，再对比线段AC两端点到M的距离得到最大距离，即可确定r的取值范围。
【解析】
过点M作$MH⊥ AC$于点H，
$\because ∠ ACB=30°$，$CM=2$，在$Rt△ CMH$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore MH = \frac{1}{2}CM = \frac{1}{2}×2 = 1$，即点M到直线AC的距离为1。
线段AC的两个端点中，$CM=2$，$AM=5$，因此线段AC上的点到点M的最大距离为5。
当⊙M与线段AC有公共点时，半径r需满足$r≥1$保证圆与AC有交点，且$r≤5$保证线段AC上存在点在圆上或圆内，因此r的取值范围是$1≤ r≤5$。
【答案】
$\boldsymbol{1≤ r≤ 5}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，含30°角的直角三角形性质，点到直线的距离
【点评】
本题主要考查圆与线段有公共点时半径的取值范围求解，解题的关键是找准两个临界状态：相切时半径最小，到线段最远端点的距离为半径的临界最大值，结合直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要确定⊙M与线段AC有公共点时r的取值范围，需先明确两个临界条件：一是当⊙M与AC相切时，r为圆心M到AC的垂线段长度，这是r的最小值；二是r最大不能超过线段AC上距离M最远的点到M的长度，保证线段上存在点在圆上或圆内。解题时先过M作AC的垂线，利用30°角的直角三角形性质求出垂线段长，再对比线段AC两端点到M的距离得到最大距离，即可确定r的取值范围。
【解析】
过点M作$MH⊥ AC$于点H，
$\because ∠ ACB=30°$，$CM=2$，在$Rt△ CMH$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$\therefore MH = \frac{1}{2}CM = \frac{1}{2}×2 = 1$，即点M到直线AC的距离为1。
线段AC的两个端点中，$CM=2$，$AM=5$，因此线段AC上的点到点M的最大距离为5。
当⊙M与线段AC有公共点时，半径r需满足$r≥1$保证圆与AC有交点，且$r≤5$保证线段AC上存在点在圆上或圆内，因此r的取值范围是$1≤ r≤5$。
【答案】
$\boldsymbol{1≤ r≤ 5}$
【知识点】
直线与圆的位置关系，含30°角的直角三角形性质，点到直线的距离
【点评】
本题主要考查圆与线段有公共点时半径的取值范围求解，解题的关键是找准两个临界状态：相切时半径最小，到线段最远端点的距离为半径的临界最大值，结合直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 如图30.1-7，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF//AB，交BC于点E，交AD于点F，则以点B为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆与直线AC，EF的位置关系分别是什么？并说明理由。
图30.1-7
图30.1-7
答案
以点B为圆心,$\sqrt{2}$为半径的圆与直线AC相切，与直线EF相交. 理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴BO⊥AC,∠BCD=90°. 在Rt△BCD中，$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=2\sqrt{2}$,
∴$BO=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$,即点B到直线AC的距离为$\sqrt{2}$,与⊙B的半径相等.
∴直线AC与⊙B相切.
∵EF//AB,∠ABC=90°,
∴BE⊥EF,垂足为E,且$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1＜\sqrt{2}$,
∴直线EF与⊙B相交
∵四边形ABCD是正方形,
∴BO⊥AC,∠BCD=90°. 在Rt△BCD中，$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=2\sqrt{2}$,
∴$BO=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$,即点B到直线AC的距离为$\sqrt{2}$,与⊙B的半径相等.
∴直线AC与⊙B相切.
∵EF//AB,∠ABC=90°,
∴BE⊥EF,垂足为E,且$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1＜\sqrt{2}$,
∴直线EF与⊙B相交
解析
【分析】
判断直线与圆的位置关系的核心方法是：比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小，若d=r则直线与圆相切，若d＜r则直线与圆相交，若d＞r则直线与圆相离。本题已知⊙B半径为$\sqrt{2}$，因此只需分别求出点B到直线AC、直线EF的距离，再和半径比较即可。结合正方形对角线互相垂直平分、对边平行等性质，可快速求出这两个距离，进而得到位置关系。
【解析】
已知⊙B的半径$r=\sqrt{2}$，分别判断两条直线和圆的位置关系：
1. 判断直线AC与⊙B的位置关系
∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线互相垂直平分，$∠BCD=90°$，$BC=CD=2$。
在$Rt△BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴$BO=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，且$BO⊥AC$，即点B到直线AC的距离$d_1=\sqrt{2}=r$，
∴直线AC与⊙B相切。
2. 判断直线EF与⊙B的位置关系
∵$EF// AB$，$∠ABC=90°$，
∴$BE⊥EF$，即点B到直线EF的距离为BE的长度。
∵O是正方形对角线的交点，EF过O且平行于AB，
∴E是BC的中点，$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$，
即点B到直线EF的距离$d_2=1＜\sqrt{2}=r$，
∴直线EF与⊙B相交。
【答案】
以点B为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆与直线AC相切，与直线EF相交。
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 正方形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础考查题，解题关键是牢记位置关系的判定规则，同时能灵活运用正方形的性质求出圆心到直线的距离，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
判断直线与圆的位置关系的核心方法是：比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小，若d=r则直线与圆相切，若d＜r则直线与圆相交，若d＞r则直线与圆相离。本题已知⊙B半径为$\sqrt{2}$，因此只需分别求出点B到直线AC、直线EF的距离，再和半径比较即可。结合正方形对角线互相垂直平分、对边平行等性质，可快速求出这两个距离，进而得到位置关系。
【解析】
已知⊙B的半径$r=\sqrt{2}$，分别判断两条直线和圆的位置关系：
1. 判断直线AC与⊙B的位置关系
∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线互相垂直平分，$∠BCD=90°$，$BC=CD=2$。
在$Rt△BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
∴$BO=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，且$BO⊥AC$，即点B到直线AC的距离$d_1=\sqrt{2}=r$，
∴直线AC与⊙B相切。
2. 判断直线EF与⊙B的位置关系
∵$EF// AB$，$∠ABC=90°$，
∴$BE⊥EF$，即点B到直线EF的距离为BE的长度。
∵O是正方形对角线的交点，EF过O且平行于AB，
∴E是BC的中点，$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×2=1$，
即点B到直线EF的距离$d_2=1＜\sqrt{2}=r$，
∴直线EF与⊙B相交。
【答案】
以点B为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆与直线AC相切，与直线EF相交。
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 正方形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础考查题，解题关键是牢记位置关系的判定规则，同时能灵活运用正方形的性质求出圆心到直线的距离，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
